1、1,自动控制原理,第3章 线性系统的时域分析,1,2,第3章 线性系统的时域分析,3.1 引言3.2 系统时间响应的性能指标3.3 一阶系统的时域分析3.4 二阶系统的时域分析3.5 高阶系统时域分析法概述3.6 控制系统的稳定性分析3.7 控制系统稳定误差的分析及计算3.8 MATLAB在本章中的应用,2,3,3.1 引言,经典控制理论中常用的工程分析方法有3种：时域分析法（time domain analysis）根轨迹法（root locus method）频率响应法（frequency response method）,时域分析法的特点：1).直观、精确。2).比较烦琐。时域分析法的物
2、理概念清晰，准确度较高，在已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程后，使用时域分析法比较方便。但若用它来设计和校正系统，根据系统性能指标的要求来选定系统的结构和参数，却存在一定的困难。分析内容：瞬态性能；稳态性能；稳定性,3,4,Control systems are required to have satisfactory transient and steady state responses. These are contradictory requirements, and the final design is often a compromise between the two.
3、 Quantitative performance measures are required to carry forward the design process and to make comparisons between competing designs. Quantitative performance measures of feedback control systems will enable quantification of design objectives so that design can be carried out logically and systema
4、tically (remove fuzziness associated with customer requirements) and enable meaningful comparisons to be made between competing designs.,3.1 引言,4,5,The criteria for selection of performance measures include: (1) design objectives translate into simple design rules; (2) easy to analyse; (3) experimen
5、tally measurable. Design specifications for control systems normally include several time response indices for a specified (test) reference input as well as a desired steady-state accuracy. This topic introduces you to the time domain performance measures that are widely used by control practitioner
6、s.,3.1 引言,5,6,In the following activities, you will explore the relationships between the commonly used quantitative performance measures of feedback control systems and the location of the system transfer function poles and zeros in the s-plane. You will learn that a second order transfer function
7、with damping ratio 0.7 has the optimum transient response, while its natural frequency n determines the duration of the transients. It is therefore very desirable to accomplish such a transfer function for feedback control systems.,3.1 引言,6,10,3.2 系统时间响应的性能指标,时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方
8、法。根据时域分析法研究系统性能，可以定量描述包括稳定性（Stability）、快速性（Speed）和准确性（Accuracy）等各项性能指标。时域分析法的物理概念清晰，准确度较高，在已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程后，使用时域分析法比较方便，从而它也成为控制系统研究中直观而有效的方法之一。,10,11,3.2 系统时间响应的性能指标,Terms and Concepts（1）Time domainThe mathematical domain that incorporates the time response and the description of a system in t
9、erms of time.（2）Time-varying systemA system for which one or more parameters may vary with time.,11,12,3.2 系统时间响应的性能指标,1、典型的输入信号控制系统的响应是由系统本身的结构参数、初始状态和输入信号的形式所决定的。为了便于分析和设计，我们提出两个假定，第一个假定，在输入信号作用于系统的初始t=0时，系统相对静止，即为零初始状态；第二个假定，需要假定一些典型的输入信号，作为系统的试验信号。,12,13,3.2 系统时间响应的性能指标,选取这些实验信号时应考虑以下三个方面：（1）选取的
10、输入信号的典型性应反映系统工作的大部分情况；（2）选取的输入信号具有一定代表性，且其数学表达式简单，以便于数学分析和试验研究； （3）应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型的实验输入信号。选取常用的典型输入信号有：阶跃信号、斜坡（速度）信号、加速度（抛物线）信号、脉冲信号和正弦信号。,13,14,3.2 系统时间响应的性能指标,阶跃信号阶跃信号是评价系统动态性能时应用较多的一种典型外作用，例如最经常采用的实验信号，它可以表示指令的突然转换、电源的突然接通、设备故障和负荷的突变等。由于阶跃信号的频谱具有很宽的频带，通常也作为测试信号，等价于应用无数个频率范围很宽的正弦信号。,14,1
