1、 1 利用放 缩法证明数列型不等式 压轴题 惠州市 华罗庚中学 欧阳勇 摘要： 纵观 近几年 高考数学卷 ， 压轴题 很多是 数列 型 不等式 ， 其中通常需要证明数列型不等式， 它不但可以考查 证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它 多 种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。 处理 数列型 不等式 最 重要要的方法 为放缩法 。 放缩法的本质是基于最初等的四则运算， 利用不等式的传递性 ， 其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果 ； 其难点是 变形灵活，技巧性强 ，放缩尺度 很难把握。 对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往 无从下笔 本文以数列 型
2、 不等式 压轴题 的证明为例，探究 放缩法在其中的应用 ，希望能抛砖引玉， 给 在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯 。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一 、 常用的 放缩法在数列型不等式证明中的 应用 1、 裂项放缩法 ： 放缩法与裂项求和的结合 ， 用放缩法 构造 裂项求和 ， 用于解决和式问题。 裂项放缩法主要有两种类型： （ 1） 先放缩 通项 ，然后将其 裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时 消 去中间的项 。 例 1 设数列 na 的前 n 项的和 14 1 223 3 3nnnSa ， 1,2,3, 。 设 2nn nT S，1,2,3,n ，证明：132
3、n ii T 。 证明： 易得 12 ( 2 1)( 2 1),3 nnnS 113 2 3 1 1()2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nn n n n nT ， 1 1 2 2 3 111 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nni i i n niiT =113 1 1 3()2 2 1 2 1 2n点评 ： 此题的关键是将1 2(2 1)(2 1)nnn 裂项成1112 1 2 1nn，然后再求和，即可达到目标。 （ 2） 先放缩通项，然后将其裂成 ( 3)nn 项 之 和，然后再
4、结合其余条件 进行二次 放缩。 例 2 已知数列 na 和 nb 满足 112 , 1 ( 1)n n na a a a ， 1nnba，数列 nb 的2 前 n 和为 nS ， 2n n nT S S； （ I）求证： 1nnTT ； （ II）求证：当 2n 时， 2nS 7 1112n。 证明： （ I）1 1 1 1 1 1 1()2 3 2 2 1 2 2nnTT n n n n n n 1 1 12 1 2 2 1n n n 1 0(2 1)(2 2 )nn 1nnTT （ II）1 1 2 2 1 12 2 2 2 22, n n n n nn S S S S S S S S 1
5、2 2 1 122nnT T T T S 由（ I）可知 nT 递增，从而12 222nnT T T ，又1 1 217, 1,2 1 2T S T ， 12 2 1 12 2 2n n nS T T T T S 2 1 1 7 1 7 1 1( 1 ) ( 1 ) 11 2 2 1 2nn T T S n 即 当 2n 时， 2nS 7 1112n。 点评： 此题 （ II ） 充 分 利 用 （ I ） 的 结 论 ， nT 递增，将 2nS裂成1 1 2 2 1 12 2 2 2n n n nS S S S S S S 的和，从而找到了解题的突破口。 2、 迭乘 放缩 法 ： 放缩法与
6、迭乘法的结合， 用放缩法 构造 迭乘 形式， 相乘时消去中间项 。 用于解决积式问题。 例 3 已知数列 na 的首项为 1 3,a 点 1, nn aa 在直线 )(03 *Nnyx 上 。 若 3*3lo g 2 ( ),nnc a n N 证明对任意的 *nN ，不等式 3121 1 1(1 ) ( 1 + ) ( 1 + ) 3 1n nc c c 恒成立 证明 ： 32ncn， 331 3 1 3 1 3 3 1 3 1( 1 + ) ( )3 2 3 2 3 1 3 3 2n n n n n nc n n n n n 所以 3121 1 1 4 7 3 1 ( 1 ) ( 1 +
7、) ( 1 + ) 3 11 4 3 2nn nc c c n 3121 1 1(1 ) ( 1 + ) ( 1 + ) 3 1n nc c c 。 点评 ： 此题 是证明积式大于根式，由于左边没有根式， 右边是 三次 根式，立方后比较更3 容易处理。 331 3 1(1+ ) ( )32n ncn 可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加 1，加 2，则积变小， 33 1 3 1 3 3 1 3 1()3 2 3 2 3 1 3 3 2n n n n nn n n n n 而通项式为 3132nn 的数列在 迭乘 时刚好 相消 ，从而达到目标。 3、迭代放缩法
