1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 投资组合有效边界的实证应用分析 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 投资组合作为筹集社会闲散资金的一种有效方式，在社会经济生活中占据日益重要的地位 .为解决资产投资中的收益和风险的关系问题， 现代投资理论应运而生 .然而 ,如何在规避风险的情况下将资金合理分配以求得最大利益就成为了一个焦点 .本文在马科维茨对投资组合收益和风险的四种假设下，一方面，从均值 -方差角度出发讨论了包含多项资产的投资组合在不同比例分配下的期望收益和方差；同时通过对可行集理解学会如何分析无差异曲线以得到最优投资组合 .另一方
2、面， 通过收集真实的数据， 采用不同的方法对建立的有效边界的数学模型进行实证模拟，并用相应的软件求出投资组合的有效边界和最小方差组合的 期望收益及风险 ，从而 给投资者提供一定的参考依据 . 关键 词 ： 投资组合；均值 方差模型；期望收益；风险；有效边界 . The Analysis of Empirical Application of Efficient Frontier in the Portfolio Abstract: As an effective way of raising social idle capital, Portfolio plays an significant
3、 role in the social and economic life. The theory of modern investment has emerged in order to solve the relationship between returns and risks in the investment. However, how to allocate funds where we can achieve the maximum benefit is becoming a main issue. It is worth noting that we discuss the
4、paper under Markowitzs four assumptions of returns and risks in the portfolio. On one hand, from the perspective of the mean-variance model, we discuss expected returns and variances of portfolio which includes many assets. At the same time, we learn how to analyze indifference curves to obtain the
5、optimal portfolio through the understanding of feasible sets. On the other hand, the paper uses different methods in the several conditions to build mathematical models of efficient frontier by collecting real datas so that we can analyze better. Key words: portfolio; mean-variance model; expected r
6、eturn; risk; efficient Frontier. 目录 1 绪论 . 1 1.1 课题研究的背景、现状及意义 . 1 1.2 课题研究的内容与方法 . 1 2 马科维茨（ Markowitz）资产投资过程 . 2 2.1 均值 - 方差 (MV) 模型概述 . 2 2.1.1 均值 -方差模型的假设 . 2 2.1.2 均值 -方差模型的期望收益和风险 . 2 2.1.3 相关系数对投资组合风险的影响 . 3 2.1.4 均值 -方差模型下的相应公式及模型的表达式 . 3 2.2 有效组合的决定 . 4 2.3 最优投资组合的选择 . 5 3 可能投资组合曲线的形状（有效边界的
7、确定 ） . 6 3.1 全局最小方差组合及最大收益组合的概念及公式 . 7 3.2 不允许卖空条件下的有效边界 . 8 3.3 允许卖空条件下的有效边界 . 9 3.4 无风险借贷条件下的效率边界 . 10 4 有效边界的计算方法 . 12 4.1 允许卖空且存在无风险借贷 . 12 4.2 允许卖空但不存在无风险借贷 . 14 4.3 存在无风险借贷但不允许卖空交易 . 15 4.4 既不允许卖空也不允许无风险借贷 . 15 4.5 额外约束的考虑 . 16 5 模型的实证模拟 . 16 5.1 求解允许卖空且存在无风险借贷下的有效边界 . 16 5.2 求解允许卖空但不存在无风险借贷下的
8、有效边界 . 17 5.3 求解存在无风险借贷但不允许卖空交易下的有效边界 . 18 5.4 求解既不允许卖空也不允许无风险借贷 . 19 5.5 求解扩展模型的最优投资组合 . 20 6 结论及讨论 . 21 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 附录 . 24 1 1 绪论 1.1 课题研究的背景、现状及意义 随着我国社会主义市场经济的确立与发展，各种各样的投资手段正以前所未有的速度出现，投资组合作为筹集社会闲散资金、调节社会资本分配的一种有 效方式和直接融资的一种手段，必将在社会经济生活中占据日益重要的地位 .为解决资产投资中的收益和风险的关系问题，现代投资理论应运而生 .
9、这一理论提出一整套分散投资的方法，可使投资者将资产组合的风险减少到最小程度，并使投资者选出一个在一定收益水平下含有最小风险的最有效的资产组合，这便是 Markowitz（ 1952）和 Tibia(1985)的均值 -方差投资组合理论 1.本文将在这一理论支持下，运用数学规划等有关运算方法，提供一个解决多项投资选择的数学模型，其计算问题将借助于计算机予以解决 . 1952 年， Markowitz 提出的投资组合选择理论奠定了现代组合投资理论的基础，带动了金融市场理论的创新，并被誉为金融领域的一场革命 2-4.在此基础上， 1964 年， Sharpe 建立了资本资产定价模型（ CAPM） .