11、5,3.2 系统时间响应的性能指标,斜坡信号斜坡信号可以看作是阶跃信号的积分，有时又称为速度信号。斜坡信号的变化要比阶跃信号快一个等级，它具有测试系统将如何对随时间变化的信号做出响应的能力。大型船闸的匀速升降、列车的匀速前进、主拖动系统发出的位置信号等都可以看成斜坡信号。,15,16,3.2 系统时间响应的性能指标,加速度（抛物线）信号加速度信号可以看作是斜坡信号的积分，有时又称为抛物线信号。加速度信号的变化要比斜坡快一个等级，在实际中很少发现有必要使用变化比加速度信号更快的测试信号。,16,17,3.2 系统时间响应的性能指标,脉冲信号（理想）脉冲信号所描述的脉冲信号实际上是无法获得的，在现
12、实中不存在，只有数学意义，但是它却是一个重要的数学工具。在工程实践中，当远小于被控对象的时间常数时，这种窄脉冲信号就可近似地当成(t)信号。脉冲电压信号、冲击力等都可以近似为脉冲信号。,17,18,3.2 系统时间响应的性能指标,正弦信号正弦信号可以求得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态响应，称为频率响应。在实际过程中，交流电源、电磁波和机车设备受到的振动、电源和机械振动的噪声等都可以近似为正弦信号。,18,19,3.2 系统时间响应的性能指标,19,20,3.2 系统时间响应的性能指标,20,21,3.2 系统时间响应的性能指标,输入信号是按时间变化规律来划分的，也可以是任何不同的物理量，如
13、温度、电压、电流、转角、转速、压力等。同时这些测试信号都具有在数学上描述简单和实验室容易实现的共同特点。采用哪种典型输入信号分析系统特性，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。如果系统的输入信号是突变的量，则应选取阶跃信号；如果系统的输入信号是瞬时冲击的函数，则选取脉冲信号最为合适；如果系统的输入信号是随时间逐渐变化的函数，则应选取斜坡信号。,21,22,3.2 系统时间响应的性能指标,需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处
14、理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。一般来说，在实际信号的作用下，系统响应特性都能满足要求。本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。,22,23,3.2 系统时间响应的性能指标,Reading MaterialIn practice, actual input signal to the control system is quite varied and unpredictable, and/or too complex to analyse. When carrying out mathematical analy
15、sis of linear systems, we can consider the input magnitude to be unity without any loss of generality. In experimental investigation of practical systems, however, the magnitude of the input test signal should be carefully selected (depends on the particular system being tested).,24,3.2 系统时间响应的性能指标,
16、Reading MaterialOtherwise one or more components of the system may be forced to operate outside their linear range. The linear model will not be applicable then，and the output of the system will differ significantly from that predicted by the transfer function analysis.,25,3.2 系统时间响应的性能指标,2、单位冲激响应在零
17、初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数时， 系统的输出信号称为系统的单位冲激响应。,25,26,3.2 系统时间响应的性能指标,3、系统的时间响应根据拉氏反变换中的部分分式法可知，有理分式C(s)的每一个极点（分母多项式的根）都对应于c(t)中一个时间响应项，即运动模态，而c(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应项（运动模态）的线性组合。,26,27,3.2 系统时间响应的性能指标,通常把传递函数极点所对应的运动模态称为该系统的自由运动模态或振型，或称为该传递函数或微分方程的模态或振型。系统的自由运动模态与输入信号无关，也与输出信号的选择无关。传递函数的零点并不形成运动模态，但它们
18、却影响各模态在响应中所占的比重，因而也影响时间响应及其曲线形状。,27,28,3.2 系统时间响应的性能指标,时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有：瞬（暂）态分量由输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过渡过程中的各项动态性能的信息。与传递函数极点对应的时间响应分量稳态分量过渡过程结束后,系统达到平衡状态，其输入输出间的关系不再变化的响应部分，它反映了系统的稳态性能或误差。与输入信号极点对应的时间响应分量,28,29,3.2 系统时间响应的性能指标,根据数学中拉普拉斯变换的微
19、分性质和积分性质可以推导出线性定常系统的重要特性：系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出的初始条件确定。可见，一个系统的单位阶跃响应、单位冲激响应和单位斜坡响应中，只要知道一个，就可通过微分或积分运算求出另外两个。,29,30,3.2 系统时间响应的性能指标,Poles are the set of values of s that make the value of the transfer function infinity. Zeros are the set of values of s th
