1、 第 28 讲 平面向量的数量积 项目一 知识概要 1 两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作 OA a， OB b， AOB (0 180)叫作向量 a 与 b的夹角 2 平面向量的数量积 已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 ，我们把 |a|b|cos 叫作 a与 b 的数量积 (或内积 )，记作 ab |a|b|cos . 3 平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b在 a 方向上的射影 |b|cos 的乘积 或 b 的长度 |b|与 a在 b方向上的射影 |a|cos 的乘积 4 平面向量数量积的重要性质 (1)ea ae |a|cos ； (
2、2)a， b， a b ab 0； (3)|a| aa； (4)cos ab|a|b|； (5)|ab| |a|b|. 5 平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ba； (2)(a)b (ab) a( b)； (3)(a b)c ac bc. 6 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2，由此得到 (1)若 a (x， y)，则 |a|2 x2 y2或 |a| x2 y2. (2)设两个非零向量 a， b， a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b x1x2 y1y2 0. 项目二 例题精讲 任务 一
3、 平面向量数量积的运算 问题 【 例 1】 (1)在 Rt ABC 中 ， C 90， AC 4， 则 AB AC 等于 ( ) A 16 B 8 C 8 D 16 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点 ， 则 DE CB 的值为 _；DE DC 的最大值为 _ 分析 (1)C 90，可选取向量 CA ， CB 为基底表示向量或者利用数量积的几何意义； (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量 积的几何意义 答案 (1)D (2)1 1 解析 (1)方法一 AB AC (CB CA )( CA ) CB CA CA 2 16. 方法二 AB 在 AC 方向
4、上的射影是 AC， AB AC |AC |2 16. (2)方法一 以射线 AB， AD为 x 轴， y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)， C(1,1)， D(0,1)， 设 E(t,0)， t 0,1， 则 DE (t， 1)， CB (0， 1)， 所以 DE CB (t， 1)(0， 1) 1. 因为 DC (1,0)，所以 DE DC (t， 1)(1,0) t 1， 故 DE DC 的最大值为 1. 方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置， DE 在 CB 方向上的射影都是 CB 1， DE CB |CB |1 1， 当 E 运动到 B 点时， DE
5、在 DC 方向上的射影最大即为 DC 1， (DE DC )max |DC |11. 评注 求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件 任务 二 求向量的夹角与向量的模 问题 【 例 2】 (1)已知向量 a， b 夹角为 45， 且 |a| 1， |2a b| 10， 则 |b| _. (2)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120， 且 |AB | 3， |AC | 2.若 AP AB AC ， 且 AP BC ，则实数 的值为 _ 分析 利用数量积的定义 ab |a|b|cos . 答案 (1)3
6、2 (2) 712 解析 (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解 a， b的夹角为 45， |a| 1， ab |a|b|cos 45 22 |b|， |2a b|2 4 4 22 |b| |b|2 10， |b| 3 2. (2)由 AP BC 知 AP BC 0， 即 AP BC (AB AC )(AC AB ) ( 1)AB AC A B 2 AC 2 ( 1) 3 2 12 9 4 0，解得 712. 评注 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、 夹角等公式，尤其对 |a| aa要引起足够重视，它是求距离常用的公式 (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系
7、在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的 任务 三 数量积的综合应用 问题 【 例 3】 已知 ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c， 设向量 m (a， b)， n (sin B，sin A)， p (b 2， a 2) (1)若 m n， 求证 ： ABC 为等腰三角形 ； (2)若 m p， 边长 c 2， 角 C 3， 求 ABC 的面积 分析 (1)由 m n可 得 ABC 的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论； (2)由 m p得 a、 b关系，再利用余弦定理得 ab，代入面积公式 (1)证明 m n， asin A bsin B， 即
8、aa2R bb2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， a b. ABC为等腰三角形 (2)解 析 由题意可知 mp 0，即 a(b 2) b(a 2) 0. a b ab. 由余弦定理可知， 4 a2 b2 ab (a b)2 3ab， 即 (ab)2 3ab 4 0， ab 4(舍去 ab 1)， S 12absin C 12 4 sin 3 3. 评注 以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法 任务 四 数量积 问题 的数形结合求解问题 【 例 4】 如图所示 ， 把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 ， 若