10、该模型给出了资产的收益、风险以及两者之间的精确描述 .投资组合理论的模型均是在其间接前提假设和直接均衡条件下推导出来的 .Markowitz的均值 -方差模型是根据投资者力求收益最大和风险最小这两个相互制约的目标达到平衡的条件而建立的，从而得出有效组合，或者说，在有相同风险水平的可行投资组合中，期望收益最大的组合集构成 投资组合的有效边界，即有相同收益水平的可行投资组合中，风险最小的组合集的上半部分构成投资组合的有效边界 5. 在金融机构的资产管理中，在证券公司的投资策略中，在个人财富持有方式的选择过程中，以及每一个需要对收益和风险进行权衡的场合，现代投资组合理论都具有广阔的应用前景 .但是，
11、这一理论在中国市场的研究目前还基本上处于起步阶段 .出现这一现象的一个重要原因是很多人认为中国目前的市场还不规范，存在着过度炒作和投机的问题，因此运用现代投资组合理论来降低投资风险的潜力比较有限 .目前，我国市场的一个特点是价格波动幅度大 ，系统风险较大，当投资者进行投资时应该针对各资产之间的相关性对其进行分组 , 使每组内资产的相关性尽量大，而使每组资产之间的相关性尽量小 6. 1.2 课题研究的内容与方法 本文主要是对投资组合的有效边界进行了实证应用分析：第一章为绪论，介绍了投资组合理论的历史背景、现状和发展状况及对本文的安排情况；第二章为马科维茨资产投资过程， 在均值 方差模型的四种假设
12、下，给出了期望收益和风险的相应公式及模型表达式，并简要分析相关系数对投资组合风险的影响，同时利用可行集等概念和无差异曲线确定有效组合，从而决定最优 投资组合；第三章为 可能投资组合曲线的形状 ，文中 介绍了 全局最小方差组合及最大收益组合的概念并给出了相应的公式，同时 详细分析了在允许卖空、不允许卖空和无风险借贷条件下的有效边界形状；第四2 章给出了四种条件下的有效边界计算方法，并将其进行一定的扩展，从而为数学理论应用到实际提供了可能的解决性； 第五章为本文的实证研究部分，通过利用 MATLAB、 LINGO 等软件，参照投资组合有效边界的数学模型及其扩展，结合经过几何平均插值处理后中国国航和
13、中国石油两只证券的收盘价进行实证模拟，样本日期为 2009 年 9 月 1 日到 2010 年 8 月 31 日，求出最优投资组合和全局最小方差组合，并画出有效边界图形 .第六章根据所得结果进行分析得出一定的结论，讨论了投资组合理论的现状及研究方向，从而对投资选择起到更好的指导意义 . 2 马科维茨（ Markowitz）资产投资过程 2.1 均值 - 方差 (MV) 模型 概述 Markowitz的投资组合选择理论 2在今天已经成为现代金融经济学的基石，它不但在理论上使金融经济学从此改观，并且在证券市场上引起一场“华尔街革命” ，标志着现代投资组合理论的诞生 .今天人们在处理投资组合的收益
14、-风险分析时， Markowitz理论始终是一种基本工具 7.我们把资金同时投资于多种资产的作法称为多元组合资产投资 . 2.1.1 均值 -方差模型的假设 对于投资者来说，投资组合的基本目标说是在特定的限制条件下获得最大可能的收益 .通常衡量一项资产组合获利大小的指标是收益率，然而在一般情况下资产的收益率是一个不确定的量，投资者在投资时无法预知其未来的实际值，而只能得到某种“平均值”，从数学角度来说，平均值就是根据随机变量收益率的概率分布而求得的数学期望 .正是由于收益率本身的不确定性，使得投资者在追求最大收益时也伴随着一系列的风险 ；收益越大，风险越高 .根据投资者对待风险的态度可分三类：
15、风险爱好者、风险厌恶者和风险中立者，而投资者所得到的预期收益，则伴随着其对收益与风险这种交换关系的态度不同而变化 . 马科维茨为了抽象说明理论的本质，对于投资组合的收益和风险关系作出如下假设：第一，假设投资市场是有效的，投资者能得知证券收益和风险变动及其原因；第二，假设投资者都是风险厌恶者，都愿意得到较高的收益率，如果要他们承受较大风险则必须以得到较高的预期收益作为补偿；第三，假设投资者根据资产的预期收益和风险选择资产组合，则此种组合具有较高预期收益率或 较低的风险；第四，假定多种资产之间的的收益都是相关的，如果得知每种资产之间的相关系数，就有可能降低最低风险的资产组合 1. 2.1.2 均值
