1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） Cauchy 不等式的等价形式及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： Cauchy 不等式是数学中的重要基石。本文首先从数学文化的角度介绍了 奥古斯丁 -路易 -柯西 A.L.Augustin-Louis Cauchy 及及 柯柯 西西 不不 等等 式式 的的 由由 来来 ， 并并 对对 柯柯西西 不不 等等 式式 的的 概概 念念 以以 及及 其其 相相 关关 证证 明明 加加 以以 阐阐 述述 。 柯柯 西西 不不 等等 式式 的的 应应 用用 极极 其其 广广 泛泛 ， 本本 文文 选选
2、择择 了了 其其 中中 五五 个个 领领 域域 对对 他他 的的 应应 用用 进进 行行 了了 简简 单单 的的 举举 例例 ： 不不 等等 式式 的的 证证 明明 、 几几 何何 、 求求 函函 数数最最 值值 、 线线 性性 代代 数数 以以 及及 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 上上 的的 应应 用用 。 关键词： 不等式；三角形；函数； 向量；方程 2 Equivalent Cauchy Inequality and its Applications Abstract： Cauchy inequality is an important cornerstone of m
3、athematics. This paper introduces A.L.Augustin-Louis Cauchy and the origin of the Cauchy inequality based on the culture of mathmatics, then elaborate the concept of Cauchy inequality and the relevant proof, the Cauchy inequality has the Extremely wide application.This paper make some simple example
4、s from its application fields: Proof of inequalities, Geometry, the value of a function, linear algebra, the application on probability theory and mathematical statistics. Keywords： inequality ,triangle, function, vector, equation 1 目录 1 引言 . 1 2 柯西不等式的由来 . 2 2.1 柯西的成 果 . 2 2.2 柯西不等式的概念 . 4 3 柯西不等式的
5、应用 . 10 3.1 在证明不等式上的应用 . 10 3.2 在在 几几 何何 上上 的的 应应 用用 . 12 3.3 在求函数最值上的应用 . 13 3.4 在线性代数上的应用 . 15 3.5 在概率论与数理统计中的应用 . 17 4 结论 . 18 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 19 1 1 引言 数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，其应用与我们的生活紧密结合。如在房屋建筑、饮食、运动上都有着深刻的应用。在初等数学和高等数 学中都有重要的意义，尤其是 20 世纪 90 年代，不等式的研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大。数学家常用不等式来限制一
6、些不能简单使用精确 公式 得到 的 量 ，一些不等式非常有用，例如：伯努利不等式、切比雪夫不等式、赫尔德不等式等等。 柯西不等式是不等式中一个重要的不等式，即柯西 -施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西 -布尼亚科夫斯基 -施瓦茨不等式，它是以奥古斯丁 -路易 -柯西 A.L.Augustin-Louis Cauchy，赫尔曼 -阿曼杜斯 -施瓦茨和维克托 -雅科夫列维奇 -布尼亚科夫斯基命名，柯西不等式在很多场合都能 用得上，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，以及概率论的方差和协方差。 从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky- Schwarz
7、不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面 都有着广泛的 应用。灵活巧妙地应用 柯西不等式 ，可以使一些较为困难的问题迎刃而解 ， 特别是在应用柯西不等式解决某些问题时能起到简便直观的作用。 同时，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，本身 有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，因此关于它的研究一直受到人们的广泛关注，由此促使我进一步了解柯西不等式的多种形式及其掌握它在数学 问题当中 的应用 。 2 2 柯西不等式的由来 2.1 柯西的成果 法国数学家柯西 A.L.
