1、1,新教材的创新与不足,华东师范大学 数学系袁震东,2,理念的继承与发展,20世纪初我国中学数学教材受欧美的影响，其典型是三S代数、几何。教育上以教师为中心，强调教会学生解题。Polya说解题就象进入一个黑暗的陌生房间，找到关键的方法，就象找到了房间的电灯开关。电灯一亮，一切就一目了然。解题先要弄清楚已知是什么、需求的是什么。,3,理念的继承与发展,解放后，中国的数学教育受苏联的影响。高中课本是苏联教材的翻版，大学直接用苏联的译本。在数学教育上受李亚平数学教学的影响，认为教育以教师为中心。后发展为蒋南翔的“猎枪说”即，不应该光给学生食物，而应该教会学生使用猎枪去找食物。60年代提出精讲多练的教
2、学方法。,4,理念的继承与发展,1988年上海的一期课改开启数学教育面向世界的大门。数学主编陈昌平教授，在当主编前，曾在美国考察中学数学教育一年。一期课改形成了中学数学教材的新体系，对一些内容进行了较大的删减并开始把阅读材料编入课本。,5,理念的继承与发展,1998年开始的二期课改，面对新世纪。新世纪是一个信息时代；是一个科学技术竞争十分激烈的时代；是一个机遇与问题同时存在的时代。学生们将面对大量的信息，需要做判断，做取舍，毕业生必须参加到激烈的竞争中去。因此学生必须具有良好的心理素质，具有创新能力和特长。因此二期课改的理念为,6,理念的继承与发展,1，以人为本，以学生的发展为本，在面对全体学
3、生的同时，注意发展学生的个性和特长。明确教学活动的主体是学生 。2，三维目标，即教材应有效地传达知识与技能、过程与方法；应培养学生正确的世界观和价值观；应培养学生爱祖国、爱生命的情感和态度。,7,理念的继承与发展,3，教材应具有良好的教学特征，即激发学习兴趣、引导过程、梳理结构、指导应用。4，二期课改明确确立三类课程： 基本课程； 拓展课程； 探究实践课程。,8,新教材的创新,1，注重数学与现实的沟通。数学来源与现实世界。现实问题是数学知识的原型。现实感知是数学知识的媒介。现实的需要是学习的动力。因此新教材适当增加了应用问题的数量。例如函数中增加了在实际中常用的分段表达的函数。数列中增加了计算
4、机计算常用的差分形式。概率初步中有了彩票中奖概率的计算。,9,新教材的创新,2，根据上海市教委领导的指示和上海市高中学生85%可以升入大学或大专学习。到那时都可以学到微积分。因此二期课改的数学课本删除微积分的内容以减轻学生的负担。,10,新教材的创新,3，加强了三角函数的内容。三角是微积分的基础内容之一，三角不学好，学生入大学后，学习高等数学和微积分均会发生困难。陈省身先生说：“小孩子记忆好，背九九表也不难，中国人背诵一些重要东西有传统。可以好好利用。”我们认为让学生背熟同角三角函数、和角公式对今后学习大有好处。,11,新教材的创新,4 ，删减立几，增强向量的学习。向量是线性数学的重要内容，利
5、用向量处理空间直线的交角十分便利。其实对有些立几难于处理的，用向量有好处：例如，小明从上海乘飞机去美国首都华盛顿DC旅行。他惊奇地发现飞机不是按照地图上上海市到华盛顿DC间的直线路径飞行的（见世界地图）。,12,新教材的创新,而是过日本东京经阿留申群岛、底特律到达华盛顿的。这是为什么呢？用立几来做比较难。利用一些球面几何知识，用向量来做就容易解决。地球是一个可以用球来近似的球体。球面几何告诉我们：任何一个平面与球面相交，其交线必为一圆。,13,新教材的创新,通过球心的平面与球面相交，其交线称为大圆。通过球面上不是对径点的任意两点，可以画出惟一的一个大圆；如果是对径点（球直径的两端点），那么经过
6、它们可以作无穷多个大圆。,14,新教材的创新,球面的大圆也叫做球面的测地线。它们在球面几何中的作用与直线在平面几何中的作用相同。然而，任何直线段是它们两端点间的最短曲线。球面上的一个大圆弧却仅当它的长度小于它的补圆弧的长度时，才是最短曲线。在其它许多意义下球面几何也是与平面几何不同的。,15,新教材的创新,为了解决问题，我们讨论球面上三个点在同一个大圆平面的条件。分别过赤道、子午线和东经90度的经线各作一个平面，,16,新教材的创新,分别为平面Alfa,Beta,Gamma。由地理知识可知：Alfa,Beta,Gamma相互垂直，其交点为球心o。设它们的交线分别为ox,oy,oz，构成空间直角