8、： 通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。 例 4 已知数列 nx 满足，1111, , *21n nx x n Nx ， 证明： 11 12| | ( )65 nnnxx 。 证 明 ： 当 1n 时，1 2 1 1| | | | 6nnx x x x ，结论成立。 当 2n 时，易知11 1110 1 , 1 2 , 12n n n nx x x x 1 1 1115( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 212n n n nnx x x xx 1111|11| | | |1 1 ( 1 ) ( 1 )nnnnn n n nxxxx x x x x 2 1 11 1 2
9、12 2 2 1 2| | ( ) | | ( ) | | ( )5 5 5 6 5nnn n n nx x x x x x 点评 ： 此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找 到解题途径。 4、 等比 公式 放缩 法 ： 先放缩 构造 成 等比数列， 再求和 ，最后 二次放缩实现 目标转化 。 例 5 已知数列 na 的各项均为正数，且满足 11 1122 , ( ) ,1nnaaa n N 记2n n nb a a，数列 nb 的前 n 项和为 nx ，且 1()2nnf x x （ I）数列 nb 和 na 的通项公式； （ II）求证： 122 3 1()( ) ( )1 (
10、)2 ( ) ( ) ( ) 2nnfxf x f xnn nNf x f x f x 略 解： （ I） 2nnb ， 21 1 22 nna ， ( ) 2 1nnfx。 证明： （ II）11() 2 1 2 1 1 , 1( ) 2 1 22 ( 2 )2nnnn nnfxfx 4 122 3 1()( ) ( )( ) ( ) ( ) 2nnfxf x f x nf x f x f x 111() 2 1 1 1( ) 2 1 2 2 ( 2 1 )nnnnnfxfx 1 1 11 1 1 , 2 2 ( 2 2 ) 2 2n n n 12 2 3 12 3 1()( ) ( ) 1
11、 1 1 1 1 1( ) = ( 1 )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2n nnnfxf x f x n n nf x f x f x 122 3 1()( ) ( )12 ( ) ( ) ( ) 2nnfxf x f xnnf x f x f x 反思 ： 右边 是 2n ， 感觉是 n 个 12 的和， 而中间刚好是 n 项， 所以 利用12 1 12 1 2nn ；左边 是 12n 不能用同样的方式来实现，想到 11( ( ) ) ( ( ) 0 )2 2 2nn f n f n ， 试着 考虑将121nn缩小成 1 ( 2nncc是等比数列），从而找到了此题的突
12、破口。 5、二项式 定理 放缩法： 在证明与指数有关的数列 型 不等式时， 用 二项式 定理 放缩 特别有效 。 二项式定理放缩法 有两种常见类型： （ 1）部分二项式定理放缩 法： 即只在式子的某一部分用二项式定理放缩 。 例 6 已知数列 na 满足 aa1 ( 2)a ，1 ( 4 6) 4 1021nn n a na n （ n N ） （）证明数列 221nan是等比数列，并求出通项 na ； （）如果 1a 时，设数列 na 的前 n 项和为 nS ，试求出 nS ，并证明当 3n 时，有 341 1 1 110nS S S 21 世纪教育网 略 解 ： 223 )12)(2( 1
13、 nn naa（ *nN ） ， 则 (2 1)(2 1)nnSn nnnnnnn CCCC 1102 ， 当 3n 时， 0 1 12 2 ( 1 )n n nn n n nC C C C n ，则 1212 nn )12)(12( nnS n ，则 )12 112 1(21)12)(12( 11 nnnnS n 5 因此， )12 112 1()9171()7151(21111 43 nnSSS n 101)12 151(21 n 反思 ： 为什么会想到将 11(2 1)(2 1)nnSn 放缩成 1(2 1)(2 1)nn？联想到1 1 1 1111 2 2 3 ( 1 ) 1n n n
14、 ，因为要证明 110 ，而341 1 1nS S S 是一个数列前 n 项的和，最后 通过放缩很可能 变成 1 ( )( ( ) 0 )10 f n f n的形式，而 110 应是由31137S 放缩后裂项而成，31 1 1 1 1()3 5 2 3 5S ， 1 1 1( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )nnS n n n 1 1 1()2 2 1 2 1nn，此时刚好得到341 1 1 1 1 1 1()2 5 2 1 1 0nS S S n ，接下来就要处理 1212 nn ，想到用二项式定理 。 （ 2）完全二项式定理放缩 法 ： 整个式子的证 明 主要借助
