1、知识点4-向量的线性相关性,线性相关与线性无关,1.,一、线性相关与线性无关,定义,则称向量组 A 是线性相关的，否则,称它线性无关,给定向量组 A：,如果存在不全为零的数,使,说明1,说明2,对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.,线性无关也可以这样表达：,如果有,典型例子,证：设有,即,得,所以,线性无关。,单位向量组一定线性无关的,含零向量的向量组一定线性相关,证:设含零向量的向量组为,显然,即,故向量组,线性相关,典型例子,例1已知向量组,线性无关,证明向量组,线性无关,证明 设, 则有,因为,线性无关, 所以,证明：,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有
2、：,定理1 向量组 线性相关,充要条件A中至少有一个向量可由其余向量线性表示,故,因系数 不全为零,故： 线性相关.,必要性：,设 线性相关，,则有不全为零的数 使,不妨设,即 能由其余向量线性表示.,则有：,不全为零,有非零解,定理2:,它所构成的矩阵 的秩小于向量的个数n；,向量组 线性相关的充要条件是,向量组 线性无关的充要条件是,它所构成的矩阵 的秩等于向量的个数n；,解法1：向量组是由3个3维向量构成，可用行列式来解。,向量组是线性相关的,例3 判断下列向量组的线性相关性.,解法2 ：用矩阵,向量组线性相关的,例3 判断下列向量组的线性相关性.,性质1,二、 向量组线性相关的性质(3
3、个),反之, 若向量组 线性无关,若向量组 线性相关,则向量组 也线性相关;,则向量组 也线性无关.,整体无关则部分无关,部分相关则整体相关,也线性无关.,无关向量组添加分量后仍然无关,性质2 若n维向量组,线性无关，,则n+s维向量组,也线性相关.,相关向量组减少分量后仍然相关.,则n维向量组,线性相关，,反之：若n+s维向量组,性质3,不全为零,证明表示式唯一：,则有,即表示式唯一,若,例5 设向量组 线性相关，而向量组,线性无关，证明:,(1) 能由 线性表示；,证明：因为 线性无关,又因为向量组 线性相关,能由 线性表示；,所以 线性无关,例5 设向量组 线性相关，而向量组,线性无关，证明:,(1) 能由 线性表示；,(2) 不能由 线性表示.,证明,假设 能由 线性表示.,由（1）可知： 能由 线性表示.,与已知矛盾.,能由 线性表示.,不能由 线性表示.,1.线性相关的充要条件：,向量组 线性相关,至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示,（向量的个数）,齐次方程组 有非零解,小 结,2.线性无关的充要条件：,向量组 线性无关,每个向量不能由其余 m-1 个向量线性表示,（向量的个数）,齐次方程组 只有零解,