8、Augustin-Louis Cauchy 于 1789 年 8 月 21 日在 巴黎 出生 ，父亲 路易 弗朗索瓦 柯西 是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡一直担任公职。由于家庭原因，柯西本人 便 属于 拥 护 波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。 他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。 他幼年时在父亲的教导下学习，拉格郎日、拉普拉斯常和他父亲来往，曾 预 言柯西日后必成大器。 柯西于 1802 年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖； 大约在 1805 年时，就读于巴黎综合理工学
9、院， 1807 年考入桥梁公路学校， 1810 年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆 续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于 1811 及 1812 年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是： (1)证明了凸正多面体只有五种 (面数分别是 4， 6， 8， 12， 20)，星形正多面体只有四种(面数是 12 的三种，面数是 20 的一种 )。 (2)得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证
10、明并加以推广。 (3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。 这 两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于 1812 年回到巴黎他的父母家中休养。柯西于 1813 年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是： (1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。 (2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。 (3)用复变函数
11、的积分计算实积分，这是复变 函数论中柯西积分定理的出发点。 (4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于 1815 年得法国科学院数学大奖。 以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。 3 柯西 在数学方面有 着非常 杰出的表现，被任命为法国科学院院士等大学的重要职位。 1830年柯西拒绝效忠新国王，并自行离开法国，大约在十年后，担任了巴黎综合理工学院教授。在 1848 年时，在巴黎大学担任教授。 这一时期他的主要贡献是： (1)在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理 论。在此以前，微积分和级数的概念是模
12、糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。柯西在这一时期出版的著作有代数分析教程、无穷小分析教程概要和微积分在几何中应用教程。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。 (2)柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在 1822 年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。 (3)继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。 他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编 写的期刊 “ 数学习题 ” 上发表。 他他 一一 生生 大大 约约 写写 了了 八八 百百 篇篇 论论 文文 ， 这这 些些 论论
13、 文文 被被 编编 成成 柯柯 西西 著著 作作 全全 集集 。 其其 中中 较较 为为 有有 名名 的的 论论 文文 有有 分分析析 教教 程程 、 无无 穷穷 小小 分分 析析 教教 程程 概概 论论 和和 微微 积积 分分 在在 几几 何何 上上 的的 应应 用用 。 正正 式式 柯柯 西西 的的 加加 入入 使使 得得 准准 则则 并并 不不 严严 格格的的 19世世 纪纪 微微 积积 分分 学学 得得 到到 很很 大大 的的 发发 展展 。 他他 在在 1823年年 发发 表表 的的 一一 篇篇 论论 文文 中中 ， 提提 出出 弹弹 性性 体体 平平 衡衡 和和 运运动动 的的 一
14、一 般般 方方 程程 可可 分分 别别 用用 六六 个个 分分 量量 表表 示示 。 柯柯 西西 的的 贡贡 献献 遍遍 及及 数数 学学 ， 包包 括括 应应 用用 数数 学学 的的 各各 个个 领领 域域 ， 特特别别 在在 级级 数数 、 微微 分分 方方 程程 、 数数 论论 、 复复 变变 函函 数数 、 行行 列列 式式 和和 群群 论论 、 天天 文文 、 光光 学学 、 弹弹 性性 力力 等等 方方 面面 都都 留留 下下了了 大大 量量 的的 论论 文文 ， 是是 数数 学学 史史 上上 仅仅 此此 于于 欧欧 拉拉 的的 多多 产产 作作 家家 。 1821年年 ， 柯柯
15、西西 在在 拉拉 普普 拉拉 斯斯 和和 泊泊 松松 的的 支支持持 下下 ， 出出 版版 了了 他他 的的 分分 析析 教教 程程 ， 以以 后后 又又 陆陆 续续 出出 版版 相相 关关 的的 论论 文文 ， 这这 些些 著著 作作 具具 有有 划划 时时 代代 的的 价价 值值 ， 他他们们 给给 出出 分分 析析 学学 一一 系系 列列 基基 本本 定定 义义 的的 严严 密密 定定 义义 。 除除 了了 在在 对对 分分 析析 的的 严严 密密 性性 著著 有有 贡贡 献献 外外 ， 柯柯 西西 也也 开开 创创了了 科科 学学 中中 最最 调调 和和 的的 理理 论论 ， 也也 是
