1、 毕业论文文献综述 信息与计算科学 求解非线性方程组和最优化的 MATLAB GUI 设计 一、前言部分 MATLAB 是一种数值计算环境和编程语言，主要包括 MATLAB 和 Simulink 两大部分。 MATLAB 基于矩阵运算， 具有强大的数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示功能，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单。 MATLAB 既能进行科学计算，又能开发出所需要的图形界面。 图形用户界面（ GUI）是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（ Objects）构成的一个用户界面。用户通过一定的方法选择、激活这些图形对象，是计算机产生某种动作或变化，比如实现计算
2、、绘图等。 1 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周遭环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。同时在计算中，总是用近似值代替真值进行计算，这也会产生误差。为了充分认识并尽量减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在的误差进行研究。 2研究误差就要研究误差的来源、分类、基本概念和误差的传播。而在研究误差时，要进行一些复杂的计算，同时怎样形象的表示误差又是一个问题，所以运用 MATLAB 的计算能力和 MATLAB GUI 的图形显示功能就
3、能给研究误差带来很大的方便。 二、主题部分 2.1 MATLAB 软件介绍 2.1.1 MATLAB 软件概况 3、 4 MATLAB 是矩阵实验室（ Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB的基本数据单位 是矩阵，它的指令表达式与数学 ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB来解算问题要比用 C,FORTRAN 等 语 言 完 相 同 的 事 情 简 捷 得 多 . 当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0 包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包
4、(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包 .功能工具包用来扩充 MATLAB 的符号计算 ,可视化建模仿真 ,文字处理及实时控制等功能 .学科工具包是专业性比较强的工具包 ,控制工具包 ,信号处理工具包 ,通信工具包等都属于此类 . 开放性使 MATLAB 广受用户欢迎 .除内部函数外 ,所有 MATLAB 主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件 ,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包 . “ MATLAB” 是“ Matrix Laboratory” 的缩写。MATLAB 的第一个版本是 LINPACK 和 EISPACK 库的程序的一个接口，用来
5、分析线性方程组。随着 MATLAB 的演化，除了线性代数外，它还支持许多其他的程序。 MATLAB 的核心仍然是基于命令行的交互式分析工具。用户可以用类 Fortran 语言扩展交互环境。交互环境中的程序以命令行的形式执行。 MATLAB 用户接口 包括下拉菜单和对话框，任何个人电脑使用者对这一接口都很熟悉。菜单命令支持文件操作、打印、程序编辑和用户接口定制。 MATLAB 的数值计算是通过在命令窗口输入命令，并不是通过菜单操作进行的。 MATLAB 是一个基本的应用程序，它有一个称为标准工具箱的巨大程序模块库。 MATLAB工具箱包括解决实际问题的扩展库，如：求根、插值、数值积分、线性和非线
6、性方程组求解以及常微分方程组求解。由于继承了 LINPACK、 EISPACK 和 LAPACK 的特性， MATLAB 对数值线性代数来说是一个高可靠的优化系统。许多数值作业能够用线 性代数语言精确地表示。MATLAB 和线性代数的密切关系是程序员能够用很短的 MATLAB 语言来解决复杂的数值作业。标准工具箱还包括数据可视化的扩展图形库，有简单的点、线和复杂的三维图形和动画。所有的 MATLAB 程序都可以使用这些函数，这样就可以在所有程序和程序集中分析并生成达到出版质量的图示。对图形的快速访问能有效地提高用户的效率。诊断点有助于调试程序和检验算法是否正确执行。低级的图形函数为自定义图形用