7、坐标系（o-xyz）。设三点的坐标分别为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)。三点在同一个平面的充分必要条件是下列行列式等于0。,17,新教材的创新,18,新教材的创新,如果把城市看作球面上的点，那么这些点的坐标可以用城市的经度和纬度完全确定。下面列出若干城市的经度、纬度及与计算有关的量城市纬度 经度上海31.13N121.25E-0.445790.729840.51828,19,新教材的创新,城市纬度 经度东京35.40N139.45E-0.620060.524920.58307Attu52.55N173.00E-0.598480.073480.79776底特律4
8、2.23N83.05W0.08896-0.733270.67409华盛顿38.55N77.00W0.17502-0.758120.62819,20,新教材的创新,计算三个城市位置坐标所对应的行列式，可以检验这些城市是否坐落在同一个大圆上，计算结果如下：1，上海、东京、阿留申群岛城市Attu所对应的行列式等于0.0780。2，东京、阿留申群岛城市Attu、底特律所对应的行列式等于0.1077。3，、阿留申群岛城市Attu、底特律、华盛顿所对应的行列式等于0.0230。,21,新教材的创新,如所周知，（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）是三个互相垂直的单位向量，其行列式等于1。而上面一些
9、城市对应的行列式或接近于0或大大小于1，且上海和华盛顿的经度差在180度以内，因此可以认为经过上述城市的路径是上海到华盛顿的近似最短路径。,22,新教材的创新,一期课改把立几教材压缩到9个定理，讨论空间的线线、线面和面面关系；在二期课改的课本中几乎全部删去。而用空间向量来解立几的问题。这是一种新的尝试。需要用到立几知识处，用观察、实验来引入。,23,矩阵应用一例,甲乙两个嫌疑犯被囚于两个分离的牢房，彼此不能串供。每个嫌疑犯有可能供出犯罪事实，也可能不供出犯罪事实。可能发生下列四种情况：1，如果甲乙两个嫌疑犯同时供出犯罪事实，那么甲乙各判刑3年；2，如果甲供出犯罪事实，乙没有供出，那么甲判刑1年
10、，乙判刑10年；,24,矩阵应用一例,3，如果甲没有供出犯罪事实，乙供出犯罪事实，那么甲判刑10年，乙判刑1年；4，如果两人都不供认犯罪事实，那么两人将被关押2年。甲乙两嫌疑犯应采取何种对策？,25,矩阵应用一例,这个问题用矩阵来表示最清楚。矩阵的第1、2行分别表示甲采取供认与不供认对策；矩阵的第1、2列分别表示乙采取供认与不供认对策。甲的“得益”矩阵为,26,矩阵应用一例,27,矩阵应用一例,28,矩阵应用一例,从（1）式甲供出，乙没有供出甲的“得益”最大，甲不供出，乙也没有供出时甲的“得益”也较大，但一旦乙供出，甲的“得益”就最小（即要关押10年）。因此在对策论中，应当从最坏处着想，去争取
11、最好的结果，即采用的策略使得它满足：,29,矩阵应用一例,30,矩阵应用一例,31,矩阵应用一例,这就是说甲乙两个嫌疑犯同时供出犯罪事实是最优对策。乙的得益也可作同样讨论。因为甲乙的位置是对称的，关于乙的讨论可以省略。,32,新教材的创新,5，在新教材中介绍了许多数学家。中国古代数学家：祖冲之父子、张遂、杨辉、贾宪、沈括。国外古代数学家：康托儿、德-摩根、欧拉、斐波那契、高斯、皮亚诺、莱布尼兹、笛卡儿、费马、阿基米德、卡儿丹、帕斯卡。近现代数学家：李善兰、吴文俊、华罗庚、康托洛维奇、曼特勃洛脱、丹齐克。,33,新教材的创新,平均每学期介绍4个数学家，共介绍了24位数学家，通过介绍希望达到两个目
12、的：（1）阅读他们的事迹，体会他们艰苦和卓越的工作，激发学生的学习积极性，进行爱科学、爱祖国的热情。（2）激发学生学习数学的兴趣。,34,新教材的创新,6，版面活泼。设计了正文、边款和多种栏目。在边款中有“闪光（内容的联想和衍生）”，“注意”，“提问”，“数学家介绍”等栏目。正文分为：基本内容、拓展内容、探究实践和阅读材料等。,35,新教材的创新,7，注意双语教学：（1）章、节名设中英对照。（2）部分阅读材料选用英文资料。（3）书后有本册数学名词中英对照表。,36,新教材的不足,1，从教材结构来看，一年级教学内容偏多，二三年级内容偏少。因此修改时应作适当调整。2，与课程标准（试用稿）相比，有重
