1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 几类可化为伯努利方程求解的一阶微分方程 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 :本文在已有文献的基础上研究几类常微分方程的求解。通过寻求恰当的变量替换，在适当的条件下获得了这些方程可以转化为伯努利 方程求解的方法，给出了其通解公式。同时结合一些具体的常微分方程的模型，将这些理论结果进行应用，丰富了常微分方程的求解方法。 关键词 :常微分方程 ;伯努利方程 ;变量替换 Several classes of first-order ordinary differential equations which c
2、an be transformed into Bernoulli Equations Abstract : In this paper, based on the existing literature, we research the solutions of several classes of ordinary differential equations. By seeking suitable variable substitution , we transform the equations into Bernoulli Equation , and obtain their ge
3、neral solution formulas. Furthermore, we give some concrete ordinary differential equation models to illustrate the effectiveness of the theoretic conclusions in this paper. Our results to enrich the methods of solving ordinary differential equation. Keywords: ordinary differential equation; Bernoul
4、li Equation; variable substitution 目录 1 引言 . 1 2 主要结果 . 4 3 应用举例 . 10 结束语 . 19 致谢 . 20 参考文献 . 21 1 1 引言 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却能比较容易地建立这些变量和它们的导 数间的关系式，这个关系式就是 常 微分方程 1。 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用， 例如： 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究
5、、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可 化为求常微分方程 解 的问题 。 这就使得研究微分方程的求解是具有实际意义的。 对于 Bernoulli(伯努利 )方程的定义 2如下： ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx （其中 ()Px， ()Qx为 x 的连续函数且 0,1n ） 李鸿祥在一阶常微分方程的求解 3一文中给出了一阶常微分方程的几种解法，其中就包括了 伯努利 方程的几种解法，而且对几种解法进行了分析、比较、概括。同时，徐士河也给出了 黎卡提（ Riccati）方程的定义 4： 2dy P x y Q x y e xdx (1) 其中 ()Px， Qx， ex是 x
6、的连续函数。 江磊分析了几类简单的 黎卡提（ Riccati）方程化为 伯努利 方程的形式 5，并给出了一定的结论和总结。 能有初等解法的微分方程是很有限的，像上文这种形式上很简单的黎卡提（ Riccati）方程一般就没有初等解法，但是黎卡提 (Riccati)方程在已知一特解的情况下可以转化为伯努利方程求解。在此思想的启发下，本文探求几类比黎卡提 (Riccati)方程更广泛的一阶微分方程的求解方法。由于日常生活的实际问题往往可以归结为求解微分方程的数学问题，这就使得研究微分方程的求解成为研究微分方程的主要内容之一。 对于具有广泛应用背景的伯努利方程的求解一直是人们十分关心的课题，有关该问题
7、的求解已经有了许多研究成果 6 9。本文的目的就是找出几类可化为伯努利方程求解的一阶微分方程，结合用解伯努利方程的方法解出这些一阶微分方程。再把结果应用到日常实际生活当中去，如 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性 等 领域 。对此我们首先查阅了大量2 的文献，对许多数学工作者在这方面的研究成果进行了总结 10， 11： 王玮通过研究和进一步的探讨，也给出了下列形式的伯努利方程 12 2 21dy yydx x x (2) 22dy y x y xdx 。 (3) 并获得了其通解公式。 冯变英给出了用常数变易法来解伯努利方程 13，并获得
8、了几种解法。 刘志伟研究了上面几位学者的关于伯努利方程的解法，经过自己的探索和总结，并给出了几种关于这个方面的新解 14 胡劲松在用“积分因子”求解 Bernoulli方程 15一文中给出了伯努利方程求解的一些方法。 同时， E 卡姆克 也在 常微分方程手册 16中阐述了相同的观点，并得到了几种伯努利方程的新解法。 总结上述文献我们得出有关伯努利方程求解结果列为下列命题： 命题 1. 若 ( ) ( ) ( )Q x P x F x ， 2( ) ( ) ( ) 0P x F x F x，则方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx (4) 可转化为伯努利方程，从而
9、可解。 命题 2. 若 ( ) ( ) ( )Q x P x F x , ( ) ( ) 0F x R x,则方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx (5) 可转化为伯努利方程 ,从而可解。 命题 3. 若 2( ) ( ) ( )R x P x F x ， ( ) ( ) ( ) 0F x Q x F x，则方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y e xdx (6) 3 可转化为伯努利方程，从而可解。 虽然上面的文献可以 将 很多 形式的微分方程转化为伯努利方程来求解，但还是有微分方程没有一般的求解方法，比如下面的微分方程就不能直接由已有文
10、献的求解方法来解决。 32( ) ( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R x y e xdx ， (7) 4 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R x y W x y e xdx , (8) 5 4 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R x y W x y h x y e xdx , (9) 6 5 4 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R x y W x y h x y e x y f xdx , (10) 其中 Px， Qx， Rx