20、at make the value of the transfer function zero. The characteristics of poles and zeros of a transfer function can be described as the following:(1) Poles are those values of s that make the transfer function infinity.(2) The equation obtained by equating denominator of the transfer function to zero
21、 is referred to as the characteristic equation.,30,31,3.2 系统时间响应的性能指标,(3) Poles are the roots of the characteristic equation.(4) Zeros are those values of s that make the transfer function zero.(5) Zeros are the roots of the equation obtained by equating the numerator of the transfer function to zer
22、o.(6) Poles play much more important role than zeros in determining the system dynamics.,31,32,3.2 系统时间响应的性能指标,例题 一单位反馈控制系统的开环传递函数为求（1）输入量r(t)=t时，系统的输出响应；（2）输入量r(t)=(t)时，系统的输出响应。,32,33,3.2 系统时间响应的性能指标,4、动态响应和稳态响应时间响应系统在输入信号的作用下，其输出随时间变化的过程。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态响应和稳态响应。瞬态响应（过渡过程或动态响应）稳态响应（稳态过程）,33,3
23、4,3.2 系统时间响应的性能指标,(1) 瞬态过程指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，由于实际系统具有惯性、摩擦以及其它原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、发散或等幅震荡形式。一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的，动态响应提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。,34,35,3.2 系统时间响应的性能指标,(2)稳态响应指系统在典型输入信号作用下，当时间t 时，系统输出量的表现方式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度
24、（跟踪），提供系统有关稳态误差的信息。从理论上讲，只有时间趋于无穷大时才进入稳态过程，但这在工程应用中是无法实现的，因此在工程中只讨论典型输入信号加入后一段时间里的动态过程，在这段时间里反映了系统主要的动态性能指标。而在这段时间之后，认为系统进入了稳态过程。,35,36,3.2 系统时间响应的性能指标,The time response of a control system is usually divided into two parts: transient response and steady-state response. If a time response is denoted
25、 by c(t), then the transient response and steady-state response may be denoted by ct(t) and css(t). The steady-state response is simply the fixed response when time reaches infinity, i.e., Therefore, a sine wave is considered as steady-state response because its behavior is fixed as time approaches
26、infinity.,36,37,3.2 系统时间响应的性能指标,Transient response is defined as the part of the response that goes to zeros as time becomes large. Therefore, has the property of The transient response of a control system is of importance, since it is a part of the dynamic behavior of the system; and the difference
27、 between the response and the input or the desired response, before the steady state is reached, must be closely watched. If the steady-state response of the output does not agree with the steady state of the reference exactly, the system is said to have a steady-state error.,37,38,5、瞬态性能指标与稳态性能指标（1
28、）瞬态性能指标稳定的系统在单位阶跃信号作用下，瞬态过程随时间的变化状况的指标。a）上升时间 ；b）峰值时间 ；c）最大超调（量） d）调节时间e）振荡次数N,3.2 系统时间响应的性能指标,38,39,例题：设某高阶系统可用一阶微分方程近似描述：试求系统的动态性能指标。,3.2 系统时间响应的性能指标,39,40,这些指标描述了瞬态响应过程，反映了系统的动态性能。其中，上升时间、峰值时间均表征系统响应初始阶段的快速性；调节时间表示系统过渡过程的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；最大超调量反映了系统动态过程的平稳性，即用超调量表示实际响应与期望响应的接近程度。由控制系统本身的特性决定，这些要
