1、本科毕业论文（20 届）二项式定理及其应用所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要：本文首先对杨辉三角形的相关背景资料进行了整理，归纳了杨辉三角形的基本性质，并梳理了它与二项式定理之间的关系，继而又从二项式定理的通项、系数的性质等方面对二项式定理的推广和应用进行了综述。在文章的最后，举例说明了较为实用的矩阵二项式定理。关键词：二项式定理；杨辉三角；系数恒等式The Binomial Theorem and Its ApplicationsAbstract: This article first Yang hui Triangle relevan
2、t background information were consolidated, summarized the basic properties of Yang hui Triangle, and combed it with the relationship between the binomial theorem, and then the general term and from the binomial theorem, the coefficient of the nature of In terms of the binomial theorem and applicati
3、ons are reviewed. At last, a more practical example of a matrix binomial theorem.Key words: binomial theorem; Yang Hui triangle; coefficient identities目录1 引言 .12 杨辉三角形与二项式定理的关系 .12.1 杨辉三角 .12.2 杨辉三角的基本性质 .22.3 排列与组合中的加法规则和乘法规则 .32.3.1 加法规则 .32.3.2 乘法规则 .32.3.3 组合的原理 .42.4 二项式定理 .42.4.1 数学归纳法 .42.4.2
4、 二项式定理的证明 .52.4.3 二项式系数的性质 .73 二项式定理的推广与应用 .83.1 二项式定理的推广形式 .83.2 二项式定理的应用 .83.2.1 对二项式定理的直接应用 .93.2.2 二项式定理的通项的应用 .93.2.3 二项式系数的性质的应用 .103.2.4 费尔马小定理的新证明 .113.2.5 矩阵的二项式定理 .15总结 .17致谢 .18参考文献 .1911 引言二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中
5、都有重要的理论和应用价值。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价
6、值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。本文基于二项式定理的相关性，参考国内外相关文献，就二项式定理的各种证明方法、各种推广形式以及二项式定理在学科中的应用进行综述。2 杨辉三角形与二项式定理的关系2.1 杨辉三角提及二项式定理就不得不说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在详解九章算法 （1261年）记载
7、并保存了“贾宪三角” ，故称杨辉三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。2图2-1：开方作法本源图2-1被称为“杨辉三角” 。杨辉三角并不是杨辉发明的，原来的名字也不是“三角”,而是“开方作法本源” ；后来也有人称为“乘法求廉图” 。这些名称实在太古奥了些，所以我们简称之为“三角” 。杨辉是我国宋朝时候的数学家，他在公元1261年著了一本名为详解九章算法的书，里面画了这样一张图，并且说这个方法出于释锁算书 ，贾宪曾经用过它。杨辉还说明了表里除1以外的每一个数都等于它
8、肩上两个数的和，故人们把此表称之为“杨辉三角形”或“杨辉法则”。但释锁算书早已失传，这书刊行的年代无从查考，是不是贾宪所著也不可知，更不知道在贾宪以前是否已经有这个方法。然而有一点是可以肯定的，这一图形的发现在我国当不迟于1200年左右。在欧洲，这图形称为“帕斯卡（Pascal）三角 1”。因为一般都认为这是帕斯卡在1654年发明的。其实在帕斯卡之前已有许多人论及过，最早的是德国人阿批纳斯（Pertrus Apianus） ，他曾经把这个图形刻在1527年著的一本算术书的封面上。可是无论怎样，杨辉三角的发现，在我国比在欧洲至少要早300年光景。2.2 杨辉三角的基本性质杨辉三角中具有以下基本性
9、质： 每 行 数 字 左 右 对 称 ， 由 1 开 始 逐 渐 变 大 ， 然 后 变 小 ， 回 到 1。 第 行 的 数 字 个 数 为 。 nn 第 行 数 字 和 为 。 2 杨 辉 三 角 中 任 一 数 等 于 它 肩 上 的 两 数 之 和 。32.3 排列与组合中的加法规则和乘法规则在给出加法规则前，我们先给出有关集合的两个基本的定义定义 2.1 集合的等势：如果存在 到 的双射 则称 到 等势，记为ABfABAB定义 2. 2 基数：所有彼此等势的集合确定的数称为基数。和集合 彼此等势的所有集合（从而它们彼此等势）确定的基数称为 的基数，记为 。这样就有： 当且仅当。AB2
