1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 线性方程组的求解方法及应用 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 线性方程组求解在中国历史久矣。 对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早 1500年，记载在公元初九章算术方程章中。 现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。在科学计算中的许多问题，例如，电学中的网络问题，船体放样中的样条函数计算，实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题，最终都归结为求解线性代数方程组。现行高等代数教材只用行初 等变换来解线性方程组，存在一定的局限性。本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的 Gauss 消
2、元法，以及行初等变换、克莱姆法则、 标准上三角形求解法等。 对于不同类型的问题，线性方程组的求解方法不尽相同。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解，如在实践中遇到的线性方程组，它的方程个数未必等于未知量个数，即使方程个数等于未知量个数，也未必有唯一解，有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时，才算达到了完善的地步”。随着科学技术的进步，数学已 迅速渗透到各门学科之中，因而能强烈感受到数学的重要性。而应用数学中很多用到了 线性代数的相关知识，而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要，在实际生活的数学应用中，对所需目标进行
3、确定，接着进一步明确一些决策中的关键因素，即而确立线性方程组，进而对此方程求解。因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分，恰当地使用方法，可以使计算过程比较简洁，避免了迂回复杂的计算。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 也许会觉得解线性方程组会很容易，但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。若要正确完整得出方程解，首先 要具备一定的线性代数的知识，其次要分析对于什么样类型，采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。 对于不同类型的问题，线性方程组解法的适用就至关重要。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解，如1 在实践中遇到的线性方程组，它的方程个数未必等于未知量
4、个数，即使方程个数等于未知量个数，也未必有唯一解，有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 本报告主要涉及到一些方程求解的方法，比如初等行变换、回代法、高斯消元法、标准上三角形法等。同时还介绍了线性方程组在以下几方面的应用，在几何方面求点到平 面的方程，空间中向量相关性的判别方法。 2.1 线性方程组的一些性质 线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。 含 m 个方程， n 个未知量的线性方程组的一般形式为： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa22112211111212111jx 表示
5、未知量， ija 称系数项， jb 称常数项。将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵，在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。线性方程组也可以用矩阵表示。 nm 型线性方程组 可表示为 11 nnnm bXA ，称 nmA为线性方程组的系数矩阵； A,b 为线性方程组的增广矩阵；方程组的解是使矩阵等式成立的 n 维向量 X 。在矩阵形式下，对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵 A 和 B是行初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵 P ，使 BPA ，则线性方程组PbBXbAX , 是等价的线性方程组。线性方程组也可以用向量表示。设矩阵ij mn
6、Aa 是线性方程组的系数矩阵，用 iA 记 A 的第 i 列，即 niaaaA Tmiiii ,2,1, 21 则 nm 型线性方程组可表示为 bAxAxAx nn 2211 方程组的解等价于列向量的线性组合；方程组的解就是列向量线性组合的组合系数。同时也可利用该形式下的系数矩阵和增广矩阵来研究该方程组解的形式。如矩阵的秩 nAR 是n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 bAB , 的2 秩是 n 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件； nArbAr , 是 n 元非齐次线性方程组唯一解的充分必要条件。 2.2 求线性方程组解的方法 2.2.1 初等变换法
7、 初等变换满足以下三种矩阵变换： （ 1） 对换矩阵的两行（列） （ 2） 用非零数矩阵 c 乘矩阵的某一行（列） （ 3） 把矩阵某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去 用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换。 2.2.2 克莱姆法则 克莱姆法则定义： 含 m 个方程， n 个未知量的线性方程组的一般形式为： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa22112211111212111（ ） 当其系数行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n na a aa a aDa a a时 ， 有 唯 一