13、要遗漏。在简单几何体研究方面，遗漏了锥体和球；在代数与方程方面，遗漏了算法初步（10课时）。,37,新教材的不足,3，矩阵、行列式内容应溶成一体，已出的新教材没有与计算技术相结合，难以使学生感到学习矩阵行列式的好处。4，练习和习题中的基本题不够，通过这些题还不能让学生掌握。题目与例题的配合不够。5，新教材与课程标准（试行稿）有些不符的地方，如概率统计中的期望值。,38,新教材的不足,6，新教材还不能适应学分制管理的要求。如果新教材把所有的拓展内容都归结为选修内容，新教材将失去，内容生动有层次的特点。如果新教材保留原有的拓展内容，学分管理有一些麻烦。,39,新教材的不足,7，新高中教材是在初中教
14、材还没有编出之前编写的。许多知识内容与初中要教的内容分割不清。如概率、数学家介绍没有通盘考虑。这需要有一次中小学教材通盘考虑的会议。8，缺少教辅材料，对于一些新的内容，教师缺乏可供参考的材料。,40,新教材的不足,9，新教材编写时间紧，编写人员多数兼职。新教材错误较多。虽经试教老师指出改了不少，但仍有遗漏。10，新教材在培养学生表达能力方面体现不够。,41,框架结构修改及说明,考虑到1，高中物理很早就用到三角函数和向量因此这些内容不宜排得太后。2，集合、不等式、函数一条线下来相互联系。符合逻辑顺序，因此仍放在高一开头学习。3，这样算法只能到高二学习。,42,框架结构修改及说明,课程的基本框架：
15、分五条线（代数与方程、函数与分析、图形与几何、数据处理与概率统计、数与运算），17章。高一第一学期（42学时） 第1章 集合和命题（几何及其表示法、子集、交集、并集、补集、命题的四种形式、充分必要条件、子集与推出关系）不含逻辑初步和抽屉原则。（12学时）,43,框架结构修改及说明,第2章不等式（不等式的基本性质及证明、基本不等式、一元二次不等式（组）的解法、分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法）。（14学时）第3章函数及其基本性质（函数的有关概念、函数的运算、函数关系的建立、函数的基本性质，并能利用计算器（机）研究函数的行为。（16学时）,44,框架结构修改及说明,高一第二学期（40学时
16、）第4章幂指对函数 （幂函数的性质与图象、指数函数的图象与性质、对数、反函数、对数函数的性质与图象、简单指数方程和对数方程）（20学时）第5章 三角比（任意角的三角比、同角三角比的关系、诱导公式、两角和与差的余弦、正弦和正切、正弦和余弦定理（20学时）,45,框架结构修改及说明,高二第一学期（48学时）第6章 三角函数（正弦函数和余弦函数的性质、正弦函数和余弦函数的图象、正切函数的性质和图象、一般正弦函数的图象与性质）（12学时）。第7章 数列与数学归纳法（数列的有关概念、等差数列与等比数列、数列的极限、无穷等比数列各项的和、数学归纳法）（18学时）,46,框架结构修改及说明,第8章 矩阵与行
17、列式初步（线性方程组与矩阵行列式、二阶三阶行列式、行列式的线性运算、二元三元线性方程组解的讨论）（8学时）,47,框架结构修改及说明,第9章 算法初步（算法的含义、程序框图、基本算法语句。（10学时）说明：算法如果不定一种语言使算法变得抽象。如果用C语言，输入等不够直观。我们认为PASCAL，它既直观，有比较一般，它与我国最早使用的ALGOL相近。,48,框架结构修改及说明,高二第二学期（40学时）在初中里，已通过实例和位移引入向量概念，知道向量的要素及向量的表示；理解向量相等、相反向量、零向量的含义、学习过向量加法的平行四边形法则和三角形法则、向量减法。第10章 平面向量的坐标表示（平面向量
18、的分解定理、坐标表示、向量平行垂直,49,框架结构修改及说明,的坐标表示、向量的长度、两个向量的夹角）（8课时）第11章 平面直线的方程（直线的点方向式、点法向式、倾斜角和斜率、两条直线的平行关系和垂直关系、相交直线的夹角、点到直线的距离）（14学时）,50,框架结构修改及说明,第12章 曲线与方程（概念、圆的标准方程和一般方程、椭圆的标准方程和几何性质、双曲线的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质）（18学时）,51,框架结构修改及说明,高三第一学期（39学时）第13章 空间图形（平面及其表示法、用平行四边形表示平面、用文字、图形、集合语言表示平面的性质，平行投影、用“斜二测”画长
