1、,第十二章,第三节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,向角,由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向,的单侧的增量比的极限。,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,x轴和y轴的正向分别为,特别地:,从定义立即得到，函数,在点（x0 , y0)处,可偏导的充要条件为：,沿方向 （或方向 ）的方向导,数都存在且为相反数，且这时成立,必要性证明是显然的；充分性证明只需注意：,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方
3、向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并说明在原点处的偏导数不存在.,在原点沿任意方向,例4 求二元函数,解: 对任一方向,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的方向导数,因此在原点处沿任意方向的方向导数都存在.,但,偏导数不存在. 类似可知,也不存在.,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,同理 f 方向导数的最小值-| |在梯度的反方向,达到，或者说，沿梯度的相反方向函数值减少最快。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,处的法向量为,2. 梯度的几何意义,3. 梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向函数增大的方向.,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,例5.,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,
5、证: 利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,2. 求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在椭圆,上点,处沿外法线方向的方向导数。,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,P152 9，10(1),(3),11,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,
