1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 几类三阶常微分方程的通解公式 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 本文在总结已有文献的基础上，首先简单介绍了常微分方程的概念、发展和研究意义，然后研究了三类三阶变系数的常微分方程的求解， 通过寻求适当的变量替换，我们将这些方程转化为常系数的常微分方程求解并获得其通解公式。最后结合具体的三阶变系数的常微分方程的模型，将本文的理论结果进行了应用，从而完善了常微分方程的可解类型。 关键词： 线性常微分方程；通解；三阶；变系数 General Solution Formulas of Several Clas
2、ses of Third-order Ordinary Differential Equations Abstract: First, on the basis of summarizing existing references, this article simply introduces the definition, development and research significance of ordinary differential equation. Then, the methods of solving three classes of third-order ordin
3、ary differential equations with varying coefficients are studied. By using some variable displace, we solve these equations which can be transformed into third-order linear ordinary differential equations with constant coefficients, and the formulas of general solutions of this equations are given.
4、Finally, we give the models of third-order ordinary differential equations with variable coefficients to illustrate the effectiveness of the theoretic conclusions in this paper .Our results complete the corresponding ones in the literature. Key words: Linear ordinary differential equations; General
5、solution; Third-order; Variable coefficient 目 录 1 绪 论 . 1 2 三类三阶常微分方程的通解公式 . 5 3 应用举例 . 12 4 结束语 . 17 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 18 1 1 绪 论 在大量的实际问题中的一些运动过程，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数间的关系式，这个关系式就是常微分方程。 我国常微分方程领域的著名数学家秦元勋曾经说过：“常微分方程，是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他
6、数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的 工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科。” 我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般 n 阶常微分方程具有形式 , , , , 0n ndy d yF x y dx dx。 (1) 如果方程 (1)的左端为 y 及 dydx ， nndydx的一次有理整式，则称 (1)为 n 阶线性微分方程。不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程。如果函数 ()yx 代入方程
7、(1)后，能使它变为恒等式，则称函数 ()yx 为方程 (1)的解。并且我们把含有 n 个 独立的任意常数 1c ， 2c ， nc 的解 12( , , , )ny x c c c 称为 n 阶方程 (1)的通解。 常微分方程是数学专业的重要基础课程。可以说它对先修课程及后续课程起着承前启后的作用，是数学科学理论中必不可少的一个重要环节。 常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科 ，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。 同时常微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之一，也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。
8、 赛蒙斯 (Simmons） 也曾说过：“ 300 年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏。这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源1。”而在整个数学大厦中占据着重要位置的常微分方程，它的发展之路并非一路平坦。常微分方程 是在微积分概念出现后即已出现的，我们可以将常微分方程的研究分为以下几个阶段 2。 发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨 (Leibniz） 曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉 (Euler)则
9、试图2 用积分因子统一处理，伯努利（ Bernoulli）、里卡蒂（ Riccati）微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。 早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（ Liouville）于 1841 年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断 。加上柯西（ Cauchy）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。 首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究。 其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如贝塞尔（ Bessel）函数、勒让德（ Legendre）多项式等，这促成了
10、微分方程与（复变）函数论结合产生微分方程解析理论。 同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近似方法的研究。 19 世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需 研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。 首先，庞加莱（ Poincare）创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。由于希尔伯特（ Hilbert）提出 20 世纪 23 个数学问题中关于极限环个数的第 16 问题，大大促进了定性理论的发展。 另一方面李雅普诺夫（ Lyapunov）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问
