1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 几类常系数线性微分方程解法讨论 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘 要： 因为微分方程 在物理、经济、工程等领域 中具有广泛的应用 ,所以本文重点讨论了几类常系数线性微分方程的解法 .主要内容为几类常系数 齐次线性微分方程解法的讨论和几类常系数非齐次线性微分方程解法的讨论 . 关键词 ： 齐次 线性微分方程 ；非齐次 线性微分方程 ； 通解 . The Solution Discussion about Several Types of Constant Coefficient Linear Differ
2、ential Equations Abstract： The differential equation has extensive application in the fields of physical, economic, engineering and so on, so this essay mainly discusses several types of constant coefficient linear differential equations solving methods. It includes the solution discussion about sev
3、eral types of constant coefficient homogeneous linear differential equations and constant coefficient non-homogeneous linear differential equations. Key words： Homogeneous linear differential equation; Non-homogeneous linear differential equation; General solution. 目 录 1 引 言 . 1 2 几类常系数线性齐次微分方程解的讨论
4、. 1 2.1 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 . 1 2.2 常系数线性齐次微分方程组的递推公式解法 . 4 3 几类常系数线性非齐次微分方程解的讨论 . 6 3.1 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法 . 6 3.1.1 降阶法 . 6 3.1.2 升阶法 . 7 3.2 高阶常系数线性非齐次微分方程几种解法 . 9 3.2.1 常数变易法 . 10 3.2.2 比较系数法 . 10 3.2.3 算子法 . 11 3.2.4 拉普拉斯变换法 . 14 3.2.5 叠加法 . 16 3.3 常系数非齐次线性微分方程组的微分算子法 . 17 4 结 束语 . 21 5 致 谢 . 错误
5、 !未定义书签。 6 参考文献 . 22 1 1 引 言 常微分方程 在物理、经济、工程等领域 中有很广泛的应用 .如 Sir I Newtont通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动 轨道是一个椭圆 ,从理论上得到了行星运动的规律 .又如海王星的存在是天文学家 U Le Verrier和 J Adams 先通过微分方程的求解推算 ,然后再经过实际观测发现的 .这充分说明研究微分方程的解法具有重要的现实意义 .随着科学技术的发展和社会的进步 ,常微分方程的应用范围在不断地扩大和深入 ,可以毫不夸张地说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有具体体现 .如自动控制、各种电子学装置的设计、
6、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等问题都需要涉及到求解微分方程的问题 .1 本文重点讨论了几类常系数线性微分方程的解法 .主要内容为几类常系数齐次线性微分方程解法的讨论和几类常系数非齐次线性微分方程解法的讨论 . 2 几类常系数线性齐次微分方程解的讨论 在众多实际问题中 ,往往需要求解常系数线性齐次微分方程 ,如二阶的 ,三阶的 ,甚至更高阶的 .那么是否有一种方法可以解这些不同阶的常系数线性齐次微分方程呢？ 下面我们讨论如何用特征根法求解 n 阶常系数线性齐次微分方程 . 2.1 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 形如 1111 . . . 0nnnnd
7、x d x d xa a a xd t d t d t (2.1) 的方程称为 n 阶常系数线性齐次微分方程 ,这里的 12, ,., na a a 为实常数 . 对于这类方程的求解 ,我们将采用特征根法先求出它的基本解组 ,从而得到它的通解 . 方程 (2.1)的 特征方程为 111( ) . . . 0nn nnF a a a (2.2) 结论 tetx )( 是方程 (2.1)的解的充要条件是 满足 0)( F ,即 是特征根 . 下面根据特征根的不同情况分别进行讨论 . a）特征根为单根的情况 2 设 12, ,., n 为特征方程 (2.2)的 n 个互不相等的实根 ,则相应的方程（