7、户接口的分析代码提供了扩展空间。除了标准工具箱，可以使用其他的工具箱，如：信号处理、图像处理、优化、统计分析 、偏微分方程的求解和许多数值计算的应用。 2.1.2 MATLAB 语言特点 5、 6。 7 一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，正如同 FORTRAN 和 C 等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的 MATLAB，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。 MATLAB 最突出的特点就是简洁。 MATLAB 用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了 C 和 FOR
8、TRAN 语言的冗长代码。 MATLAB 给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下 MATLAB 的主要特点。 1）。语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。 MATLAB 程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用 MATLAB 进行科技开发是站在专家的肩膀上。 2）运算符丰富。由于 MATLAB 是用 C 语言编写的， MATLAB 提供了和 C 语言几乎一样多的运算符，灵活使用 MATLAB 的运算符将使程序变得极为简短。 3） MATLAB 既具有
9、结构化的控制语句（如 for 循环， while 循环， break 语句和 if 语句），又有面向对象编程的特性。 4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在 MATLAB 里，用户无需对矩阵预定义就可使用。 5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。 6） MATLAB 的图形功能强大。在 FORTRAN 和 C 语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB 里，数据的可视化非常简单。 MATLAB 还具有较强的编辑图形界面的能力。 7） MATLAB 的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于 MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生
10、成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。 8）功能强大的工具箱是 MATLAB 的另一特色。 MATLAB 包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的，如 control,toolbox,signl proceessing toolbox,commumnication toolbox 等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范
11、围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究。 9）源程序的开放性。开放性也许是 MATLAB 最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。 2.1.3 MATLAB GUI 介绍 7、 8 一个可以发布的应用程序通常都需要有一个友好的图形用户界面（ Graphical User Interface）。程序的用户界面是用户与计算机程序的交互方式，用户通过键盘、鼠标等输入设备与计算机交换信息。图形用户界面（ GUI）是包含图形对象，如窗口、图标、菜单和文本的用户界面。用户以某种方式选择
12、或激活这些对象，会引起动作或发生变化，例如调用计算程序或者绘图等。 图形用户界面通常是一种包含多种图形对象的界面，典型的图像界面包括图形显示区域，功能按钮控件以及用户自定义的功能菜单等。为了让界面实现各种功能，需要对各个 图形对象进行布局和事件编程。当用户激活对应的 GUI 对象时，就能执行相应的时间行为。 GUI 也是一种 Matlab 对象，可以使用 M 文件来创建 M 文件，这也是最基础的，使用其他方法创建时，也需要编写相应的程序代码。除了使用 M 文件来创建 GUI 对象外， Matlab还为用户开发图形界面提供一个方便高效的继承开发环境： Matlab 图形用户界面开发环境（ Mat
13、lab Graphical User Interface Development Environment,GUIDE）。其主要是一个界面设计工具集，他将所有 GUI 所支持的用户控件都集成起来，同时提供界面外观、属性和行为响应方法的设置方法。除了可以使用 GUIDE 创建 GUI 之外，还可以将设计好的 GUI 界面保存为一个 FIG 资源文件，同时自动生成对应的 M 文件。该 M 文件包含了 GUI 初始化代码和组建界面布局的控制代码。 使用 GUIDE 创建 GUI 对象执行效率高，可以交互式的进行组件布局，还能生成保存和发布 GUI 的对应文件。 2.2 求解非线性方程组 2.2.1 N