16、是 数数 学学 中中 最最 肥肥 沃沃 的的 土土 地地 复复 变变 函函 数数 论论 ， 虽虽 然然 高高 斯斯 和和 泊泊 松松 对对 复复 变变 函函数数 论论 也也 有有 重重 大大 贡贡 献献 ， 但但 其其 基基 石石 确确 是是 由由 柯柯 西西 确确 立立 。 因因 此此 ， 一一 般般 视视 柯柯 西西 为为 复复 变变 函函 数数 论论 的的 开开 创创 者者 。 柯西的一生都与数学紧密联系在了一起，在数学届做出了巨大的贡献。 在如此多的贡献中我们从一开始到现在 可能 接触的最多的就是著名的柯西不等式 ni iini ini i baba 1 21 21 2 )(。 它是由
17、柯西在研究数学分析中的 “留数 ”问题时得到的 。 之后，数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，并将这一不等式应用到近乎完善的地步 4 ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 2222.2 柯西不等式的概念 设naaa ,21 ，nbbb ,21 是任意两组实数，则 2 2 2 2 2 21 2 1 2nnabb b 22211 nnbbab 等号成立当且仅当021 naa或ii ka时成立（k为常数，n,）。特别地，当12 bbb 时，有 22122221 1 nn aaanaaa (参见文献 1)。 为了方便起见在不等式
18、的表示上应用了连加号 “ ”（iA下方写i=1，上方写 n 这里 i是标变量， 1 是 i 起始的值， n 是i终止的值，这时（ ni iA1nAAA 21 ） 。 因此简写后的柯西（ Cauchy）不等式为： ni iini ini i baba 1 21 21 2 )( niba ii ,2,1R, ， ) 柯西不等式 （ Cauchy Inequality） 定理 2 ：设 naaa ,., 21 和 nbbb ,., 21 是任意实数， 则 ni ini ini ii baba 1 21 221 ，当且仅当 ii kab （ k 为常数， ni ,.,2,1 ）时取等号。由于所设条件是
19、一切实数，没有其他条件限制，运用范围较广。 为使我们对问题的叙述方便 ，现在介绍几种 柯西不等式 在不同领域的不同表现 形式： 第一种： 在积分学中，任意, baCxgxf 有 dxxgdxxfdxxgf babaa 222。当且仅当存在不全为零的常数21,kk使021 fk时，等式成立。 第二种 ： 在初等数学中，任意,.,2,1, niRbii 有.1 21 221 ni ini ini ii baba当且仅当存在不全为零的常数 21,kk使nibka ii ,.,2,1,021 时，等式成立。 5 第三种： 在高等代数的 n 维欧式空间中，任意向量 ., 当且仅当存在不全为零的常数21,
20、kk使02时，等式成立。 第四种： 在概率论中，任意,.vr，若22 存在，则有 .22 当且仅当存在不全为零的常数21,使 1021 k时，等式成立 （参见文献34567）。 同样，柯西在不同的几何空间中表面形式也不相同，二维表达式便是 22222 bdacdcba ，但是其实质都是一样的。在应用上还有四种不同体现形式： 第一种： 对任意两组实数 naaa , 21 ； nbbb , 21 ；有 ni ini ini ii baba 1 21 221 当且仅当 ia 与 nibi ,.2,1 对应成比例，即nnii baba 时等号成立。（nnii baba 的意义如下：在 nbbb , 2
21、1 不全为零时，若 0ib ，则对应的 0ia ；在 01 nbb 时，naa ,1 可取任意实数 。） (参见文献 8) 第二种： ,0,0),2,1(,0,0 11 qpniba 且满足 111 qp，则 ni iiqni qipni pi baba 11111 展开即为（ nnqqnqqppnpp babababbbaaa 2211121121 )()( ）该不等式称为赫尔德（ Holder）不等式 9 ，等式成立当且仅当 )0;,2,1( niba qipi 当 2qp 时，即为柯西不等式。它的另一种形式为： 设 111,1,1 qpqp（满足该条件的 ),( qp 称作共轭数） ba
22、LgbaLf pp , 6 那么 xgxf 在 ba, 上 L 可积，并且有 baqba qpba p dxxgxfdxxgdxxf11 当 2qp 时，即为微积分中的柯西 许瓦兹不等式（参见文献 10）。 赫尔德不等式也可以变形为： mniimniinimimibaba11111，等号成立的充分必要条件是： 0;,2,1 niba qii 其中 10,2,10,0 mmniba ii 或。 因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，是数学分析中最有用的不等式之 一，在分析学中有着较为广泛的应用。 第三种： 设 n 维向量 , 21 naaa nbbb , 21 ，则有 | ，当且仅当 /
23、 时取等号。 直观地反映了这一不等式的本质，而三角函数的最值问题恰恰解释了这个不等式的由来： 任意两个向量 , 的夹角 , 的余弦 ,c o s，于是 1 。 第四种： 等价形式即平面三角不等式： ,)()()( 22222112222122221 nnnn babababbbaaa 它可以借助 22221122212221 )()( bababbaa 来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。 平面三角不等式的一般形式为：对 ,1, kRba ii 则 kkni iiknikikniki baba 111111)( 该不等式称为闵可夫斯基（ Minkowski）不等式，等式成立当且仅 当nnababab 2211 ，也是数学分析中的经典不等式（参见文献 9）。 它的另一种形式为：设 ,1p ELgf p ， 则 pEppEppEp dxxgxfdxxgdxxf111 。