8、 解 ： 12jj Dx j , , ,nD ，其中1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 21 1 1j j nj j njn n j n n j n na a b a aa a b a aDa a b a a 。 2.2.3 回代法 有三种运算可得到一个等价的方程组： （ i)交换任意两个方程的顺序。 (ii)任一方程两边同乘一个非零的实数。 (iii)任一方程的倍数加到另一方程上。 对给定的方程组，可以使用这些 运算得到一个容易求解的等价方程组。若 nn 的方程组仅有一个解，则利用上面的运算 (i)和运算 (iii)可得到一个等价的“严格三角形方3 程组”。然后 从第
9、n 个方程组解的 nx ，将其代入第 1n 个方程解得 1nx ，将 nx 和 1nx 的值代入到第 2n 个方程解得 2nx ，以此类推，此法即为回代法。 2.2.4 高斯消元法 先对系数矩阵进行消元，再将 A 化为为三角形式，确定 LU 分解，可通过下述两步求解： 第 1 步 :前代。方程 bAx 可写为形如 bLUx 令 Uxy ，可得 bLUxLy 因 此 ， 可 以 通 过求 解下 三 角 方 程 组 求得 y ： nnnn byymymbyym by 22112212111 由第一个方程可得 11 by 。这个值可用于从第二个方程中求解 2y ,和 2y 的值又可用于从第三个方程求
10、解 3y ，依此类推，求得下三角方程组的解。 第 2 步：回代。一旦 y 确定。仅需求解上三角方程组 yUx ，就可求解得到方程组的解 x 。 三、研究的方法与技术路线、研究难点 ，预期达到的目标 1研究内容 (1)利用回代法来求解线性方程组； (2)利用初等行变换求解线性方程组； (3)利用 直接法中的 Gauss 消去法 求解线性方程组； (4)利用 标准上三角形求解 线性方程组； (5)利用克莱姆法则求解线性方程组。 2.研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料 ,以现有的知识水平 ,在前人的研究论述基础上 ,采取了从大量阅读已有的数据资料，然后运用相关的知识 就线性方程组求解方法作了个
11、总结，从一个整体的角度对线性方程组如何求解，以及求解的角度给做了探讨、总结，对一些实际应用比较广泛的重要方法都 通过实例给出了详细的说明。 4 3.研究难点 （ 1）从大量的阅读材料中整理与论文相关的资料是一个难点。 （ 2）对于一个线性方程组，找到合适方法求解是一个难点。 （ 3）对得到的解进行分析，验证是一个难点。 （ 4）在前人基础上的方法进行创新是一个难点。 4.预期达到的目标 通过这次论文的撰写，能更深的理解运筹学及线性代数等相关课程的知识，通过对线性方程组求解的研究使我从另一个不同的角度审视线性代数，对线性代数的相关知识有了更深刻的理解 ， 对线性代数的基本方法和基本技能能有较好的
12、理解和掌握，培养我们的发散思维及 谨密的思考能力。 同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决实际问题的能力，学会从多种角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通的能力。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 9 周至 10 周 发放毕业论文（设计）任务书； 第七学期第 11 周至 17 周 完成并分别提交毕业论文（设计）文献综述、开题报告及外文翻译； 第七学期第 18 周至第八学期第 3 周 完成毕业论文（设计）初稿； 第八学期第 3 周至 11 周 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改； 2、第 11 周（ 5 月 3
13、日）前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告，进一步完善毕业论文； 第八学期第 12 周（ 5 月 12 日） 将完成的毕业论文（设计）交给指导教师； 第八学期第 14 周（ 5 月 23 日）至第 8 学期 16 周（ 6 月 10 日） 完成毕业论文答辩。 5 五、主要参考文献： 1马小霞 .唐军强 .齐次线性方程组存在全非零解的一个判定方法 J.焦作大学学报 ,2009,1:80-81. 2侯秋果 .矩阵初等变换的应用 J.邢台学院初等教育学院 ,2010,11:112-113. 3闫国松 .浅议初等变换在矩阵理论中的作 用 J.科技信息 ,2008,14:115-116. 4付
14、春尧 .矩阵初等变换应用举例 J.南京邮电大学理学院 ,2010,16:84-85. 5杨桂元 .线性方程组解的有关问题 J.大学数学 ,2008,24:157-160. 6赵树源 .线性代数 M.北京 :中国人民大学出版社 ,2001:113-119. 7 胡先富 .齐次线性方程组通解的一种简便求法 J.廊坊师范学院学报 ,2009,8:11-13. 8徐晓飞 .曹祥玉 .姚旭 .陈盼 .一种基于 Doolittle LU分解的线性方程组并行求解方 法 J.电子与信息 ,2010,32:2019-2021. 9中山大学数学力学系 .常微分方程 M.北京 : 高等教育出版社 , 1978： 2
15、02-210. 10杨荫华 .线性代数 M.北京 :北京大学出版社 , 2004;83-90. 11陈志杰 .高等代数与解析几何 M.北京 : 高等教育出版社 ,2000:146-159. 12孙学农 .谈齐次线性方程组的基础解系的求法 J.济宁师范专科学校学报 ,2003,6:5-6. 13魏宗田 .齐次线性方程组中的独立方程 J.高等数学研究 ,2009,1:91-92. 14 J. Appl .Invetible Linear Maps Preserving -Inverses Of Matrices Over PidJ.Math.&Computing, 22(2006): 255-265. 15Xavier Luciani,Laurent Albera.Joint Eigenvalue Decomposition Using Polar Matrix FactorizationJ.Springer-Verlag Berlin Heidelberg ,2010:555-562.