11、， Wx， hx， ex， fx都 为 x 的连续函数 。 由上面所述，我们可以得出许多有关于伯努利方程求解的一阶微分方程的定理，同时，把这些微分方程化为伯努利方程求解以后，我们进行了总结，得到了一些基本方法来解伯努利方程，对于黎卡提（ Riccati）方程我们也可转化为伯努利方程进行求解。 本文先找到几类一阶微分方程的特解，在特解满足一定条 件时进行变量替换，将方程化为伯努利方程，再进行求解。其主要目的在于介绍几类能转化为有初等解法的方程类型及求解的方法。虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了求解微分方程所用到的方法与技巧，所以研究这种类型方程的解法还是具有实际意义的。 4 2 主要结果 定
12、理 1 当 ()Px， ()Qx， ()Rx， ()ex 都为 x 的连续函数时，若已知方程 (7)的一个特解)(xy ，且系数函数满足条件 0)()()(3 xQxyxP 时，那么方程 (7)可通过变量替换 )()( xxyy 化为 伯努利 方程来求解。 证明 令 )()( xxyy ,则 )()( xxyy ,将他们代入方程 (7)得 )()()()()()()()()()( 23 xyxRxxyxQxxyxPxxy )()( xex 3223 )()()(3)()(3)()()()( xxxyxxyxyxPxxy 2)()( xyxQ )()()()()()()()(2 2 xexxRx
13、yxRxxxy )()()(3)()()(3)()()()( 223 xyxxPxyxxPxyxPxxy 3( ) ( )P x x )()()()()()()()()(2)()( 22 xxRxyxRxxQxyxxQxyxQ ()ex 因为 )(xy 为方程的一个特解 , 所以有 )()()()()()()()( 23 xexyxRxyxQxyxPxy , 从而方程 (7)可化为 2223 )()(3()()()()(3()()()( xyxPxxQxyxPxxPx )()()()(2 xxRxyxQ 0)()()(3 xQxyxP )()()()(2)()(3()()()( 23 xxRx
14、yxQxyxPxxPx 此方程为 3n 的 伯努利 方程，进而可求得其通解。 定理 2 当 ()Px， ()Qx， ()Rx， ()Wx， ()ex 都为 x 的连续函数时，若已知方程 (8)的一个特解 )(xy ,且系数函数满足条件 24 ( ) ( ) ( ) 06 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 0P x y x Q xP x y x Q x y x R x , 5 那么方程 (8)可通过变量替换 )()( xxyy 化为 伯努利 方程来求解。 证明 令 )()( xxyy ,则有 )()( xxyy , 将它们代入方程 (8)得 )()()()()()()()()()( 3
15、4 xyxRxxyxQxxyxPxxy )()()()()( 2 xexxyxWx 32234 )()(4)()(6)()(4)()()()( xxyxxyxxyxyxPxxy )( 4x 23223 )()()()()(3)()(3)()( xyxRxxxyxxyxyxQ )()()()()()()()(2 2 xexxWxyxWxxxy )(4)()()(6)()()(4)()()()( 2234 xPxxyxPxxyxPxyxPxxy 3)()( xxy 2234 )()()(3)()()(3)()()()( xxyxQxxyxQxyxQxxP 3)()( xxQ )()()()()()
16、()(2)()( 22 xyxWxxRxxyxRxyxR )()()( xexxW 因为 )(xy 为方程的一个特解，所以有 )()()()()()()()()()( 234 xexyxWxyxRxyxQxyxPxy ， 从而方程 (8)可化为 )()(3)()(6()()()()(4()()()( 234 xyxQxyxPxxQxyxPxxPx ， 由已知 0)()()(3)()(60)()()(42 xRxyxQxyxPxQxyxP ， 进而方程 (8)可化为 )()()()(2)()(3)()(4()()()( 234 xxWxyxRxyxQxyxPxxPx 此方程为 4n 的 伯努利
17、方程，故方程的求解问题可 得以解决。 定理 3 当 ()Px， ()Qx， ()Rx， ()Wx， ()hx ， ()ex 都为 x 的连续函数时，若已知方6 程 (9)的一个特解 )(xy ,且系数函数满足条件 32241 0 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 01 0 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 05 ( ) ( ) ( ) ( ) 0P x y x Q x y x R x y W xP x y x Q x y x R xP x y x Q x x ， 则方程 (9)可通过变量替换 )()( xxyy 化为 伯努利 方程来求解。 证明 令 )()( x
18、xyy ，则 )()( xxyy ，代入方程 (9)得 5 4 3( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )y x x P x y x x Q x y x x R x y x x )()()()()()()( 2 xexxyxhxxyxW 5 4 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ( ) 5 ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) ( )y x x P x y x y x x y x x y x x 3223454 )()(4)()(6)()(4)()()()()(5 xxyxxyxxyxyxQxxxy
19、 232234 )()()()()(3)()(3)()()( xyxWxxxyxxyxyxRx )()()()()()()(2 2 xexxyxhxxxy )(10)()()(10)()()(5)()()()( 2345 xPxxyxPxxyxPxyxPxxy 32 )()( xxy )()()(4)()()()()()()(5 3454 xxyxQxyxQxxPxxyxP )(6 xQ )()()(3)()()()()()()(4)()( 234322 xxyxRxyxRxxQxxyxQxxy 2232 )()()()()(2)()()()()()()(3 xxWxxyxWxyxWxxRxxyxR )()()()()( xexxhxyxh 因为 )(xy 为方程的一个特解，所以有 )()()()()()()()()()()()( 2345 xexyxhxyxWxyxRxyxQxyxPxy , 从而方程 (9)可化为 10()()()()(2)()(3)()(4)()(5()( 234 xxhxyxWxyxRxyxQxyxPx )()(4)()(10()()()()(3)()(6)()( 2223 xyxQxyxPxxWxyxRxyxQxyxP