10、.3.1 加法规则设 是 有 限 集 合 ， 若 ， ， 且 当 时 ， ， 则 有SiS1miSijijS11mii特 别 地 ， 当 时 ， 有2m122SS换 言 之 ， 加 法 规 则 可 以 叙 述 为 ： 若 集 合 可 以 分 解 为 互 不 相 交 的 子 集 之 并 ，12,mS则 确 定 中 的 事 物 个 数 ， 可 以 先 求 出 各 子 集 中 的 事 物 个 数 ， 然 后 相 加 。 对 ， 用Si 生 活 中 的 话 来 说 ， 加 法 规 则 则 可 叙 述 为 ： 假 若 有 互 相 独 立 的 两 个 事 件 和 分 别 有 种XYk和 种 方 法 产 生
11、 ， 则 产 生 和 的 方 法 数 有 种 。l XYkl2.3.2 乘法规则在给出乘法规则前，首先给出直积 2的定义。定义 2.3 笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设 、 是任意两个集合，在集合 中任意ABA取一个元素 ，在集合 中任意取一个元素 ，组成一个有序对 ，把这样的有序对作为新xBy(,)xy的元素，他们的全体组成的集合称为集合 和集合 的直积，记为 ,即。(,)AxAB且乘 法 规 则 ： 若 为 有 限 集 ， 且(1,2)iSm12(,),12,miiSaSm则 有 121mi4特 别 地 ， 当 时 ， 有2m1212SS换 言 之 ， 乘 法 规 则 可 以
12、叙 述 为 ： 若 集 合 是 集 合 的 直 积 ， 则 确 定 中 的12,mSS事 物 个 数 ， 可 以 先 求 出 各 个 集 合 中 的 事 物 个 数 ， 然 后 相 乘 。 应 当 注 意 ， 对 于 中 的 元i， 它 们 和 各 分 量 是 相 互 独 立 的 。12(,)ma2.3.3 组合的原理定 义 2.4 设 是 具 有 个 元 素 的 集 合 ， 是 非 负 整 数 。 从 这 个12,nAarn不 同 的 元 素 里 取 个 且 不 考 虑 次 序 组 合 起 来 ， 称 为 集 合 的 组 合 。 换 句 话r()rnA说 ， 的 组 合 是 的 无 序 子
13、集 。 用 表 示 集 合 的 组 合 的 个 数 。 另 外 ，Cr为 了 使 用 方 便 ， 定 义 。1,0rnrnC对 于 ， 有0r!rn若 将 杨 辉 三 角 中 的 数 字 换 成 组 合 数 的 形 式 ， 则 杨 辉 三 角 的 性 质 4 可 转 化 为 等 式1rrnnC(1,2)n其 中 我 们 视 等 于 1。0证 明 ： 利 用 组 合 分 析 的 方 法 论 证 ， 在 集 合 的 个 元 素 中 固 定 一 个 元 素 ， 不 妨 为A，1a于 是 ， 从 个 元 素 中 取 个 元 素 的 组 合 可 分 为 以 下 两 类 。nr（ 1） 个 元 素 中 包
14、 含 。 这 可 以 从 除 去 的 个 元 素 中 取 个 元 素 的 组 合 ， 然 后r11an1r将 加 入 而 得 到 ， 其 组 合 个 数 为 。arnC（ 2） 个 元 素 中 不 包 含 。 这 可 以 从 除 去 的 个 元 素 中 取 个 元 素 的 组 合 而 得 到 ，r1a1r其 组 合 个 数 为 。 由 加 法 规 则 即 得1rnC 1rrnn这 一 公 式 被 称 为 Pascal 公 式 ， 我 们 也 可 称 为 杨 辉 等 式 。52.4 二项式定理2.4.1 数学归纳法本文使用的是第一数学归纳法 1。假如有一个数学命题，合于下面条件：（1）这个命题对
15、是正确的；（2）如设这个命题对任一正整数 为正确的，就可以推出它对于1n 1nk也正确。那么这个命题对于所有的正整数 都是正确的。k2.4.2 二项式定理的证明定理 2. 1 二项式定理：当 是一个正整数时，对任何 和 ，有nab（1）0()nknkabC式（1）右边的式子称为 的二项式展开式，系数 常称为二项式系数。为了方便，我()n kn们把 的展开式的第 项 记为 ，则有 ，这个式子叫做()nab1k(0)k1kT1knCab二项式的通项公式。这样各展开式里各项的系数可以列表如下：11()ab1 2 121 3 3 13()1 4 6 4 14ab1 5 10 10 5 15()表2-1
16、展开式各项系数表很明显，我们可以应用这个杨辉三角形来直接求出二项式任一次幂的项的系数，但过程的机械与繁琐也是显而易见的。通过不同的方法对二项式定理进行证明。证法一：二项式定理对于 的情形显然成立。另一方面，假设定理对任一正整数1,23n成立。那么，因为1nk612111 1211 21() )( ( )()kkrkrkkkrk rkrkkrkrkabCababaCababaC再由杨辉恒等式（注意 ） ，便得到01k1 1()krkkkabababab即 对 于 也 成 立 ， 从 而 二 项 式 定 理 得 证 。nk利 用 组 合 分 析 法 证 明 二 项 式 定 理 ：证法二：因为 在这
17、 个因子中，项 是从 个因子()()()nababnknab中选取 个因子 ， 。在这 个 里都取 ，而从余下的()abk0,12,kk()a个因子 中选取 作乘积得到。因此 的系数为上述选法的个数，即为组合数n() n。故有 ，得证。knC0nknkabCab利用构造递推方程的方法证明二项式定理：证法三 4：设 ，则 ，故只需证：x()(1)nnax012(1)nnnCC事实上，设 2nSxx则 01231nnnx+得：01121112 11 1()()()()n kknnnnk nnxSCxCxCxCx所以数列 满足递推式 nS1()nnSx即 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 所 以1 1()()nnnSxSx 式 得 证 。
