1、第七章 空间解析几何与向量代数,1/26,第一节 向量及其线性运算,向量的概念向量的线性运算空间点的直角坐标利用坐标作向量的线性运算向量的模、方向角、投影小结、作业,2/26,向量（矢量）：,既有大小又有方向的量.,模长为1的向量。,零向量：,模长为0的向量,向量的模：,向量的大小,单位向量：,一、向量的概念,或,或,向量的记法：,（方向任意）。,向量的表示：,3/26,自由向量：,不考虑起点位置的向量（默认）.,相等的向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,起点在原点的向量。,平行的向量：,4/26,1 加法：,（1）平行四边形法则,特殊地：若,分为
2、同向和反向,（2）三角形法则,二、向量的线性运算,5/26,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,6/26,3向量与数的乘法:,7/26,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,8/26,例1 化简,解,9/26,*例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。,证,A,B,C,D,E,F,10/26,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,若三个坐标轴的正方向符合右手规则右手系最常用（默认）.,三、空间点的直角坐标,另一种空间直角坐标系左手系.,11/26,面,面,面,空间直角坐标系共有三个坐标面、,八个卦限,1
3、2/26,向径OM,有序数组,称为(x, y, z)向径OM的坐标,点M,点M的坐标。,x,y,z,向量AB的坐标,=向径OM的坐标,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),=AB的终点坐标(x2,y2,z2),-起点坐标(x1,y1,z1),=(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),13/26, 按基本单位向量的分解式.,14/26,四、利用坐标作向量线性运算,15/26,解,*例3,由题意知：,16/26,五、 向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间距离公式,向量的模的坐标表达式。,17/26,解,原
4、结论成立.,18/26,解,设P点坐标为,所求点为,19/26,2. 方向角与方向余弦,类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角.,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角，,其余弦称为向量的方向余弦.,由,20/26,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,由,21/26,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向。,或,解,22/26,解,例7,23/26,3. 向量在轴上的投影,24/26,投影的性质（1）,投影的性质（2）,25/26,六、小结,1、向量的概念,（注意与标量的区别）,2、向量的线性运算,3、空间点的坐标、向量的坐标,4、利用直角坐标作向量的线性运算,5、向量的模、方向角、方向余弦、投影,26/26,作 业,习题7-1 4 5 15 19,