8、 2.1）有如下 n 个解12, ,., nttte e e ,这 n 个解在区间 t 上线性无关 ,从而组成方程的基本解组 .方程 （ 2.1） 的通解可表示为： 1212( ) . n ttt nx t C e C e C e . 如果特征方程 (2.2)有复根 ,则因方程的系数都是实常数 ,所以复根将成对共轭出现 .设 12, ,., n 中的 12 i 是 方程 (2.2)的一对复特征根 ,则方程（ 2.1）有下面两个复值解 )s in( c o s)( titee tti , )s in( c o s)( titee tti ,它们对应两个线性无关的实值解为 costet , sin
9、tet .此时 方程 （ 2.1） 的通解可表示为 31 2 3( ) c o s s i n . . . ntttt nx t C e t C e t C e C e . 例 1 求微分方程 2 3 0x x x 的通解 . 解 所给微分方程的特征方程为 2 2 3 0 , 即 ( 1)( 3) 0 . 其根 121, 3 是两个不相等的实根 , 因此所求通解为： 312ttx C e C e,这里的 12,CC为任意常数 . 例 2 求微分方程 (4) 0xx 的通解 . 解 所给方程的特征方程为 4 10 . 特征方程的根为 1 2 3 41 , 1 , ,ii ,有两个实根和两个复根
10、,均是单根 .因此所求通解为：1 2 3 4c o s s i nttx C e C e C t C t ,这里的 1 2 3 4, , ,C C C C 为任意常数 . b) 特征根有重根的情况 设特征方程（ 2.2）的根为 12, ,., m ,它们的重数分别为 12, ,., mk k k , 12. mk k k n , 1ik ,对应 i 方程 (2.1)恰有 ik 个线性无关的解 12, , , .,i i i i it t t k te te t e t e ,且 12, , , . . . , ( 1 , 2 , . . . , )i i i i it t t k te te
11、t e t e i m 构成了方程（ 2.1）的一个基本解组 .此时方程 （ 2.1） 的通解可表示为： 1 1 2 212111 1 1 2 1 2 1 2 2 2112( ) ( . . . ) ( . . . ) . . .( . . . )mmmk t k tkkktm m m kx t C C t C t e C C t C t eC C t C t e 若 12, ,., m 中的 12 i 是 方程 (2.2)的一对复特征根 ,类似 a）可知 方程（ 2.1）两个线3 性无关的实值解为 costet , sintet .则 方程 （ 2.1） 的通解可表示为： 12333111
12、1 1 2 1 2 1 2 2 23 1 3 2 3 1 2( ) ( . . . ) c o s ( . . . ) s i n( . . . ) . . . ( . . . )mmmkkttk t k tk m m m kx t C C t C t e t C C t C t e tC C t C t e C C t C t e 例 3 求方程 ( 4 ) 2 5 0x x x 的通解 . 解 该方程的 特征方程为 4 3 22 5 0 ,即 22( 2 5) 0 ,解得根是 120和3,4 12i .因此所给微分方程的通解为： 1 2 3 4( c o s 2 s i n 2 )tx C
13、 C t e C t C t ,这里的 1 2 3 4, , ,C C C C 为任意常数 . 特征根法不仅可以解 n 阶常系数线性齐次微分方程，还可以解 欧拉方程 形如 11111 . . . 0nnnnnnd y d y d yx a x a x a yd x d x d x （ 2.3） 的方程称为 欧拉方程 ,这里的 12, ,., na a a 为实常数 .该方程与前面所讲的 n 阶常系数线性齐次方程的形式很像 ,就是未知函数的各阶导数前面多了一项 ( 1, 2,., )kx k n .对于这类方程 我们可以采用变量替换 ,将方程化为常系数线性齐次方程求解 . 引入自变量代换 tex
14、 , lntx ,将 欧拉方程 化为常系数线性方程得 1111 . . . 0nnnnd y d y d yb b b yd t d t d t （ 2.4） 其中 12, ,., nb b b 是常数 . 因为方程（ 2.4）有形如 tye 的解 ,从而方程（ 2.3）有形如 yx 的解 ,因此可以直接求欧拉方程的形如 kyx 的解 .以 kyx 代入（ 2.3）并约去因子 kx ,就得到 k 的代数方程 11( 1 ) . . . ( 1 ) ( 1 ) . . . ( 2 ) . . . 0nnk k k n a k k k n a k a （ 2.5） 此方程也称为欧拉方程的特征方程
15、. 因此方程（ 2.5）的 m 重特征根 0kk ,对应于方程（ 2.3）的 m 个解 0 0 0 021, l n , l n , . . . , l nk k k k mx x x x x x x, 此时方程（ 2.3）的通解可表示为： 4 0 211 2 3 2( l n l n . . . l n )k mmy x C C x C x C x 方程（ 2.5）的 m 重复根 ki ,对应于方程（ 2.3）的 2m 个实值解 1c o s ( l n ) , l n c o s ( l n ) , . . . , l n c o s ( l n )mx x x x x x x x 1s