9、 AD xAB yAC ， 求 x 和 y 的值 . 解析 方法一 结合图形特点，设向量 AB ， AC 为单位向量，由 AD xAB yAC 知， x， y 分别为 AD 在 AB ， AC 上的射影 又 |BC| |DE| 2， |BD | |DE |sin 60 62 . AD 在 AB 上的射影 x 1 62 cos 45 1 62 22 1 32 ， AD 在 AC 上的射影 y 62 sin 45 32 . 方法二 AD xAB yAC ， 又 AD AB BD ， AB BD xAB yAC ， BD (x 1)AB yAC . 又 AC AB ， BD AB (x 1)AB 2
10、. 设 |AB | 1， 则由题意 |DE | |BC | 2. 又 BED 60， |BD | 62 .显然 BD 与 AB 的夹角为 45. 由 BD AB (x 1)AB 2， 得 62 1 cos 45 (x 1) 12. x 32 1. 同理，在 BD (x 1)AB yAC 两边取数量积可得 y 32 . 评注 突破本题的关键是 ， 要抓住图形的特点 (图形由一副三角板构成 ) 根据图形的特点 ， 利用向量分解的几何意义 ， 求解方便快捷 方法二是原试题所给答案 ， 较方法一略显繁杂 . 项目三 感悟提高 1 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用， 和
11、图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2 求向量模的常用方法：利用公式 |a|2 a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 4 (1)0 与实数 0 的区别： 0a 0 0， a ( a) 0 0， a0 0 0； (2)0 的方向是任意的，并非没有方向， 0 与任何向量平行， 0 与任何向量垂直 5 ab 0 不能推出 a 0 或 b 0，因为 ab 0时，有可能 a b. 6 ab ac(a 0)不能推出 b c，即消去律不成立 项目四 冲刺必练 A组 专项基础训练 (时间： 40 分钟 ) 一、选择题 1 已
12、知向量 a (1,2)， b (x， 4)， 若 a b， 则 ab等于 ( ) A 10 B 6 C 0 D 6 答案 A 解析 由 a b得 2x 4， x 2，故 ab (1,2)( 2， 4) 10. 2 已知向量 a、 b 满足 |a| 1， |b| 4， 且 ab 2， 则 a与 b的夹角为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案 C 解析 cos a， b ab|a|b| 12， a， b 3. 3 设 x， y R， 向量 a (x,1)， b (1， y)， c (2， 4)， 且 a c， b c， 则 |a b|等于 ( ) A. 5 B. 10 C 2 5 D 1
13、0 答案 B 解 析 a (x,1)， b (1， y)， c (2， 4)， 由 a c得 ac 0，即 2x 4 0， x 2. 由 b c，得 1 ( 4) 2y 0， y 2. a (2,1)， b (1， 2) a b (3， 1)， |a b| 32 12 10. 4 已知向量 a (1,2)， b (2， 3) 若向量 c 满足 (c a) b， c (a b)， 则 c等于 ( ) A. 79， 73 B. 73， 79 C. 73， 79 D. 79， 73 答案 D 解析 设 c (x， y)，则 c a (x 1， y 2)， 又 (c a) b， 2(y 2) 3(x
14、1) 0. 又 c (a b)， (x， y)(3， 1) 3x y 0. 联立 解得 x 79， y 73. 5 向量 AB 与向量 a ( 3,4)的夹角为 ， |AB | 10， 若点 A 的坐标是 (1,2)， 则点 B 的坐标为 ( ) A ( 7,8) B (9， 4) C ( 5,10) D (7， 6) 答案 D 解析 AB 与 a ( 3,4)反向， 可设 AB (3， 4)， 0. 又 |AB | 10， 2， AB (6， 8)， 又 A(1,2)， B 点坐标为 (7， 6) 6 在 ABC 中 ， A 90， AB 1， AC 2.设点 P， Q 满足 AP AB ，
15、 AQ (1 )AC ， R.若 BQ CP 2， 则 等于 ( ) A.13 B. 23 C.43 D 2 答案 B 解析 BQ AQ AB (1 )AC AB ， CP AP AC AB AC ， BQ CP ( 1)AC 2 AB 2 4( 1) 3 4 2，即 23. 二、填空题 7 设向量 a (1,2m)， b (m 1,1)， c (2， m) 若 (a c) b， 则 |a| _. 答案 2 解析 利用向量数量积的坐标运算求解 a c (1,2m) (2， m) (3,3m) (a c) b， (a c)b (3,3m)(m 1,1) 6m 3 0， m 12. a (1， 1
16、)， |a| 2. 8 已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点 ， 则 AE BD _. 答案 2 解析 由题意知： AE BD (AD DE )(AD AB ) (AD 12AB )(AD AB ) AD 2 12AD AB 12AB 2 4 0 2 2. 9 已知 a (2， 1)， b (， 3)， 若 a 与 b 的夹角为钝角 ， 则 的取值范围是 _ 答案 ( ， 6) 6， 32 解析 由 abb， 求 a， b 的值 解 (1)f(x) 2sin2x 2 3sin xcos x 1 cos 2x 2 3sin xcos x 3sin 2x cos 2x 1 2sin(2x 6) 1. 由 2k 2 2x 6 2k 2， k Z， 得 k 3 x k 6， k Z， f(x)的单调增区间是 k 3， k 6 (k Z) (2) f(C) 2sin(2C 6) 1 1， sin(2C 6) 1，
