1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 矩阵特征值、特征向量的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 矩阵是数学中的一小部分，却占有着极其重要的地位，其特征值、特征向量应用范围非常广泛，在很多方面都有涉及，例如：信息科学 ，经济学，工程，物流，网络等等。本文将就矩阵特征值、特征向量及其应用经行研究。 关键词 矩阵特征值；矩阵特征向量；求解矩阵；研究应用 Examination of Eigenvalue and Eigenvector Abstract The matrix is a small part of mathematics, b
2、ut it takes extremely important status.Its Eigenvalue and Eigenvectors application scope is wide, it involves in many fields. For example: information technology, economics, engineering, logistics, internet and so on.This article discuss the examination of Eigenvalue and Eigenvector only from differ
3、ent methods of Eigenvalue and Eigenvector. Key words Eigenvalue Eigenvector solution matrix Research and Application 目 录 1 绪论 1 2 矩阵特征值、特征向量的研究 4 3 矩阵特征值、特征向量的应用 14 4结论 21 致谢 22 参考文献 23 1 1 绪论 矩阵特征值、特征向量的研究方法非常多，应用领域多方面涉及，我们仅从不同矩阵特征值、特征向量的求解方法入手，泛谈矩阵特征值、特征向量的研究。 1.1 文献综述 该研究的内容国、内外均有所涉及， 但并没有综合性的文献。
4、所以本文将采取分节的形式对上述几个方面进行讨论。 1.2 研究框架 本文综合研究矩阵特征值、特征向量的求解方法，具体将一一列举不同的一些矩阵并求解他们的特征值、特征向量 1 。 1.3 术语说明 矩阵：由 mn 个数 1 , 2 , , 1 , 2 ,ija K i m j n ， ，排成的 m 行、 n 列的长方形表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为数域 K 上的一个 mn 矩阵。其中的 ija 称为这个矩阵的元。两个矩阵相等就是它们对应位置的全元相等 2 。 特征值求解： 描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说 是 A 的特征值等价于说线性系统 (A i
5、 ) v = 0 (其中 I 是恒等 矩阵 )有非零解 (一个特征向量 )，因此等价于行列式 det(A i )=0。 函数 p() = det(A i )是 的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。 这就是 A 的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点 3 。 一个矩阵 A 的特征值可以通过求解方程 Ap () = 0来得到。 若 A 是一个 nn 矩阵，则 Ap 为 n 次多项式，因而 A 最多有 n 个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有 n 个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，
6、对于偶数或奇数的 n，非实数特征2 值成共轭对出现。 特征向量求解： 一旦找到特征值 ，相应的特征值可以通过求解方程 组 (A i E) v = 0得到 。 没有实特征值的一个矩阵的例子 ： 实 平面 顺时针 90 度 旋转 ， 其特征多项式是 12 ，因此其特征值成复共轭对出现： i, -i。相应的特征向量也是非实数的。 矩阵特征值、特征向量的性质： 性质 1 设 A 为 N 阶方阵， 1 ， 2 , n 为 A 的 n 个特征值，则 A = 1 n4 。 性质 2 方阵 A 为可逆 A 的 n 个特征值都不为零。 性质 3 设 为方阵 A 的特征值， A 为 A 的多项式，则 为 A 的特
7、征值。 性质 4 不为方阵 A 的特征值 EA 0 1.4 矩阵简单介绍 矩阵是数学中的一小部分，该术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。 英文名 Matrix（ SAMND 矩阵）本意是 子宫 、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix 代码制造世界的数学逻辑基础 5 。 19 世纪 50 年代 ，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行几列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善
8、了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前 l 世纪中国的九章算术就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。 18 世纪末到 19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了 矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。 矩阵代数在 19 世纪沿着两个方向发展，一个是凯莱与西尔维斯特的抽象代数结构，另一个是以凯莱为代表的用代数观点研究几何空间。进入 20 世纪，随着物理科学的发展，数学相继应用于相对论、量子力学等方面。从 1904 年到