15、于二项式定理。 例 7 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 且 对 任 意 的 *nN ，都有3 3 3120,n n na S a a a . (I)求 12,aa的值；（ II）求数列 na 的通项公式 na ；（ III）证 明： 2 1 2 2 1n n nn n na a a。 略解： （ I）（ II） 121, 2aa， nan ； 证明 （ III） 0 1 2 2 3 3(1 ) ,n n n n nx C C x C x C x 0 1 2 2 3 3(1 ) ,n n n n nx C C x C x C x 1 3 3 5 5 1( 1 ) ( 1 ) 2 2 2
16、 2 2nn n n n nx x C x C x C x C x n x ， 令 12x n ， 则有 11(1 ) (1 ) 122nnnn ，从而 ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 )n n nn n n ，即 2 1 2 2 1n nn n na a a。 点评： 利用 二 项式定理 结合放缩法 证明不等式 时 ，一定要紧密结合二项 式 展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。 6、比较放缩法： 比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩 。 例 8 在 单调递增数列 na 中， 11a ， 22a ，且 12212 , nn
17、n aaa 成等差数列，22122 , nnn aaa 成等比数列， ,3,2,1n 6 （ I）分别计算 3a ， 5a 和 4a ， 6a 的值； （ II）求数列 na 的通项公式（将 na 用 n 表示）； （ III）设数列 1na的前 n 项和为 nS ，证明： 24n nSn， *n N 略解： （ I）（ II） 得 3 3a ，4 92a， 5 6a ， 6 8a 为偶数为奇数nnnnna n,8 )2(,8 )3)(1(2 证明： （ III） 由（ II），得为偶数为奇数nnnnna n ,)2(8,)3)(1( 812 显然，21 14341111 aS； 当 n 为偶
18、数时， 4 2n nS n 2 2 21 1 1 1 1 1 48 2 4 4 4 6 6 ( 2 ) ( 2 ) 2nn n n n 1 1 1 1 1 1 48 2 4 2 4 4 6 4 6 ( 2) ( 2) 2nn n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 48 2 4 4 6 6 8 2 2nn n n 1 1 4802 2 2nnn ； 当 n 为奇数（ 3n ）时，14 1 4 4 ( 1 ) 8 42 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 3 ) 2nn nn n n nSSn a n n n n n 1 2 8401 ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 1 ) ( 2 )
19、( 3 )nnn n n n n n n . 综上所述， 4 02n nS n， 即 24n nSn， *n N 点评： 此题在作差 比较 中实施裂项放缩，进而 得到最后结果小于 0，从而得证。 7、 单调函数 放缩 法 ： 根据题目 特征，构造特殊 的单调函数 ， 再 进行放缩 求解 。 例 9 设函数 2( ) ln ( 1)f x x b x ，其中 0b 证明对任意的正整数 n ，不等式231 1 1ln 1n n n 都成立 分析： 欲证上述结论，直接作差比较231 1 1ln 1 ( )n n n ，无从下手；接着想到令7 231 1 1( ) ln 1 ( )gn n n n ，
20、判断函数 ( )( *)g n n N 的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能计算 ( 1) ( )g n g n ，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令 1 (0 )xn ， ，判断函数 32( ) l n ( 1 ) ( 0 )h x x x x x 的单调性，如果在 (0, ) 单调，则 函数 ()gn 也单调。 解： 令函数 3 2 3 2( ) l n ( 1 ) l n ( 1 )h x x x x x x x ， 则 322 1 3 ( 1 )( ) 3 2 11xxh x x x xx 当 0x ， 时， ( ) 0hx ，所以函数 ()hx
21、在 0， 上单调递增， (0 )x ， 时，恒有 ( ) (0) 0h x h，即 23ln( 1)x x x 恒成立 故当 (0 )x ， 时，有 23ln( 1)x x x 对任意正整数 n 取 1 (0 )x n ， ，则有231 1 1ln 1n n n 二 、放缩法 的注意问题以及解题 策略 1、 明确放缩的方向 ： 即 是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某 项 ，则放大，是大于某个 项 ，则缩小。 2、放缩的项数： 有时从第 一项开始，有时从第三项， 有时 第三项， 等等， 即不一定是对全部项进行放缩。 3、 放缩法的常见技巧 及 常见的放缩式： （ 1）根式的放缩： 1 1 1
