1、 - 1 - 蝴蝶定理的证明 定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD。设 AD 和 BC各相交 PQ 于点 E 和 F，则 M 是 EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法 1 如图 2，作 O U A D O V B C， ，则垂足 UV， 分别为 AD BC、 的中点，且由于 E U O E M O 9 0 F V O F M O 9 0 得 M E U O、 、 、 共圆； M F V O、 、 、 共圆。 则 A U M = E O M M O F M V C ， 又
2、MAD MCB， UV、 为 AD BC、 的中点，从而 MUA MVC， AUM M VC 则 EOM MOF ， 于是 ME=MF 。 证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D ，如图 3 所示，则 F M D E M D M D = M D ， 1 联结 DM 交圆 O 于 C ，则 C 与 C 关于 OM 对称，即 PC CQ 。又 1 1 1C F P = Q B + P C = Q B + C C + C Q = B C = B D C 2 2 2（ ） （ ） 故 M F B D、 、 、 四点共圆，即 M BF M DF 而 M BF EDM 2 由 1 、 2 知，
3、DME DMF ， 故 ME=MF 。 证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF 及截线 AMB ，NEF 及截线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1M E AN BF ， FM ED NC 1M E DN CF 由上述两式相乘，并注意到 N A N D N C N B 得 22F M A N N D B F C F B F C FM E A E E D B N C N A E E D 22P M M F M Q M F P M M FP M M E M Q + M E P M M E +-化简上式后得 ME=MF 。 2 2 不使用辅助线的证明
4、方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2VUFEBDMOP QAC图 3CDFEBDMOP QAC图 4NFEBDMOP QAC- 2 - 图 5FEBDMOP QAC证法 4 （ Steven 给出）如图 5， 并令 DA B = DC BA DC = A B CDMP = C M QA M P = B M QP M M QM E M Faxy ，由 F CMA M E E D M F M BF CM E D M F M B A M ESS S S 1S S S S ， 即 A M A E s i n F M C M s i n E D M D s i n M F M B
5、s i n 1M C C F s i n E M M D s i n F B B M s i n M A M E s i n 化简得 2 2 22 2 2M F C F F B Q F F PM E A E E D P E E Qa y a y aya x a x a x 即 2 2 22 2 2xy a yax ，从而 , ME MFxy。 证法 5 令 P M D Q M C Q M B A M P ，以点 M 为视点，对 MBC 和 MAD分别应用张角定理，有 s i n s i ns i n s i n s i n s i nM F M C M B M E M D M A ， 上述两式
6、相减，得 1 1 s in s ins in M C M D M B M AM F M E M C M D M A M B 设 GH、 分别为 CD AB、 的中点，由 OM PQ ，有 M B M A 2M H 2 O M c o s 9 0 2 O M s i nM D M C 2M G 2 O M c o s 9 0 2 O M s i n 于是 11sin 0MF ME ，而 180 ，知 sin 0，故 ME=MF 。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证211234y2 2图 6FEBD
7、MOP QAC- 3 - 明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。 证法 6 （单墫教授给出）如图 6，建立直角坐标系，则圆的方程可设 为 222x y a R 。 直线 AB 的方程为 1y kx ，直线 CD 的方程为 2y kx 。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 222 12 0x y a R y k x y k x 令 0y ，知点 E 和点 F 的横坐标满足二次方程 2 2 212 0k k x a R ，由于 x 的系数为 0 ，则两根 1x 和 2x 之和为 0 ， 即 12xx ，故 ME=MF 。 5 证法 7 如图 7 建立平面直角坐标系，则圆的方程可写
8、为 2 22x a y r 直线 AB 、 CD 的方程可写为 1y kx , 2y kx 。 又设 A B C D、 、 、 的坐标为 , , 1, 2, 3, 4iix y i ， 则 14xx、 分别是二次方程 222 2 2 2 2 212,x a k x r x a k x r 的一根。 AD 在 y 轴上的截距为 2 4 1 1 1 1 2 1 4411 1 1 12 1 4 1 4 1k x k x x k k x xyyy x k xx x x x x x 。同理， BC 在 y 轴 上 的 截 距 为 1 2 2 332k k x xxx 。注 意 到 12xx、 是方程 2
9、 2 2 211 2 0k x ax a r 的两根 ， 34xx、 是方程 2 2 2 21 2 0k x ax a r 的两根，所以 3412 221 2 3 42 xxxx ax x a r x x ，从而易得 34121 2 3 4 0xxxxx x x x，即 ME MF 。 证法 8 如图 8，以 M 为极点， MO 为极轴建立极坐标系。因 C F B、 、 三点共线，令B M x C M x ， ， 则 C F F B C Bsin sin sin22 即 CBF BCsinc o s c o s 1 ADE si nc os c os 2 x图 8UVFEBDMOPQAC211
10、23y2图 7FEBDMOPQAC- 4 - 作 OU CD 于 U ，作 OV AB 于 V 。注意到 A B C D 3 由 Rt OUM 与 Rt OVM 可得 DCBAcos cos 4 将 3 4 代入 1 2 可得 EF ，即 ME=MF 。 二 蝴蝶定理的推广和猜想 （一） 猜想 1 在蝴蝶定理中 , P、 Q 分别是 ED、 CF 和 AB 的交点 . 如果 P、 Q 分别是 CE、 DF和 AB延长线的交点 ,我们猜想 , 仍可能会有 PM = QM . 推论 1 过圆的弦 AB 的中点 M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE、 DF 并延长交 AB的延长线于 P、
11、Q. 求证 : PM = QM. 证明 ;设 AM =BM = a, PM = x,QM = y ; PM E = QM F = , PCM = DFM = ; CM E = DM F = , QDM = CEM = ; 记 PM E, QM F, PMC, QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4. 则由恒等式 S2 S3 S4 S1= 1 知 M PM Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+) MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )= DQM P2 EPMQ2 = 1 ,即 QF QD M P
12、2= PCPEMQ2 . 又由割线定理知 PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式 , 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2. 由 于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM.3 （二） 猜想 2 在蝴蝶定理中 , 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心 ) , 那么 , 我们可以猜想 ,如果在保持 OM AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外 , 仍可能会有 PM =QM . 推论
13、 2 已知直线 AB 与 O 相离 . OM AB, M 为垂足 . 过 M 作 O 任意两条割线 MC, M E分别交 O 于 C, D 和 E, F. 连结 DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证 : PM = QM. 证明 ： 过 F 作 FK AB, 交直线 OM 于 N,交 O 于 K . 连结 M K 交 O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而 M F =M K(因为 M 在 FK 的垂直平分线上 ) . 又由割线定理知 M EM F = MGM K . 因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知 E
14、M P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK 知 CGM + CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C 四点共圆 . 所以 MGQ = MCQ. 又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知 M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM. （三） 猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的 , 而双曲线是两条不相交的曲线 , 那么 , 我们- 5 - 可以猜想 ,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线 ) , 仍可能会有 PM = QM . 推论 3 设点 A、 B 分别在两条平行线 l 1、 l 2 上 ,过 AB 的中点 M 任意作两条直线 CD和 EF 分别交 l 1、 l 2 于 C、 D 和 E、 F, 连结 ED、 CF 交 AB 于 P、 Q. 求证 : PM =QM. 证明 ： 由于 l 1 l 2 ,M 平分 AB, 从而利用 MAC MBD 知 M 平分 CD, 利用 MAE MBF知 M 平分 EF. 在四边形 CEDF 中 , 由对角线相互平分知 CEDF 是平行四边形 ,从而 DE CF. 又由于 M 平分 EF,故利用 M EP M FQ 知 PM = QM。 4