9、 1910 年， Hilbert 连续在文章中应用矩阵来研究积分方程，然后又将积分方程应用到数学物理问题中。 1925 年，海森堡 (werner 3 Heisenberg)的无穷矩阵理论被应用到量子论上，矩阵力学形成。 1927 年，希尔伯特等人开始用积分方程等分析 工具研究量子理论，在抽象希尔 伯特空间中研究量子力学特征值等问题。 20 世纪 40 年代，由于电子计算机的应用，数学向其它科学领域广泛渗透 6 。 4 2 矩阵特征值、特征向量的研究 下面，我将通过几个具体的例子，来说明下矩阵特征值、特征向量的研究。 一、 与 A 有关的一些矩阵的特征值与特征向量的求法 n 阶矩阵 KA， a
10、A+bI， m ， 1 ， * ， f（ A）的特征值和特征向量。 若 是n 阶矩阵 A 的特征值 , 非零向量 x 为 A 对应于特征值 的特征向量，则 ， a +b，m ， 1/ ， A / ， f（ ） 是 KA， aA+bI， m ， 1 ， * ， f（ A）的特征值；非零向量 x 是 KA， aA+bI， m ， 1 ， * ， f（ A）对应于特征值 ， a +b， m ，1/ ， A / ， f（ ）的特征向量 7 。 证明： 由于 是 A 的特征值 , x 是 A 对应于 的特征向量 ,则有 Ax= x ， （ 1） 那么， 1） 在（ 1）两端同时左乘系数 K得到 kAx=
11、k x， 即 ( kA) x = ( k) x. 所以 k是方阵 kA 的特征值 ， 且向量 x 是方阵 kA 对应于特征值 k的特征向量。 2） 由于 ( aA + bI) x = aAx + bx = ax + bx = ( a + b) x ， 所以 a + b 是方阵 aA + bI 的特征值 ， 且向量 x 是方阵 aA + bI 对应于特征值 a + b 的特征向量 . 3）由于 A2 x = A( Ax) = A(x) = ( Ax) = (x) = 2 x , A3 x = A(A2 x) = A (2 x) =2 ( Ax) =2 (x) = 3 x , Am x = A(
12、1mA x) = A( 1m x) = 1m ( Ax) = 1m (x) = m x 所以 m 是方阵 Am 的特征值 ， 且向量 x 是方阵 Am 对应于特征值 m 的特征向量 . 4) 在 (1) 式两端 同时左乘 A 1 得 A 1 Ax = A 1 x， 即 x = (A1 x)，有 A 1 x =1/x 成立。 所以是方阵 A 1 的特征值，且向量 x 是方阵 A 1 对应于特征值 1/的特征向量 . 5）在（ 1）两端同左乘 A* 得 A* Ax= A* x ，由于 A* = A A 1 ，那么 A* Ax=A x=（ A* x）， 既有 A* x= A x 成立 ， 所以 A
13、是方阵 Am 的特征值 ， 且向量 x是方阵 Am5 对 应于特征值 A 的特征向量。 6） 设 f（ x） = an xn +a 1n x 1n +a 1 x+a0 ，则 f（ A） =an An +a 1n A 1n +a 1 A+a0 ， F(A)x=an An x+a 1n A 1n x+a 1 Ax+a0 x=an n x+a 1n 1n x+a 1 x +a0 x=an n+a 1n 1n +a 1 +a0 x=f( )x. 上面的证明用到了 3) 的结论 ,由 f (A) x = f () x 可知 f () 是 f ( A) 的特征值 ， 且向量 x 是 f ( A) 对应于特
14、征值 f () 的特征向量 例 1：已知矩阵 A=在，求解 5 -4 4 -2A+I 的特征值和特征向量 8 。 分析：本题是求矩阵 A 的多项式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，则需计算A 的 5 次冥并进行多项式运算，再求其特征值和特征向量，计算量非常大，但利用 (6)的结论，计算变的非常简单。 解： 矩阵 A 的特征多项式 det ( A - I) 为 : IA =122212221=（ 5- ）（ 1+ ） 2 令 det(A- I )=0,得矩阵 A的特征值为 1 =5， 2 = 3 =-1，当 =5时 ， 解 齐 次方程 (A-5I)x=0,即 422242224321xxx=
15、000，得其通解为 x1 ,x2,x3 T =t1,1,1T ， 其基础解系中只含有一个解 向量 x1 =1,1,1T ， x1 即为特征值 =5所对应的特征向量。 当 =-1时，解齐次方程 (A+Ix)=0,即222222222321xxx=0006 得通解为 x1 ,x2 ,x3 T =t1 -1,1,0T +t2 -1,1,0T ， 其基础解系中含有两个线性无关的解向量；x2 =-1,1,0T ， x3 =-1,0,1T ， 即为特征值 2 = 3 =-1所对应的特征向量。 设 f(A)=A5 -4A4 -2A+I， 则 f( )= 5 -4 4 -2 +1， 即为 f( )的特征值 当
16、 1 =5时， f( 1 )=616， 当 2 = 3 =-1时， f( ) 3.2 =-2. 于是 A5 -4A4 -2A+I的特征值为 616， -2， -2， 对应的特征向量仍然为 x1 ,x2 ,x3 . 二 、 n 阶矩阵的高次冥求解 当 n 阶矩阵 A 可对角化时 ， 即矩阵 A 可与对角阵相似时 ， 计算其高次幂 Ak 有简单的方法 ， 当 n 阶矩阵 A 满足下面的四个条件之一时 ,即可对角化 ， 即 A=P P 1 ， n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 ； n 阶矩阵 A 有 n 个互不相等的特征值 ； n 阶矩阵 A 的每个特征值 均有 m ，即特征值的几何 重
17、 数等于其代数 重 数 ； A 为实对称矩阵 9 ； 对于 A=P P 1 ， P=x1 ,x2 ,x n 是由 A的 n个特征向量组成的矩阵。 =diag( 1 , 2 , n )是由 A的 n个特征值构成的对角矩阵，那么有： Ak =(P P 1 )k =P P 1 . P P 1 P P 1 = P (P 1 P) (P 1 P) (P 1 P) P 1 =P k P 1 ，其中 k =diag k1 , k2 ， kn ，故Ak =Pdiag k1 , k2 ， kn P 1 . 例 2：已知矩阵 A=122212221 ， 求 Ak (其中 k为正整数 )。 分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的 ,这里因矩阵 A 为实对称矩阵 ， 故可对角化 ， 可按上面讨论的方法求之 。 解 因为 AT = A ， 所以矩阵 A 为实对称矩阵 ， 故矩阵 A 可对角化为 。 由例 1 知 ： 矩阵 A 的 3 个特征值为 1 = 2 = - 1 ,3 = 5， 其对应的特征向量为 x1 ， x2 ,x3 。