14、ewton 方法 9 为了构造在一维情况下相应的不动点方法的算法，需找出一个函数 满足性质 ( ) ( ) ( )g x x x f x 使函数 g 能平方收敛于不动点 p （见 2.4 节）。由此条件， Newton 方法选择函数 ()x =1/ ()fx,这里假设 ()fx 0。 在 n 维情况下使用类似的方法要用到矩阵 1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )nnn n n na x a x a xa x a x a xAxa x a x a x其中，每个元素 ()ijax都是从 nR 到 R 的函数。需要求解 ()A
15、x 以使得 1( ) ( ) ( )G x x A x F x 平方收敛于 ()Fx=0 的解，这里假设 ()Ax 在 G 的不动点 p 处是非奇异的。 2.2.1 拟牛顿方法 10 设 (0)x 是 ( ) 0Fx 的解 p 的初始近似以 Newton 方法同样的方式来计算下一个近似(1)x ，或者若不便于精确确定 (0)()Jx ，则使用式（ 10.10）给出的差分方程来近似计算偏微分。然而，计算 (2)x 就不能用 Newton 方法而是用一元非线性方程的正割方法来求。正割方法用近似值 101 10( ) ( )() f x f xfx xx 来代替 Newton 方法中的 1()fx。
16、对于非线性方程组， (1) (0)xx 是一个向量，相应的商未定义。可类似地继续该方法，对方程组用矩阵 1A 代替 Newton 方法的矩阵 (1)()Jx ， 1A 具有性质 ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )1 ( ) ( ) ( )A x x F x F x nR 中的任意非零向量可写作 (1) (0)xx 的乘积和 (1) (0)xx 的正交补向量乘积的和。所以，为了唯一定义矩阵 1A ，需要说明它如何作用于 (1) (0)xx 德正交补向量上。因为没有在 F上与 (1) (0)xx 正交的方向上关于 F 变化的可用信息，因此就要求 (0)1 ()Az J x z ，其中
17、(1) (0)( ) 0tx x z 这样，与 (1) (0)xx 正交的任意向量不受 (0)()Jx 更新的影响，由此计算 (1)x 以及用来确定 1A的 (2)x 。 由条件（ 10.11）和（ 10.12）可唯一地定义 1A 为（见参考文献 DM） ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )( 0 )1 2( 1 ) ( 0 )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() tF x F x J x x x x xA J xxx 用该矩阵取代 (1)()Jx 来确定 (2)x ，有 ( 2 ) (1) 1 (1)1 ()x x A F x 一旦确定
18、了 (2)x ，重复该方法来确定 (3)x ，用 1A 取代 0A (0)()Jx ，用 ( 2 ) x 和 (1)x 取代 (1)x和 (0)x 。一般地，一旦确定了 ()ix ， ( 1)ix 可以通过 11 22ti i ii i iiy A sA A ss （ 和 ( 1 ) ( ) 1 ( )()i i iix x A F x 来计算，其中记号 ( ) ( 1)( ) ( )iiiy F x F x 和 ( ) ( 1)iiis x x 用来简化方程。 2.2.2 最速下降法 11 从 nR 到 R 的函数的最小值和非线性方程组的解之间的关系基于这样一个事实，当形式 为 1 1 2(
19、 , , , ) 0nf x x x 2 1 2( , , , ) 0nf x x x 12( , , , ) 0nnf x x x 的方程组在 x = 12( , , , )tnx x x 有一个解，此时恰为由 21 2 1 21( , , , ) ( , , , )nn i nig x x x f x x x 定义的函数 g 有最小是 0。 对任意从 nR 到 R 的函数 g 求局部最小值的最速下降方法可被只管地描述如下 : 1. 用初始近似 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )12( , , ) tnx x x x 计算 g 。 2. 从 (0)x 处确定使 g 值下降的一个方
