1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 利用傅里叶级数进行数列求和的方法 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多： 公式法 、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和 等等。但不是所有的数列都可以利用以上方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。这时，我们可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。傅里叶级数是 一种特殊的三角级数 ，是由 法国数学家 J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时
2、提出 的 。有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。本文具体介绍了傅里叶级数的相关知识，用丰富的例子归纳总结了需要用傅里叶级数进行求和的数列类型。 关键词： 傅里叶级数；数列；求和 The Method of Sequence Summation by Fourier Series Abstract: Sequence is very important in mathematics. There are many relations between objects expressed by sequences. Summation is one of the very im
3、portant content. There exist many methods to get the summation of sequence. For example, formula method, dislocation phase subtraction, adding method in reverse chronological order, grouping law, crack study method, mathematical induction, general term turning, add item summation, etc. But we find t
4、hat not all sequence summation solved by these methods. We need to seek new ways. At this time, we may introduce the fourier series to get sum of sepuences. Fourier series, a special kind of the trigonometric series, is raised by J.-B.-J. Fourier, a French mathematician, while studying in a research
5、 about boundary value of partial differential equation. Using fourier series, we can discuss about a class of sequence summation in this direction. In this article, we introduce the relative theory of fourier series firstly. Secondly, we conclude the method of sequence summation by fourier series wi
6、th many examples. Key words: Fourier series; sequence; summation 目 录 1 引言 . 1 2 傅里叶级数的相关概念介绍 . 2 2.1 傅里叶级数 . 2 2.1.1 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 . 2 2.1.2 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 . 4 2.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数 . 5 2.3 函数的傅里叶级数的展开式 . 6 3 傅里叶级数的收敛定理及其判别法 . 9 3.1 函数项级数的收敛定理及其判别法 . 9 3.2 傅里叶级数收敛定理 . 10 3.3 傅里叶级数收 敛性的判定定理 . 11 3.
7、3.1 Dini 判别法 . 11 3.3.2 Jordan 判别法 . 12 3.4 傅里叶级数的求和理论 . 12 4 傅里叶级数在数列求和中的应用 . 14 4.1 利用傅里叶级数进行数列求和 . 14 4.2 应用举例 . 15 4.2.1 21 1kn n类无穷级数和的傅里叶求法 . 15 4.2.2 其他例子 . 17 5 总结 . 21 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 1 1 引言 数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系都可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多： 公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法
8、 、通项化归、并项求和 等等。然而，随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，可以发现许多数列运用一般的方法已经满足不了求和的需要，因此要求人们去构造和探究新的方法。这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列求和进行探讨。傅里叶级数是 一种特殊的三角级数 ，是由 法国数学家 J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出 的 。在中国，程民德最早系统研究过多元三角函数级数与多元傅里叶级数，他首先证明多元三角级数球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 -博赫纳 球形平均的许多特性。 有了傅里叶级数，我们也就 可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。本文介绍傅里叶级数的相关
9、概念、傅里叶级数的收敛定理及其判别法、对数列求和方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的数列为例，对其在利用傅里叶级数求和的计算方面的应用进行举例说明。 2 2 傅里叶级数的相关概念介绍 2.1 傅里叶级数 傅里叶级数，即 Fourier series，定义作： 如果一个给定的非正弦周期函数 ()ft 满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数 。 2.1.1 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 我们现从最简单的周期运动开始讨论，则可以用正弦函数 sin( )y A x （ 1） 描述。由（ 1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中 A 为振幅， 为初相角， 为角频率，于是简谐 震动
10、y 的周期是 2T 。较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动 s in ( ) , 1 , 2 , . . . ,k k ky A k x k n 的叠加 11 si n ( ) .nnk k kkky y A k x （ 2） 由于简谐振动 ky 的周期为 2 , 1, 2 , . ,T T k nk ，所以函数（ 2）的周期为 T 。对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数 0 1 s in ( )nnnA A n x（ 3） 若级数（ 3）收敛，则其所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（ 3），我们只讨论 1 （如果 1 ，可用 x 代换 x ）的情形。由于 s i n ( )
