1、三、二维离散型随机变量的分布律,一、问题的提出,四、二维连续型随机变量的概率密度,第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量、联合分布与边缘分布,五、均匀分布和正态分布,二、二维随机变量的分布函数,六、小结,一、问题的提出,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置
2、是由三个随机变量 (三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,二、分布函数,的函数值就是随机点落在如图所示,区域内的概率:,+,+,-,-,边缘分布,对任意随机变量 (X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,三、离散型随机变量的分布律,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,例1,设随机变量 X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能取一整数值. 试求(X
3、,Y)的分布律.,解,且由乘法公式得,的取值情况是,j取不大于i的整数.,于是(X,Y)的分布律为,例2,一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,边缘分布律,对离散型随机变量( X,Y )，,则(X,Y)关于X的边缘分布律为,(X,
4、Y)关于Y 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,例3,已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,四、连续型随机变量的概率密度,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,几何意义,几何上 z=f(x,y) 表示空间的一个曲面，,的值等于以G为底，以曲面 z=f(x,y) 为顶面的柱体体积.,不难得出，对连续型随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：,在 f (x,y)的连续点,边缘概率密度,对连续型随机变量 ( X,Y )，,X和Y的联合概率密度为,则( X,Y )关于X的边缘概率密度为,( X,Y )关于Y的边缘概率密度为,
5、例4,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,(2) 求分布函数F(x,y);,(1)求概率,(3) 求边缘分布函数,(4) 求边缘概率密度,(1) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,解,例5,解,设随机变量X和Y具有联合概率密度,求边缘概率密度,在求连续型随机变量的边缘概率密度时，往往要求联合概率密度在某区域上的积分. 当联合概率密度是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,下面我们介绍两个常见的二维分布.,五、两个常用分布,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上,服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点
6、，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.,例4,已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的概率密度及分布函数,其中D为 x轴, y轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,正态分布,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作 ( X,Y )N( ),二维正态分布的边缘概率密度仍是正态分布 .,证：,由于,于是,则有,即,同理可得,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,六、小结,在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？,请注意联合分布和边缘分布的关系:,我们下一讲就来回答这个问题.,
