1、 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 第四章 三角函数及三角恒等变换 第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换 第一部分 三年高考荟萃 2010 年高考题 一、选择题 1.（ 2010 全国卷 2 理） （ 7）为了得到函数 sin(2 )3yx的图像，只需把函数sin(2 )6yx的图像 （ A）向左平移4个长度单位 （ B）向右平移4个长度单位 （ C）向左平移 2 个长度单位 （ D）向右平移 2 个长度单位 【答案】 B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移 . 【解析】 sin(2 )6yx= sin2( )12x ， sin(2 )3yx= sin
2、 2( )6x ，所以将sin(2 )6yx的图像向右平移 4 个长度单位得到 sin(2 )3yx的图 像，故选 B. 2.（ 2010 陕西文） 3.函数 f (x)=2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2的奇函数 （ B）最小正周期为 2的偶函数 (C)最小正周期为的奇函数 （ D）最小正周期为的偶函数 【答案】 C 解析：本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为 的奇函数 3.（ 2010 辽宁文） （ 6）设 0 ,函数 sin( ) 23yx 的图像向右平移 43 个单位后与原图像重合，则 的最小值是 （ A） 23 （ B） 43 （ C
3、） 32 （ D） 3 【答案】 C 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 解析：选 C.由已知，周期 2 4 3,.32T 4.（ 2010 辽宁理） （ 5）设 0,函数 y=sin( x+3)+2 的图像向右平移 34 个单位后与原图像重合，则 的最小值是 （ A） 23 (B) 43 (C) 32 (D)3 【答案】 C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。 【 解 析 】 将 y=sin( x+3)+2 的 图 像 向 右 平 移 34 个 单 位 后 为4s in ( ) 233yx 4s in (
4、 ) 233x ，所以有 43 =2k ,即 32k ，又因为 0 ，所以 k 1,故 32k 32 ，所以选 C 5.（ 2010 重庆文） （ 6）下列函数中， 周期为 ，且在 , 42上为减函数的是 （ A） sin(2 )2yx （ B） cos(2 )2yx （ C） sin( )2yx （ D） cos( )2yx 【答案】 A 解析： C、 D 中函数周期为 2 ，所以错误 当 , 42x 时， 32,22x ，函数 sin(2 )2yx为减函数 而函数 cos(2 )2yx为增函数，所以选 A 6.（ 2010 重庆理） （ 6）已知函数 s i n ( 0 , )2yx 的部
5、分图象如题（ 6）图所示，则 A. =1 = 6 B. =1 =- 6 C. =2 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ = 6 D. =2 = - 6 解析： 2 T 由五 点作图法知 232 ， = -6 7.（ 2010 山东文） （ 10）观察 2( ) 2xx ， 4 3( ) 4xx ， (cos ) sinxx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) ( )f x f x ，记 ()gx 为 ()fx的导函数，则 ()gx = （ A） ()fx (B) ()fx (C) ()gx (D) ()gx 【答案】 D 8.（ 2010 四
6、川理） （ 6）将函数 sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ A） sin(2 )10yx （ B） sin(2 )5yx （ C） 1sin( )2 10yx （ D） 1sin( )2 20yx 解析：将函数 sinyx 的图像上所有的点 向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解析式为 y sin(x 10 ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin( )2 10yx. 【答案】 C 9.（ 2010 天津文） （ 8） 5y A
7、 s in x x R 66 右 图 是 函 数 （ + ） （ ） 在 区 间 - ， 上 的 图 象 ，为了得到这个函数的图象，只要将 y sin x x R（ ）的图象上所有的点 (A)向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 到原来的 12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变 (D) 向左平 移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】
8、A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。 由图像可知函数的周期为 ，振幅为 1，所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ).代入（ -6，0）可得 的一个值为3，故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+3)，即 y=sin2(x+ 6)，所以只需将 y=sinx（ x R）的图像上所有的点向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变。 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求 周期、振幅，最后求 。三角函数图像进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 1 10.（ 2010
9、福建文） 11.（ 2010 四川文） （ 7）将函数 sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ A） sin(2 )10yx （ B） y sin(2 )5x （ C） y 1sin( )2 10x （ D） 1sin( )2 20yx 【答案】 C 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 解析：将函数 sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解 析式为 y sin(x 10 ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所
10、得图像的函数解析式是 1sin( )2 10yx. 12.（ 2010 湖北文） 2.函数 f(x)= 3 sin( ),24x xR的最小正周期为 A. 2B.x C.2 D.4 【答案】 D 【解析】由 T=| 212|=4，故 D 正确 . 13.（ 2010 福建理） 1 cos13计 算 sin43 cos 43-sin13 的值等于（ ） A 12 B 33 C 22 D 32 【答案】 A 【解析】原式 = 1s in (4 3 -1 3 )= s in 3 0 = 2，故选 A。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。 二、
