1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 多才多艺的伟大数学家费马 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 2 - 摘要： 文艺复兴时期（从 15 世纪到 16 世纪末），欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。到了十七世纪，数学跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，而引起这一转变的因素当中也有着费马的一份力。 他出生于商人家庭，学法律并以律师为职业，他不但有丰富的法律知识，而且是一个博览群籍、见多识广的学者。虽然数学只不过是他的业余爱好，但他精通法语、意大利语
2、、西班牙语、拉丁语、希腊语，从而使他不仅能精心研究韦达的著作，而且能深入钻研那些古典的数学著作。例如，阿基米德、阿波罗尼奥斯、丢番图、帕普斯等人的作品，使得他在下述几个数学分支中做出了极为重要的贡献并获得“业余数学家之王” 的称号：他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理；他是微积分的先驱者；他和 B帕斯卡共同开创了概率论的早期研究；他是近代数论的开拓者当然数学方面的贡献只是费马成就中的一部分，他在物理、化学等领域中也有着一定的知名度。本文通过对费马一生的经历、在各个领域的成就的总结，来深入的了解费马，认识费马，使费马辉煌的一生不被遗忘在时间的河流中。 关键词： 解析几何；概率论；数论 - 3
3、 - The great mathematician Fermat versatile Abstract: During Renaissance (from the 15th century to 16th century), the European ideological emancipation appeared to produce large development, social progress gratifying big picture, science, culture technology, including mathematics, also will start t
4、o recover and gradually prosper. In the seventeenth century, mathematics get into a new era. That is from constant into variables. Fermat has contributed to this change . He was born in a business family. He majored in law and took lawyers as a career. He not only has a wealth of legal knowledge, bu
5、t also has a group membership knowledge of other science. Although mathematics is only his hobby, but he is fluent in French, Italian, Spanish, Latin, Greek. So he can not only study of the Vedic writings intensively, but also delve into those of classical mathematical works. For example, Archimedes
6、, Apollonius, Diophantus, Paps, whose works makes the possibility of Fermat can make a vital contribution to those branches of mathematics as following. Fermat access to “the king of amateur mathematicians“ title: the course of his studies found the geometric principle of analytic geometry; he was a
7、 pioneer of calculus; he and B. Pascal together to create an early study of probability theory; He is the pioneer of modern number theory. Of course, the contribution of mathematics achievement is only a part of Fermats achievement. He also has a certain reputation in physics, chemistry and other fi
8、elds. Through to the experience of the Fermat life， in each domain achievement summary,， this article comes the thorough understanding Fermat, knows the Fermat, causes the Fermat magnificent life not to forget in the time rivers. Key words: Analytic geometry; probability; Number theory - 4 - 目 录 1 引