11、题，在天文，物理及工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联、美国受到极大重视。 同时，伯克霍夫（ Birkhoff）在 20 世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入， 20 世纪 50 年代后经阿诺德（ Arnold）、斯梅尔（ Smale）等大数学家的参与而得到蓬勃发展。 除定性、稳定性和动力系统理论外，还有非线性振动理论、摄动与奇异摄动理论及变换群理论在 20 世纪也得到迅速发展。 20 世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等。科技和数学界的重大
12、发现是混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立子直接与微 分方程有关。洛伦茨在 20 世纪 60 年代发现了称为 Lorenz 方程的常微分方程，初始敏感的特性导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论” 3。孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解，但它们往往对应用于可积的哈密顿系统的常微分方程，从而引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研究热潮。 3 微分方程的理论 一直在 逐步 的 完善，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程， 就会 有解方程的方法 4-6。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标 ，一旦求出
13、通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，例如：自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都满足常微分方程关系式的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。这就使得常微分方程是解决实际问题的重要工具，对微分方程的求解仍是具有实际意义的。对 微分方程求解已经有许多种方法 7-8，特别是王高雄等总结的分离变量法，常数变易法，特征根法，待定
14、系数法，幂级数解法等。 众所周知，线性常微分方程的求解只需求得其相应的齐次线性微分方程的基本解组，然后通过常数变易法就可获得其通解。参阅任何一本较为全面的常微分方程的教材，我们不难发现，齐次线性常微分方程的求解只有当其系数函数为常数时，才能通过求解其对应的特征方程的根来确定其通解。然而，在日常实际生活中，已经发现的能用初等解法求解的微分方程是很有限的，特别地，线性常微分方程的系数函数不为常数，即为所谓的变系数时 ，却没有一般的方法。而关于一阶常微分方程的研究已经比较完善， 对变系数二阶线性微分方程已有较多的可解结果 9-12，但对更高阶的变系数线性微分方程还基本上停留在经典的 Euler 方程
15、上。 虽然已经知道不是所有的高阶微分方程都能求出其解，但仍然有些微分方程可以解出方程的解。因此，研究特殊的解法一直是人们研究的方向，比如文献 13-15中所述的几类方程。尽管如此，仍然有可求解的方程没有找到通解公式，例如下列几类三阶线性微分方程通解问题仍需进一步研究： (1)三阶变系数线性非齐次微分方程： ( ) ( ) ( ) ( )y P x y Q x y R x y f x ， (2) 其中已知该方程的一个预解函数 ()Gx和一组预解常数 a 、 b 、 c ； (2)一般的三阶线性微分方程： 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X t a t X
16、t a t X t a t X t f t ， (3) 其中 1()at， 2()at， 3()at及 ()ft 都是所考虑区间的连续函数； (3)一类三阶变系数的常微分方程： 4 0)()()( yxkyxqyxpy ， (4) 其中 ()px 为 R 上的二阶连续可微函数， ()qx 与 ()kx为 R 上的连续函数。 显然这些方程是同一类变系数的三阶线性微分方程，但由于其系数函数满足的条件不一样，从而也是不同类型的三类方程。我们知道，变系数的常微分方程的求解往往是借助于适当的变量替换，在这些方程的系数函数满足适当条件时将其转化为常系数的微分方程来求解，本文将利用数学分析的技巧，寻求适当的
17、变量替换，在系数函数满足适当条件下，将上述方程 (2)-(4)转化 为常系数的方程来求解，并给出其通解公式，以期完善和丰富常微分方程的可解类型。 5 2 三类三阶常微分方程的通解公式 首先给出方程 (2)的通解公式，我们先来看一个具体的例子，形如如下的三阶变系数线性非齐次微分方程： 2 2 3 ( 3 ) 3 ( ) ( )G G Gy a G y b G a G y c G y f xG G G ， (5) 其中 ()G Gx ， ()fx都是 x 的已知连续函数，且 ()Gx二次可微， ( ) 0Gx ； a 、 b 、 c 为实常数。 我们来证明：方程 (5)经自变量变换可化为三阶常系数
18、线性微分方程，事实上，作变换： ()t G x dx ， (6) 将自变量 x 换成 t ，我们有 ()dy dy dt dyGxdx dt dx dt ， 222 ( ) ( )d y d y d yG x G xd x d t d t， 3 3 233 3 2( ) 3 ( ) ( ) ( )d y d y d y d yG x G x G x G xd x d t d t d t ， 将 dydx ， 22dydx， 33dydx代 入方程 (5)，经整理后便 得到以 t 为自变量的三阶常系数线性非齐次微分方程 323 2 3() ()()d e fd y d y d y f xa b
19、c y g td t d t d t G x 。 (7) 在求出这个方程的通解 ()yt 后，把 t 换成 ()Gxdx 即得原方程 (5)的通解。 熟知的三阶 Euler方程 32 ( )x y a x y b x y c y f x 是方程 (5)当 1()Gxx 时的特殊情况，其中 a 换成 3a ， b 换成 1ba， ()fx换成31 ()fxx。 对于一般的三阶线性微分方程 (2)，如果能由方程组 6 2233 ( ) 3 ( ) ( )()GaG P xGGGbG aG Q xGGc G R x (8) 确定出函数 ()Gx及常数 a 、 b 、 c ，则可以用上述方法求出方程
20、(2)的解。我们不妨称方程组 (8)为微分方程 (2)的预解方程，满足预解方程 (8)的一个函数 ()Gx及一组常数 a 、 b 、 c 分别称为微分方程 (2)的预解函数和预解常数。那么，上述结果可总结成如下定理： 定理 1 如果已知三阶线性微分方程 (2)的一个预解函数 ()Gx和一组预解常数 a 、 b 、 c ，则方程 (2)可经 自变量变换 (6)化为三阶常系数线性微分方程 (7)， 可用特征方程的方法得到其通解 。 在许多情况下，往往用“比较视察法”就可以确定出微分方程 (2)的预解函数 ()Gx及预解常数a 、 b 、 c 来，即先比较预解方程组 (8)中的第三式定出 ()Gx和
21、 c ，再代入其中的第一式定出 a ，最后代入第二式就定出 b ，因此这方法是可行的。 所以一般三阶线性微分方程 (2)可通过确定其预解 (8)就能将该方程化为常系数微分方程来求解，从而可用特征方程的方法得到其通解。 其次考虑 方程 (3)的 求解，在方程 (3)中，其中 1()at， 2()at， 3()at及 ()ft 都是所考虑区间的连续函数，没有普遍的解法，但是当方程 (3)系数满足一定的条件时，这类方程的通解是可求的，经整理，我们可以得到如下定理： 定理 2 对于方程 (3)当系数满足 22 1 11( ) ( ) ( )3a t a t a t， 3 3 1 1 1 11 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 7 3 3a t a t a t a t a t 时，可化为常系数线性方程 1123 ( ) 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 7 p a t d tppV t p V t V t V t e f t ， (9) 其中 p 为常数。然后可用常数变易法得到其通解 证明 引入变量 11 ( )3( ) ( )p a t dtX t e V t （ p 为常数），则有 11 ( ) 1 3()( ) ( ) ( ) 3 p a t d tp a tX t V t V t e ，