19、方体、棱锥、棱台，用反证法证明异面直线、异面直线所成角、空间平行线的传递性）（15学时）,52,框架结构修改及说明,第14章 简单几何体研究（利用计算机演示圆柱、圆锥、球的生成过程，柱体和锥体的体积和表面积、球的表面积和体积公式）（10学时）第15章 排列、组合、二项式定理（乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理、二项式定理（含推导）（14学时）,53,框架结构修改及说明,高三第二学期（22学时）第16章 概率与统计初步（在初中里，已学习过简单的古典概率和几何概率问题，并利用等可能性找出相应的事件，设计符合要求的方案。在高中里。要求深入研究等可能事件概率，说明概率模型的简单应用，抽样调
20、查，统计实习）（12学时）,54,框架结构修改及说明,第17章 复数初步（数的概念的扩张、复数的概念、复平面、复数的四则运算、实系数一元二次方程的解）（10学时）,55,教材呈现形式的改进,1，探索与实践栏目是新教材的重要组成部分。目前由于高考中没有这方面的题目，因此许多学校只在观摩课上采用，一般是不教的。自检发现有些探究题是否合适值得进一步探讨。增加一些有趣的探索题，删去一些趣味性不足的题目，以此来吸引学生。,56,教材呈现形式的改进,2，改进训练系统，增加基本题，注意例题与习题的联系，但也不是所有习题都是例题的翻版。有人提出出练习册，对此作认真考虑。修改时，有专人负责考虑习题的编制。,57
21、,关系拓展教材的编写,高中数学拓展教材拟分为：文科数学拓展；理科数学拓展；数学简史；中学数学建模；逻辑与证明；复数与应用；坐标变换与矩阵；质因数和哥德巴赫猜想等八册。,58,文科数学拓展提纲,人文、社科类学生必学，获3学分。1，二元一次不等式表示的平面区域，简单的线性规划（10）。2，图的有关概念、图的生成树、图的最短路问题（8）。3，优选问题、优选法；统筹问题、统筹方法和统筹图（10）。,59,文科数学拓展提纲,4，平行投影与中心投影、“斜二测”画法、“正等测”画法、三视图（10）。5，统计案例、概率与统计方法的误用（10）。6，数学与音乐（2）。7，数学与美术（2）。8，数学与人文研究（4
22、）。,60,理科数学拓展提纲,理工、经济类学生必学，获3学分。1，参数方程、极坐标、圆锥曲线的统一极坐标方程（8）。2，空间向量的概念及其运算、空间向量分解定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间直线、平面的平行关系、空间直线平面的垂直关系、空间有关的距离和角（16）。,61,理科数学拓展提纲,3，半角的正弦、余弦、正切公式的运用、积化和差与和差化积（8）。（建议：编在基本内容的课本内）4，随机变量的分布及数字特征、总体分布、正态分布、线性回归（15）。,62,任意选修的拓展教材,逻辑与证明内容提纲：1，常用逻辑联词、形式逻辑（15）。2，容斥原理、抽屉原则和平均数原则（8）。3，证明不等式的基
23、本方法、几个重要的不等式（8）。,63,任意选修的拓展教材,复数与应用内容提纲：1，复数的三角形式、复数的乘法和除法、复数的乘方与开方（15）。2，复数的应用（3）。,64,任意选修的拓展教材,数学模型内容提纲：1，需求与价格模型、体育比赛中的函数模型、经济数学模型（5）。2，资源分配模型、营养调配问题、运输问题（5）。3，房屋贷款的还款问题、人口增长问题、昆虫数量问题、投资收益率问题。,65,任意选修的拓展教材,4，彩票中奖概率问题、扑克牌中概率问题、生日问题（5）。5，学习的整体成绩评价问题、市场调查（5）。,66,任意选修的拓展教材,质因数和哥德巴赫猜想内容提纲：1，整除和带余除法（3）
24、。2，因数和质数（3）。3，算术基本定理（3）。4，一次不定方程（3）。5，哥德巴赫猜想介绍（3）。,67,任意选修的拓展教材,坐标变换与矩阵内容提纲：1，坐标轴的平移、特殊二次曲线方程的简化（5）。2，坐标轴的旋转，一般二次曲线方程的简化（5）。3，二元二次方程曲线的研究（5）。4，矩阵的加法和减法、逆矩阵与解线性方程组、二阶矩阵与图形变换（15）。,68,任意选修的拓展教材,数学简史内容提纲：1，九章算术的成就与影响、中国剩余定理、中国古代数学家介绍（4）。2，欧几里德与几何原本、几何基础与公理化思想（4）。3，解析几何的建立、微积分的创立（4）。,69,任意选修的拓展教材,4，非欧几何的诞生、群论的创立、复数的出现（5）。5，运筹学、密码与战争、信息论、控制论的诞生、计算机的发明、费马大定理的证明、统计方法的使用（5）。6，中国现代数学的成就（4）。,