20、向。 3. 按该方向移动适当值并且调用新值 (1)x 。 4. 用 (1)x 替换 (0)x 并重复步骤 1 至 3. 2.2.3 同伦和延拓法 10 非线性方程组的 同伦 或者 延拓 法包含在问题集合中求解的问题。特别地，为了求解形如 ( ) 0Fx 的问题，它有一个未知解 *x ，考虑一系列使用假设在 0,1上的参数 来描述的问题。有已知解 (0)x 的问题对应于 0 ，有未知解 *(1)xx 的问题对应于 1 。 例如，假设 (0)x 是 *( ) 0Fx 的解的初始近似值。定义 : 0 ,1 nnG R R 其方程形式为 ( , ) ( ) ( 1 ) ( ) ( (0 ) ) ( )
21、 ( 1 ) ( (0 ) )G x F x F x F x F x F x （ 10.19） 对不同的 值，可以确定 ( , ) 0Gx 的解。当 0 ，此方程假定形如 0 (0 , ) ( ) ( (0 ) )G x F x F x 且 (0)x 是一个解。当 1 时，方程假定形如 0 (1, ) ( )G x F x 且 *(1)xx 是一个解。 2.2.4 一类不动点迭代法的求解 （ 1）反函数方法 12 因为 ()xx ，有 111 ( ) ()x x ，则当 , x ab 时， 1 1 ( ) 1x L ，所以方程()xx 可写成等价形式 1()xx ，从而构造迭代格式 11 ()
22、kkxx ( 0,1, )k 。很明显， 11 ()kkxx 满足收敛条件。 （ 2）牛顿（ Newton）迭代法 13 把 ()xx 化为 ( ) ( ) 0f x x x ，采用 Newton 迭代格式有 1 11( ) ( ) ( ) , ( 0 , 1 , )1 ( ) 1 ( )k k k k kkk kkx x x x xx x kxx （ 3）埃特金 (Aitken)加速法 根据 Aitken 加速算法，对迭代格式 1 ()kkxx ( 0,1, )k ，进行如下修改： 221( ( ) ) ( )() ( ( ) )2 ( ( ) ) 2 ( )kkkkk k kk k k k
23、 k kxxzyx z xz y x x x x （ 4）松弛法 14 将 ()xx 化成等价形式 (1 ) ( ) ,x x x 为松弛因子，迭代函数为( ) (1 ) ( )x x x ，迭代格式为 1 (1 ) ( )k k kx x x 记 minmin ( )mx， max ( )a x bMx，有如下结论： 当 ( ) 1xL ， 取 2 01M 时，迭代格式（ 3）收敛； 当 ( ) 1xL ， 取 20 1 m 时，迭代格式（ 3）收敛； 当 ( ) 1xL ， 取 11 1 mm 时，迭代格式（ 3）收敛，并比迭代格式1 ()kkxx 收敛快。 一个方程的迭代格式不是唯一的，
24、且迭代也不都是收敛的，其收敛性质取决于迭代函数()x 和初值 0x 。关于迭代的收敛性，已经有如下的结论 15-16 若 ()x 满足下列条件：（ 1） , x ab 时， ( ) , x a b ；（ 2）对任意 , x ab ，存在01L，使 ( ) 1xL ，则方程 ()xx 在 , ab 上有惟一的根 *x ，且对任意初值 0 , x ab ，迭代序列 1 ()kkxx ( 0,1,2 )k 收敛于 *x 。 三、总结部分 本文首先介绍了 MATLAB 这个数学软件，让我们初步了解了这个软件的一些情况。 MATLAB是当今最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算与可视化功能、简单易
25、用、开放式可扩展环境，特别是所附带的 30 多种面向不同领域的工具箱支持，使得它在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。 MATLAB 具有其他高级语言难以比拟的一些优点，如编写简单、编程效率高、易学易懂等，因此 MATLAB语言也被通俗地称为演算纸式科学算法语言。 MATLAB GUI 是 MATLAB 的图形用户界面，它有友好的程序界面，再加上 MATLAB 的强大计算能力，使得 MATLAB 软件更受人们的欢迎。 接着又介绍了求解非线性方程的几种方法和几种迭代方法。求解非线性方程组的主要方 法有 Newton 方法、拟牛顿法、最速下降法、同伦和延
26、拓法而不动点迭代方法是求解非线性方程近似根的一个重要方法，其应用非常广泛，对迭代函数不满足收敛定理条件的一类情况进行了研究，归纳出几种迭代方法。 MATLAB 的强大计算能力和 MATLAB GUI 的友好图形界面给 求解非线性方程组研究带来了很大的方便。 四、参考文献 1 拉克唐瓦尔德 . 数值方法和 MATLAB 实现与应用 M. 北京：机械工业出版社 .2004 2 费业泰 .误差理论与数据处理 M.第 4 版 北京：机械工业出版社 .2005 3拉克唐瓦尔德 .数值方法和 MATLAB 实现与应用 M.北京：机械工业出版社 .2004 4John H.Mathews,Kurtis D.
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