29、素通常是相互矛盾的，因而必须做出折中的选择。,3.2 系统时间响应的性能指标,40,41,3.2 系统时间响应的性能指标,Terms and ConceptsTest input signal: An input signal used as a standard test of a systems ability to respond adequately.Performance index: A quantitative measure of the performance of a system.Overshoot: The amount by which the system outp
30、ut response processed beyond the desired response.Peak time: The time for a system to respond to a step input and rise to a peak response. input amplitude.,42,3.2 系统时间响应的性能指标,Terms and ConceptsRise time: The time for a system to respond to a step input and attain a response equal to a percentage of
31、the magnitude of the input. Setting time: The time required for the system output to settle within a certain percentage of the input amplitude.,43,（2）稳态性能指标当响应时间大于调节时间时，系统进入稳态过程，描述系统稳态性能的一种性能指标。稳态误差是控制系统精度和抗干扰能力的一种度量，反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。,3.2 系统时间响应的性能指标,43,44,3.3 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。一阶系统在控
32、制工程中应用广泛，一些控制部件及简单系统，如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都可用一阶系统来描述。有些高阶系统的特征，常可用一阶系统的特征来近似表征。The order of a system is defined as the degree of its characteristic polynomial. A first-order system is represented by a first-order differential equation.,44,45,3.3 一阶系统的时域分析,1、一阶系统的数学模型和结构图用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。有些高阶系统
33、的特征，常可用一阶系统的特征来近似表征。T表征系统惯性重要的特征参数，反映了系统过渡过程的品质。T越小，则系统响应越快。,45,46,3.3 一阶系统的时域分析,2、一阶系统的单位阶跃响应(a) 输出量的初始值为零，而终值将变为1。(b) Css成为稳态分量，它的变化规律由输入信号的形式决定。 Ctt称为暂态分量。稳定的，无振荡。(c) 该响应曲线的一个重要特征是当t=T时，c(t)的数值等于0.632，即响应达到了其总变化的63.2%。(d) 该响应曲线时间常数T越小，系统的响应越快。,46,47,3.3 一阶系统的时域分析,(1)调整时间,时间常数T反映了系统的响应速度，T越小，输出响应上
34、升越快，响应过程的快速性也越好。经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98，可以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间ts=(34)T。用实验的方法测出响应曲线达到63.2%高度点所用的时间，就是系统的时间常数T。,47,48,3.3 一阶系统的时域分析,(2)调整时间%一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，%=0（3）稳态误差ess终值为1，因而系统在阶跃输入时稳态误差为零。,48,49,3.3 一阶系统的时域分析,3、一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应在t=0时等于 1/T，它与单位阶跃响应在t=0时的变化率相等。单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应
35、就是单位脉冲响应的积分。这个结果进一步说明了单位阶跃信号作为典型输入信号的重要性和代表性。,49,50,3.3 一阶系统的时域分析,4、一阶系统的单位斜坡响应,从提高斜坡响应的精度来看，时间常数T越小，响应速度越快，跟踪误差越小，输出信号滞后于输入信号的时间也越短。同样，单位斜坡响应就是单位阶跃响应的积分。,50,51,3.3 一阶系统的时域分析,5、一阶系统的单位加速度响应,对于一阶系统来说，不能实现对加速度输入信号的跟踪。,51,52,3.3 一阶系统的时域分析,比较上述，脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。这表明，系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数
36、。反之，系统对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个重要特征，它不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统。例题3-3-1,52,53,3.3 一阶系统的时域分析,例题 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为求(1)单位脉冲响应；(2)闭环传递函数；(3)开环传递函数。,53,54,3.4 二阶系统的时域分析,如果运动方程为二阶微分方程，或者特征方程s的最高阶次为2次，则该系统为二阶系统。例如RLC网络、机械平移系统和位置随动系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，
37、系统呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。The second-order system is described by second-order differential equations. Second-order systems are important because their behavior is very different from first-order systems and may exhibit feature such as oscillatory response, or overshoot. Moreover, their analysis g