22、1 2 1k k k k k ； （ 2）在分式中放大或缩小分子或分母 ：21 1 1 ( 2 )( 1 ) ( 1 ) kk k k k k ； 真分数分子分母同时加上一个正数，则变大； ， 11nn ； 假分数分子分母同时加上一个正数，则变小 ，如 2 1 22 2 1nn ； （ 3）应用基本不等式放缩 ： 222222n n n nn n n n ； （ 4）二项式定理放缩：如 2 1 2 1( 3)n nn ； （ 5）舍掉（或加进）一些项 ，如： 1 2 1 3 2 1| | | | | | | | ( 2 )n n na a a a a a a a n 。 8 4、把握放缩的尺度
23、： 如何确定 放缩 的尺度 ，不能过当， 是应用 放缩 法证明中最关键、最难把握的问题。 这 需 要 勤于观察和思考，抓住 欲证命题的特点， 只有这样，才能使 问题 迎刃而解。 再看例 2，若构造函数2 1 1 1 7 1 1( ) ( 1 ) 1 ( * )2 2 3 2 1 2n nnnf n S n N ， 则 ( 1) ( )f n f n 11 1 1 7 1 8(1 )2 3 2 1 2n n 1 1 1 7 1 1(1 )2 3 2 1 2n n 1 1 1 12 1 2 2 2 2 2n n n n 1 7 1 7 1202 2 1 2 2 1 2 1 2nnn 前后不等号不一
24、致， 不能确定 ()fn的单调性， 此时放缩过当， 此题不适宜用单调函数放缩法 。 若 要 证明2 (1 )2n nS ， 则 ( 1) ( )f n f n 11 1 1 3(1 )2 3 2 2n n 1 1 1 2(1 )2 3 2 2n n 1 1 1 11 2 2 2 2 2n n n n 1 1 1 1202 2 2 2 2nnn ，所以 ( ) ( )f n f n ， 从 而 ( )( *)f n n N 递增，13( ) (1 ) 1 022f n f ，所以 2 (1 )2n nS 成立 ，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。 5、放缩
25、法的策略以及精度的控制 例 10 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足111 , 2 0 ( 2 )2 n n na a S S n 。 （ I）数列 1nS是否为等差数列？并证明你的结论； （ II）求 nS 和 na ； （ III）求证 ： 2 2 2 21 2 3 12nS S S S 。 简解： （ 1）（ 2）1 ( 1 )1 2,12 ( 2)2 ( 1 )nnnSannnn ； （ 3） 证法一： 当 1n 时 ， 21 1142S 成立； 当 221 1 1 12 , ( )4 4 1nnS n n n ， 2 2 2 21 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1
26、 1 1 1 1 ( 1 )4 4 1 2 2 3 ( 1 ) 4 4 2 2 3 1nS S S S n n n n = 1 1 1 1 1 1(1 )4 4 2 2nn 9 综上所述， 2 2 2 21 2 3 12nS S S S 。 证法二： 2221 1 1 1 1 1()4 4 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nS n n n n n n 2 2 2 21 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2nS S S S n n n 。 点评 ： 两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将214n
27、放大成2144nn，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将214n放大成2141n。明显 241n 比 244nn 大很多，2141n比2144nn更接近214n。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。 本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度， 从中 我们可以发现 放缩法是证明 数列型不等式 的压轴题 的 最重要的 方 法。 对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法， 在平时或考试中遇到数列型不等式 的证明问题，我们不能望题兴叹 ，也不 能 轻言放弃 ， 更不能盲目瞎撞 。 多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。 只有 正确把握 了 放缩 法的方法思路 和 规律 特征 ， 我们在 证明数列型不等式 的 压轴题 时，就会 豁然开朗 ， 快速找到突破口 ，成为解决此类题的高手。