11、填空题 1.（ 2010 浙江理） （ 11）函数 2( ) s i n ( 2 ) 2 2 s i n4f x x x 的最小 正周期是_ . 解析： 242s in22 xxf故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题 2.（ 2010 浙江文） （ 12）函数 2( ) sin (2 )4f x x 的最小正周期是 。 答案 2 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 3.（ 2010 福建文） 16.观察下列等式： cos2a=2 2cosa -1; cos4a=8 4cosa - 8 2cosa + 1; cos6a=32 6cosa - 48
12、 4cosa + 18 2cosa - 1; cos8a=128 8cosa - 256 6cosa + 160 4cosa - 32 2cosa + 1; cos10a= m 10cosa - 1280 8cosa + 1120 6cosa + n 4cosa + p 2cosa - 1 可以推测， m n + p = 【答案】 962 【解析】因为 12 2, 38 2, 532 2, 7128 2, 所以 92 512m ；观察可得 400n ， 50p ，所以 m n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 4.（ 2010 山
13、东理） 5.（ 2010 福建理） 14已知函数 f(x )= 3 s in ( x - )( 0 )6和 g (x )= 2 co s (2 x + )+ 1的图象的对称轴完全相同。若 x 0, 2 ，则 f(x) 的取值范围是 。 【答案】 3- ,32 【解析】由题意知， 2 ，因为 x 0, 2 ，所以 52x- - , 6 6 6 ，由三角函数图象高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 知： f(x) 的最小值为 33sin(- )=-62 ，最大值为 3sin =32 ，所以 f(x) 的取值范围是 3- ,32 。 6.（ 2010 江苏卷） 10、定义在区间
14、 20,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为 _。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2的长即为 sinx 的值， 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx=23 。线段 P1P2的长为 23 三、解答题 1.（ 2010 湖南文） 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) s in 2 2 s inf x x x （ I）求函数 ()fx的最小正周期。 (II) 求函数 ()fx的最大值及 ()fx
15、取最 大值时 x 的集合。 2.（ 2010 浙江理） （ 18） (本题满分 l4 分 )在 ABC 中 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a,b,c，已知 1cos2 4C (I)求 sinC 的值； () 当 a=2， 2sinA=sinC 时 ， 求 b 及 c 的长 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 14 ，及 0 C 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 所以 sinC= 104. （）解：当 a=2， 2sinA=sinC 时，由正弦定理 acsinA sinC
16、 ，得 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= 14 ， J 及 0 C得 cosC= 64 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 得 b2 6 b-12=0 解得 b= 6 或 2 6 所以 b= 6 b= 6 c=4 或 c=4 3.（ 2010 江西理 ） 17.（本小题满分 12分） 已知函数 21 c o t sin sin sin44f x x x m x x 。 (1) 当 m=0 时，求 fx在区间384，上的取值范围； (2) 当 tan 2a 时， 35fa ，求 m 的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函
17、数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换 ，属于中等题 . 解：（ 1）当 m=0 时， 22c o s 1 c o s 2 s i n 2( ) ( 1 ) s i n s i n s i n c o ss i n 2x x xf x x x x xx 1 2 s in ( 2 ) 124x ，由已知 3 , 84x ，得 22 ,142x 从而得： ()fx的值域为 120, 2 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ （ 2） 2c o s( ) ( 1 ) s i n s i n ( ) s i n ( )s i n 4 4xf x x m
18、 x xx 化简得： 11( ) s i n 2 (1 ) c o s 2 22f x x m x 当 tan 2 ，得：2 2 22 s i n c o s 2 t a n 4s i n 2 s i n c o s 1 t a n 5a a aa a a a ， 3cos2 5a ， 代入上式， m=-2. 4.（ 2010 浙江 文 ） （ 18）（本题满分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a,b,c,设 S为 ABC 的面积，满足 2 2 23 ()4S a b c 。 （）求角 C 的大小； （）求 sin sinAB 的最大值。 5.（ 2010 北京文 ） （
19、15）（本小题共 13分） 已知函数 2( ) 2 c o s 2 s inf x x x （）求 ()3f 的值； （）求 ()fx的最大值和最小值 解：（） 22( ) 2 c o s s in3 3 3f = 311 44 （） 22( ) 2 ( 2 c o s 1 ) (1 c o s )f x x x 23 cos 1,x x R 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 因为 cos 1,1x ,所以，当 cos 1x 时 ()fx取最大值 2；当 cos 0x 时，()fx去最小值 -1。 6.（ 2010 北京理 ） （ 15）（本小题共 13分） 已知函数
20、 (x)f 22 c o s 2 s in 4 c o sx x x 。 （）求 ()3f 的值； （）求 (x)f 的最大值和最小值。 解：（ I） 22 3 9( ) 2 c o s s i n 4 c o s 13 3 3 3 4 4f （ II） 22( ) 2 ( 2 c o s 1 ) ( 1 c o s ) 4 c o sf x x x x = 23 cos 4 cos 1xx = 2273(cos )33x ,xR 因为 cosx 1,1 ， 所以，当 cos 1x 时， ()fx取最大值 6；当 2cos 3x 时， ()fx取最小值 73 7.（ 2010 广东理 ） 16、（本小题满分 14分） 已知函数 ( ) s i n ( 3 ) ( 0 , ( , ) , 0f x A x A x 在 12x 时取得最大值 4 (1) 求 ()fx的最小正周期； (2) 求 ()fx的解析式； (3) 若 f (23 +12 )=125 ,求 sin