38、enerally is helpful to form basis for the understanding of analysis and design techniques.,54,55,3.4 二阶系统的时域分析,RLC网络运动方程为,称为无阻尼振荡频率或自然频率，属于闭环系统的固有频率 称为二阶系统的阻尼比或相对阻尼系数，量纲为1。,55,56,3.4 二阶系统的时域分析,二阶系统的特征方程二阶系统的动态特性取决于和n这两个参数。其中根据阻尼比取值，这两个极点可以是实数或者一对共轭复数，即其特征根和瞬态相应也有很大的差异。,56,Critical damping: The case
39、where damping is on the boundary between underdamping and overdamping.Damp ratio: A measure of damping. A dimensionless number for the second-order characteristic equation.,57,3.4 二阶系统的时域分析,1、二阶系统的单位阶跃响应（1）无阻尼=0表明系统在无阻尼时，响应是一个纯正弦信号，电路中将发生不衰减地电磁振荡现象，振荡频率为n。,57,58,3.4 二阶系统的时域分析,（2）欠阻尼01,62,63,过阻尼二阶系统的
40、单位阶跃响应有稳态响应分量和瞬态响应分量组成，等式右边第一项为稳态响应分量1，第二项为瞬态响应分量，是两个指数衰减过程的叠加，因而瞬态响应是单调的衰减过程。,3.4 二阶系统的时域分析,63,64,3.4 二阶系统的时域分析,2、欠阻尼二阶系统的动态性能分析在实际工程控制中，除了一些不允许产生振荡的系统之外，通常希望系统的响应过程在具有适当的振荡特性情况下，能有较短的调整时间和较高的响应速度。在设计二阶系统时，一般取=0.40.8，即系统工作在欠阻尼状态下。小（0.8）会使系统的响应变得缓慢。,64,65,3.4 二阶系统的时域分析,假设系统为欠阻尼系统，即01，此时系统的单位阶跃响应为为共轭
41、复数对负实轴的张角，称为阻尼角或滞后角，响应特性完全由 和n 这两个特征参量决定。,65,66,3.4 二阶系统的时域分析,二阶欠阻尼系统极点的两种表示：直角坐标表示：“极”坐标表示：,66,67,3.4 二阶系统的时域分析,（1）上升时间tr根据上升时间的定义，令c(tr)=1，可得到当阻尼比一定时，阻尼角不变，系统的响应速度与n成反比。在d一定时，阻尼比越小，上升时间就越短。,67,68,3.4 二阶系统的时域分析,（2）峰值时间tp根据定义对系统的单位阶跃响应求导，并令该导数为零，峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半。同时峰值时间与阻尼振荡频率d成反比，当阻尼比一定时，d越大，tp越短，响
42、应速度越快。当n一定时，阻尼比越小，tp越短，响应速度也越快。,68,69,3.4 二阶系统的时域分析,（3）最大超调量%在响应过程中，输出量c(t) 超出其稳态值的最大差量与稳态值之比。超调量发生在峰值时刻超调量%仅由阻尼比来决定，而与自然频率n无关。阻尼比越大，超调量越小，平稳性越好。通常=0.40.8 ，则%=25.4%1.5%。在这样的条件下，系统的总体性能良好。图3-4-2和表3-4-2。,69,70,3.4 二阶系统的时域分析,（4）调整时间ts响应曲线到达并停留在稳态值的5%(或2%)误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。,70,71,3.4 二阶系统的时域分析
43、,由公式可知，调整时间与系统的阻尼比和自然频率的乘积成反比。通常阻尼比是根据最大允许超调量的要求来决定的，也就是说，在不改变最大允许超调量的前提下，通常通过调整自然频率就可以改变瞬时响应的持续时间。,71,72,3.4 二阶系统的时域分析,（5）振荡次数N表示在调节时间内，系统响应的振动次数，用数学公式表示为：振荡次数N取整数，只与阻尼比有关。,72,73,3.4 二阶系统的时域分析,（6）稳态误差欠阻尼系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。综上所述，阻尼比和无阻尼自振频率n是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。,73,74,3.4 二阶系统的时域分析,当保持不变时，提
44、高n可使tr、 tp、ts下降，从而提高系统的快速性，同时保持%和N不变。当保持n不变时，增大可使%和ts下降，但使tp和tr上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的，要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定，然后再根据其它要求来确定n。工程上常取=0.707作为设计依据，称之为二阶工程最佳。此时，超调量为4.3%，调节时间最短（5%的误差标准）。,74,75,3.4 二阶系统的时域分析,例题3 系统结构图如图，试求：（1）当k=10时系统的动态性能；（2）使系统阻尼比=0.707的k值；,例题 3-4-1、3-4-2
45、,（1）当k=10时，,75,76,3.4 二阶系统的时域分析,（1）当k=10时，,76,77,3.4 二阶系统的时域分析,（2）当=0.707时，,77,78,3.4 二阶系统的时域分析,例题4 某典型欠阻尼二阶系统要求试确定系统极点的允许范围,78,79,3.4 二阶系统的时域分析,例题5 系统结构图如图，r(t)=1(t)的响应为c(t)，试求：K1、K2、a。,79,80,3.4 二阶系统的时域分析,由题意可知，,80,81,3.4 二阶系统的时域分析,81,82,3.4 二阶系统的时域分析,系统极点分布：,82,83,3.4 二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统动态性能计算复习：极点的表示方法：动态性能计算公式：,83,84,3.4 二阶系统的时域分析,系统中负实零点对系统响应的作用具有一个负实零点的规范二阶系统为,84,85,3.4 二阶系统的时域分析,阶跃响应为典型二阶系统的阶跃响应与脉冲响应之和。响应曲线是单位阶跃响应曲线与脉冲响应曲线叠加组成。负实零点对系统响应的作用：（1）仅在过渡过程开始阶段有较大影响（2）负实零点使系统响应速度加快（tr和tp减小）（3）系统的超调量略有增大（4）负实零点越接近虚轴，作用越强,