16、in ( l n ) , l n s in ( l n ) , . . . , l n s in ( l n )mx x x x x x x x . 此时方程（ 2.3）的通解可表示为： 1 2 3 4112 1 2 c o s ( l n ) s i n ( l n ) l n c o s ( l n ) l n s i n ( l n ) . . .l n c o s ( l n ) l n c o s ( l n ) mmmmy x C x C x C x x C x xC x x C x x 例 4 求解方程 0222 ydxdyxdx ydx . 解 该方程是欧拉方程 ,在这里就可以
17、先写出该方程的特 征方程 .设 kxy ,得到确定 k 的方程2( 1 ) 1 0 ( 1 ) 0k k k k 或解得 121kk.因此 ,方程的通解为： 12( ln | |)y C C x x ,这里的 12,CC为任意常数 . 例 5 求解方程 222 3 5 0d y dyx x ydx dx 解 设 kxy ,得到确定 k 的方程 2( 1 ) 3 5 0 2 5 0k k k k k 或,解得 12 12ki ,因此 ,方程的通解为： 121 c o s ( 2 l n | |) s i n ( 2 l n | |) y C x C xx,这里的 12,CC为任意常数 . 2.2
18、 常系数线性齐次微分方程组的递推公式解法 常系数线性齐次微分方程组的求解方法也是值得我们重点研究的问题之一，下面就对它进行讨论 常系数线性齐次微分方程组 dY AYdx （ 2.6） 其中 1( ,., )TnY y y , 11 11nn nnaaAaa 当方程组（ 2.6）中系数矩阵 A 的特征根有重根时 ,通常的解法是应用待定系数法求解；或是应5 用线性代数变换的方法将矩阵 A 化为标准型 ,再求（ 2.6）的解 .然而这种解法较繁 ,具体应用时很不方便 .为此众多学者对（ 2.6）的解法继续进行研究，并获得了一些新的解法 定理 16 若矩阵 A 有 ( 2)nn 重特征根 ,则方程组（
19、 2.6）的通解可设为 112( ) ( . . . ) e x p ( )nnY x x x x （ 2.7） 其中 1 为含有 n 个任意常数的非零向量 ,即 1 1 21( , , ., ) ,( 1 / ) ( ) , ( 1 , 2 , ., 1 )Tnkkc c ck A E k n （ 2.8） 对于矩阵 A 的特征根有重根的一般情形有 定理 26 若 1,., ( )r rn 分别是 矩阵 A 的 1,., rnn重互异的特征根 ,且 1 . rn n n ,则方程组（ 2.6）的通解可设为 1 1111 11( ) e x p ( ) . . . e x p ( )rnnkk
20、k r r kkkY x x x x x （ 2.9） 则对每一个 ( 1,., )in i r 重特征根 i ,有 1( ) 0iniiAE （ 2.10） ,1 (1 / ) ( ) , ( 1 , . . . , 1 )i k i ik ik A E k n （ 2.11） 例 6 求解方程组 3 1 12011 1 2dY Ydx. 解 由特征方程 2(1 ) ( 2 ) 0AE ,解得 1 1 为一重根 ,即 1 1n . 2 2 为二重根 ,即 2 2n .由定理 2,设通解为 1 1 2 1 2 2( ) e x p ( ) ( ) e x p ( 2 )Y x x x x .
21、对 1 1 有 11( ) 0AE,解得 11 (0, , )T ( 为非零常数 ).对 2 2 ,有 2 21( 2 ) 0AE,解得 21 ( , , )T （ ,为非零常数） .由递推公式（ 2.10）解得 2 2 2 1( 2 ) ( , , 0 ) TAE . 6 故原方程组的通解为 0( ) e x p ( ) e x p ( 2 )xY x x x x ,其中 , 为任意非零常数 . 3 几类 常系数 线性 非 齐次微分方 程解 的讨论 通过以上对几类常系数线性齐次微分方程解的讨论 ,我们知道了如何求解 n 阶常系数线性齐次方程；欧拉方程；以及 常系数线性齐次微分方程组 .但 在
22、实际问题中 ,往往还会遇到一些常系数线性非齐次微分方程的求解 ,下面我们将对这些方程的解法进行讨论 . 3.1 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法 在这里将综述两种求常系数非齐次线性微分方程特解的简便方法 ,即降阶法和升阶法 .这两种方法在求常系数非齐次线性微分方程的特解时 ,显得尤其灵活 ,简便 ,从而避免了利用待定系数 法求特解所带来的繁琐计算 . 3.1.1 降阶法 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为 ( )y py qy f x （ 3.1） 对应的二阶常系数齐次方程为 0y py qy （ 3.2） 可设其齐次方 程 （ 3.2） 的特征根为 12, , ( )r r f x
23、连续 , 则由韦达定理 1 2 1 2( ),p r r q r r ,从而 ( )y py qy f x ,可化为 1 2 1 2 ( ) ( )y r r y r r y f x ,即 1 2 1( ) ( ) ( )y r y r y r y f x 令 11y ry y,则 ( )y py qy f x 可化为： 111 2 1 ( ),y r y yy r y f x 则 原方程可降价为一阶线性微分 方程组 .解方程组得 1 1 2 211, ( )r x r x r x r xy e y e dx y e f x e dx. 所以原二阶方程的通解为 1 2 1 2() ( ) r x r r x r xy e e f x e dx dx .