11、s i n c o s c o s s i nn n nn x n x n x ， 所以 0 1 s in ( )nnnA A n x3 0 1 ( sin c o s c o s sin ) .n n n nnA A n x A n x （ 3） 记 00 2aA， sinn n nAa ， cosn n nAb ， 1,2,.n ， 则级数（ 3）可写成 01 ( c o s s in ) .2 nnna a n x b n x（ 4） 它是由三角函数列（亦称三角函数系） 1 , c o s , s i n , c o s 2 , s i n 2 , . . . , c o s , s i
12、 n , . . .x x x x n x n x （ 5） 所产生的一般形式的三角级数。 我们易得，若三角级数（ 4）收敛，那么它的和一定是一个以 2 为周期的函数。 定理 1 若级数 01 ()2 nnna ab收敛，则级数（ 4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。 而三角函数（ 5）中所有函数具有共同周期 2 ，且任何两个不相同函数的乘积在 , 上的积分都等于零，即 c o s s i n 0n x d x n x d x（ 6） c o s c o s 0 ( ) ,s in s in 0 ( ) ,c o s s in 0 .m x n x d x m nm x n x d x m n
13、m x n x d x（ 7） 而（ 5）中任何一个函数的平方在 , 上的积分都不等于零，即 222c o s s i n ,1 2 .n x d x n x d xdx （ 8） 我们通常把两个函数 和 在 , ab 上可积，且 ( ) ( ) 0ba x x dx 的函数 和 称为在 , ab上是正交的。由此我们可以说三角函数系（ 5）在 , 上是具有正交性的，或者说（ 5）是正交函数系。 我们应用三角函数系（ 5）的正交性，讨论三角级数（ 4）的和函数 f 与级数（ 4）的系数 0a ，4 na ， nb 之间的关系。 定理 2 若在整个数轴上 01( ) ( c o s s in )2
14、 nnnaf x a n x b n x （ 9） 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： 1 ( ) c o s , 0 , 1 , 2 , . . . ,na f x n x d x n （ 10a） 1 ( ) s i n , 1 , 2 , . . . .nb f x n x d x n （ 10b） 一般来说，若 f 是以 2 为周期且在 , 上可积的函数，则可按公式（ 10）计算出 na 和 nb ，它们称为函数 f （关于三角函数系）的傅里叶系数，以 f 的傅里叶系数为系数的三角级数（ 9）成为 f （关于三角函数系 ）的傅里叶级数，记作 01( ) ( c o s s in
15、)2 nnnaf x a n x b n x（ 11） 其中记号“ ”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。由定理 2 知道：若（ 9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数 f ，则此三角级数就是 f 的傅里叶级数，即此时（ 11）式中的记号“ ”可换为等号。然而，若从以 2 为周期且在 , 上可积的函数 f 出发，按公式（ 10）即可求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数（ 11）。 1 2.1.2 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 定义 1 设 f 是以 2l 为周期的函数，通过变量置换 x tl 或 ltx 可以把 f 变换成以 2 为周期的 t 的函数 () ltF t f 。若
16、f 在 ,ll 上可积，则 F 在 , 上也可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： 01( ) c o s si n2 nnnaF t a n t b n t， （ 12） 其中 5 1 ( ) c o s , 0 , 1 , 2 , . .,1 ( ) sin , 1 , 2 , . .nna F t n tdt nb F t n tdt n（ 13） 因为 xt l ，所以 ( ) ( )ltF t f f x。于是由（ 12）和（ 13）式分别得 01( ) c o s s in2 nnna n x n xf x a bll （ 14） 与 1 ( ) c o s , 0 , 1 ,
17、 2 , . .,1 ( ) sin , 1 , 2 , . .ln lln lnxa f x d x nllnxb f x d x nll（ 15） 这里（ 15）式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数，（ 14）式是 f 的傅里叶级数。 1 2.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数 定义 2 若 f 是以 2l 为周期的偶函数，或是定义在 ,ll 上的偶函数，则在 ,ll 上，( )cosf x nx 是偶函数， ( )sinf x nx 是奇函数。因此， f 的傅里叶系数（ 15）是 012( ) c os ( ) c os , 0 , 1 , 2 , . ,1 ( ) sin 0 ,
18、1 , 2 , . .lln lln ln x n xa f x dx f x dx nl l l lnxb f x dx nll （ 16） 于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 01( ) c os2 nna nxf x a l ， （ 17） 其中 na 如（ 16）式所示。（ 17）式右边的级数称为余弦级数。 同理，若 f 是以 2l 为周期的奇函数，或是定义在 ,ll 上的奇函数，则可推得 6 01 ( ) c os 0 , 0 , 1 , 2 , . ,2 ( ) sin , 1 , 2 , . .ln llnnxa f x dx nllnxb f x dx nll （ 1
19、8） 所以当 f 为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 1( ) sinnnnxf x b l， （ 19） 其中 nb 如（ 18）式所示。（ 19）式右边的级数称为正弦级数。 1 2.3 函数的傅里叶级数的展开式 首先，我们给出一个引理： 引理 设函数 ()fx以 2l 为周期，在 ,)ll 上分段光滑，那么 cosnxl ， sinnxl 也以 2l 为周期，且对任意实数 p 有 2 ( ) c o s ( ) c o sp l lpln x n xf x d x f x d xll2 ( ) s i n ( ) s i np l ln x n xf x d x f x d
20、x. 我们设 ()fx在相应区间上满足 Dirichlet 充分条件。 定理 3 设函数 ()fx在 , ab 上满足 Dirichlet 充分条件，且 , , ab ，则有 01( ) c o s si n2 nnnaf x a n x b n x其中， 1 ( ) c o s , 0 , 1 , 2 , . . . ,na f x n x d x n 1 ( ) s i n , 0 , 1 , 2 , . . .nb f x n x d x n 事实上，作 ()()()fxFx gx , , , , .x a bx a b 使 ()Fx在 , 上分段光滑，将在 , ) 上的 ()Fx作以 2 为周期的延拓 ,由引理和基本情形易得 ()fx在 , ab 上的傅里叶级数展开式为