9、言 1 2 费马的一生 2 3 数学家费马 4 3.1 费马与解析几何 4 3.1.1 费马创立解析几何 4 3.1.2 费马与笛卡尔 5 3.2 费马与微积分 6 3.2.1 费马求切线的方法 6 3.2.2 费马言论的现代表述 7 3.2.3 他人对费马的评价 7 3.3 费马与概率论 8 3.3.1 费马探索概率论的起因 8 3.3.2 费马对概率论的贡献 8 3.4 费马与近代数论 10 3.4.1 费马对算术的猜想 10 3.4.2 费马在数论上的成就 10 3.4.3 费马尚未被人们确认的两大定理 11 3.4.4 无穷下推法 12 3.4.5 费马对数论的贡献 13 4 费马在其
10、他领域的成就 14 4.1 费马在光学上的成就 14 4.1.1 费马在光学上的研究 14 总结 15 致谢 16 参考文献 17- 1 - 1 引言 文艺复兴时期（从 15 世纪到 16 世纪末），欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。到了十七世纪，数学跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，而引起这一转变的因素当中也有着费马的一份力。（朱家生， 2005)1 田鹏在发表的业余数学家之王费尔马 2中提到 : 费 马（也译为 “ 费尔马 ” ） 1601年 8 月 17 日出生于法国南部 图卢兹 附近的博
11、蒙 ，父亲是皮革商人，自幼接受良好的家庭教育，后进图卢兹大学学习法律。他以法律为职业，同时是一位社会活动家，从 1631 年到去世一直任图卢兹的议会议员。他的业余时间博览群书，尤其热爱古典文学，精通拉丁文和希腊文，从三十岁起，他才开始迷恋上数学，并把几乎所有的业余时间用于数学问题的研究，至死不渝。 “精诚所至，金石为开”，最终费马在光学及数学的四大分支 解析几何、微积分、概率、数论，都作出了开创性贡献，成为 17 世纪最出名的法国数学家之一。美国数学家贝尔称他为“业余数学家之王”。 费马作为 17 世纪数 学家中最多产的明星，他比同时代的大多数专业数学家更有成就。但是他一生的成就贡献并没有被人
12、们铭记于心，甚至有的人连费马这个人都不知道，而且现在大部分的研究者都是单单针对费马的某一个成就中的知识点进行描述或者证明，或者是运用费马推出的有关知识点去论述其他的内容。例如张吉旭在工业科技报上发表的浅析光学系统理想成像的条件 3一文就是单单利用了下费马在光学方面推出的知识；又如唐子周、唐世杰、唐世敬在科技教育创新报上发表的费尔马大定理的简捷证明释疑 4一文论述的是有关费马大定理的内容。很少有人从费马一生的角 度或者说整体上去叙述费马，整理费马这一生的贡献，述说费马这一生的生活经历。 所以叙述费马的一生经历，总结、整理费马一生中各个方面的成就，从而比较系统的了解、掌握费马的成就，这不仅能使得费
13、马这一代明星一生的经历及其他的成就不会被遗忘在时间的河流中，而且能让我们的后代也能传承费马这种专研的精神从而创造出自己的辉煌。 - 2 - 2 费马的一生 费马（也译为 “ 费尔马 ” ） 1601年 8月 17日出生于法国南部 图卢兹 附近的博蒙 德 洛马涅 ，他的祖父、父亲、叔父都从事商业。他的父亲多米尼克经办了一个生意兴隆的皮革商行，还 获得了地方事务顾问的头衔。费马的母亲名叫克拉莱 德 罗格，出身 长 袍 贵族 ,曾在长袍贵族议会中任职 多米尼克 的大富与罗格的大贵族 构筑了费马 极其 富贵的身价 。 费马小时候受教于他的叔叔 皮埃尔 ，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，
14、对他的性格也产生了重要的影响 ，在家乡上完中学后，进入了图卢兹大学学习法律。 17世纪 20 年代的后期他曾在波尔多度过了相当长的一段时间，就在这一时期他对数学发生了兴趣，深入地研究过 F韦达的著作在 1631 年 5 月 1 日费马获得了奥尔良大学民法学士学位。 17 世纪的 法国 ，男子最 热门 的职业是当 律师 ，因此，男子学习法律成为 时尚 ，也使人敬羡。 1523 年，佛朗期瓦一世为那些有产的而缺少资历的 “ 准律师 ” 尽快成为律师创造了很好的条件 ，他 组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而 一发不可收拾 ，且弥留今日。
15、鬻卖官职，一方面 应付 了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也 让政府的财政状况得 到提升 。因此到了 17 世纪，除宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。 这种买官卖官的行为 使许多中产阶级从中受惠，费马也不例外。费马 还 没有大学毕业，家里便为他 在博蒙 德 洛马涅买好了 “ 律师 ” 和 “ 参议员 ” 的职位。等到费马毕业 回来 以后，他便当上了图卢兹议会的议员 。 虽然 费马从 进 入社会直到去世都没有 丢掉 官职，而且 逐步 得到提升，但是 ， 费马并没有什么政绩，官场 上 的能力也 很 普通，更 不要说 什么领导才能。不过，费马并 没有 因此而中断升迁。在费马任
16、了七年地方议会议员之后，升任了调查参议员，这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。 在 1642 年， 最高法院顾问勃里斯亚斯 更是 推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭 ， 这使得费马以后得到了更好的升迁机会。 1646 年，费马升任议会首席发言人， 后来 还当过 天主教 联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开 廉明 ，赢得了人们的信任和称赞。 1631 年 6 月 1 日， 费马娶了他的舅表妹露伊丝 德 罗格 ，这使得本就为 母亲的贵族血统而感骄傲的费马 更加的为自己感到自豪。费马 生有三 个 女 儿 二 个儿子
17、，尤其是他的长子克莱曼特 萨摩尔，他不仅继承了费马 的公职，在 1665 年当上了律师，而且还整理了费马- 3 - 的 数学 论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。 费马一生身体健康，只是在 1652 年的瘟疫中险些丧命。 1665 年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于 1 月 l0 日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯公墓，后来改葬在图卢兹的家族墓地中。 - 4 - 3 数学家费马 3.1 费马与解析几何 3.1.1 费马创立解析几何 17 世纪是数学史上的一个辉煌时代 ,几何学首
18、先成为这一时代引人注目的明珠。 费马独立于勒奈 笛卡儿 发现了解析几何的基本原理 。 他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充 ，为此他写了篇幅不大的平面和立体的轨迹引论一书。他说他试图开展关于轨迹的一般性研 究，这种研究是希腊人没有做到的。 从平面和立体的轨迹引论一文可以知道费马在笛卡儿发表几何学 之前，就已经发现了解析几何的原理，发现了用代数方程表示曲线的方法：他以一条水平的直线为轴，并在此直线上确定一个点作为原点。他在任意一条曲线上取一个点 M (图 1)。 M 点的位置由 ,AE来确定， A 表示原点到 Z 点的距离， E 表示点 Z 到 M 点的距离（ ZM 到轴线
19、的角 ，是固定角）。 费马所用的坐标实际上是我们所说的倾斜坐标，但是 Y 轴并没有表现出来，而且没有负数轴的说法。他的 ,AE就是我们所说的 ,xy。费马清楚地叙述了他的一般原理：“ 两个未知量决定的 个 方程式 ，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线 。 ”图中对于不同位置的 E ，对应着 12, , .M M M 将这些 12, , .M M M 相连便得到“线”。费马提到的未知量A 和 E ，实际上是变数。在这里，费马采用韦达的办法，让一个字母代表一类的数，然后写 出 联 系 A 和 E 的 各 种 方 程 ， 并 指 明 它 们 所 描 绘 的 曲 线 。 例 如 ， 他 写 出“
20、 in “D A a e q u e tu r B in E，并指明这代表一条直线。 费马在书中还对圆的 方程 、以及关于双曲线 、 椭圆 、 抛物线 进行了讨论 。 1643 年，他简短地描述了他 的三维解析几何的思想。 他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。虽然费马对三维解析几何没有给出一个几何框架，但他却提供了一个代数基础。在 1650 年- 5 - 的一篇文章“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”里，他指出，一个自变量的方程决定点的作图，二个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图，三个自变量的方程决定空间中曲面的轧迹
21、的作图。 （ 杨秀川 ， 2007)5 3.1.2 费马与笛卡尔 费马和笛卡儿研究解析几何的方法是截然不同的：费马主要是继承了希腊人 的思想。尽管他的工作比较全面系统，正确地叙述了解析几何的基本原理，但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作。而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发，断然同这种传统决裂，走的是革新古代方法的道路。他的方法更具一般性，也适用于更广泛的超越曲线。 笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面 但各有侧重。 （ 莫德 ， 2004)6 - 6 - 3.2 费马与微积分 3.2.1 费马求切线的方法 人所共知， 牛
22、顿 和 莱布尼茨 是微积分的 缔造者 ， 关于微积分方法的创立， I牛顿曾经说过：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程。” 在 1629 年费马找到了求切线的一种方法，但迟后了八年才发表在 1637 年的手稿求最大值和最小值的方法中，他的方法如下： 设 PT 是曲线在点 P 处的切线 (图 2)， TQ 叫次切线费马的思想是先求出 PQ 的长度，从而知道 T 的位置，最后就能作 出 TP 。 设 1QQ 是 TQ 的增量，长度为 E 。因为 1TQP PRT ，所 以 1:TQ PQ E T R 。费马认为 1TR和 1PR的长度差不多；
23、因此 11: : ( )T Q P Q E P Q P Q ,以现在的话来说，若令PQ 为 ()fx，则有 : ( ) : ( ) ( ) T Q f x E f x E f x 。因此， ()( ) ( )E fTQ f x E f x 。 费马 的处理方法是：用 E 除右端分式，然后令 0E (他说是去掉 E 项 )，就得到 TQ 。这就是费马求 ()()fxfx的方法。 （ 杜瑞芝 ， 1986)7 费马在求最大值和最小值的方法中也用过这样一个例子来说明问题：已知一条直线(段 )，求直线上一点，使被这点分成的两部分线段组成的矩形 面积最大。他把整个线段叫做B ，并设它的一部分为 A 。那么矩形的面积就是 2AB A 。然后他用 AE 代替 A ，这时另外一部分就是 ()B A E ，矩形的面积为 ( )( )A E B A E 。费马认为，取最大值时 ，两个面积应该是相等的。所以 2 2 22A B E B A A E E A B A 。两边消去相同的项