16、 -方差模型的期望收益和风险 Markowitz理论的基本思想在于把投资组合的收益率看作随机变量， 在 Markowitz的 MV模型中 ，用来描述收益的两个最常用属性：一个是描述中心趋向性的指标，称为期望收益；另一个是描述风险或围绕中心偏差的指标，称为标准差或方差 .于是该收益率的期望值就是该资产的期望收益，其3 标准差则可看作证券投资风险的一种度量 .为了减少投资风险并取 得适当的投资收益，投资者往往采用组合证券的投资方式，即把一笔资金同时投资于许多不同的资产 .投资者对其投资行为最关心的问题有两个：一个是预期收益的高低，二是预期风险的大小 . 投资组合的期望收益是其所包含的各种资产的预期
17、收益的加权平均值，权重是各种资产在总投资中所占的比例，权重总和为 1.权重可正可负，负的权重表示卖空（ short sale） 该种资产，也称此为空头 . 投资组合的风险通常是指对未来收益率的不确定性，是指预测收益率与实际收益率之间的偏差 .该风险不仅取决于资产组合中各资产的风险大小，而且取决于这些资产 收益率之间的相关程度 .投资组合中各资产的风险用方差（ variance）或标准差（ stardard deviation）来表示，各资产收益率之间的而相互关系，用协方差（ covariance）表示 8-11. 2.1.3 相关系数对投资组合风险的影响 相关系数是反映两个随机变量之间共同变动
18、程度的相关关系数量的表示 ,用 表示 .对投资组合来说，相关系数可以反映一组资产中，每两组资产之间的期望收益作同方向运动或反 方向运动的程度 .相关系数的绝对值小于等于 1，即 11 . 当 10 时，称为正相关，表示两种资产的收益作同方向运动，即一种资产的收益增加或减少，另一种资产的收益也增加或减少 . 越接近于 1，一种资产收益增减值与另一种资产的收益增减值越接近 .组合期望收益在两种资产的收益之间是同一趋 势波动 .这个结果意味着投资组合并不收到降低风险的效果 . 当 0 时，表示一种资产的期望收益的变动对另一种资产收益毫不产生影响 .这个组合结果，意味着可能降低部分风险，也可能不能降低
19、风险 . 当 01 时，称为负相关，表示两种资产的收益作反方向运动 .即一种资产的期望收益增加或减少，另一种资产的收益则减少或增加，这种资产组合期望收益变化较为平缓 .取得了降低风险的效 果 . 从上面的分析可以看出，在多种资产中要选几种资产进行组合投资时，应选相关程度较低的资产组 12. 2.1.4 均值 -方差模型下的相应公式及模型的表达式 假设有 n 种资产构成的投资组合 P ,其中 pR 为组合投资的期望收益 , iR 为资产 i 的期望收益，2P 为投资组合的方差， 2i 为资产 i 的方差， niXi ,2,1, 为投资于资产 i 的比重，且满足4 11 ni iX ， 12 为资
20、产 1与资产 2之间的协方差， 12 为资产 1与资产 2之间的相关系数，则 ini ip RXR 1（ 2.1） 211221222221211221222221212 22 XXXXXXXXp （ 2.2） 211212 （ 2.3） Markowitz的投资组合理论的观点是：在收益达到一定水平以及其他的约束条件下使投资组合的风险最小，用模型表示如下： 1.m in111 12niiniiiPniijnjjiXREXREtsXX ，其中 2 为投资组合的方差， jX 为投资于资产 j 的比重 , ij 为资产 i 与资产 j 之间的协方差， pRE 为投资组合的期望收益， iRE 为资产
21、i 的期望收益 1314. 2.2 有效组合的决定 一般地，在给定预期收益率下，有无穷多种组合资产可以实现该预期风险 .如果以预期风险 为横坐标，预期收益 R 为纵坐标，则任一可行的组合资产唯一地确定了 R 平面上的一点，而所有可行的组 合资产则确定了 R 平面上的一个区域为可行集 ,而有效组合就隐含在可行集之中 .根据现在组合理论创始人马科维茨的假定，投资者大多是风险厌恶者，他们总是在一定预期收益及风险水平上选择组合资产 .理性的投资者总是希望在已知风险条件下获得最大期望收益，或者在已知期望收益条件下，使投资风险达到极小 .例如两个资产组合 S 和 H ，当它们对应在 R 平面的区域上的点为
22、 SS R, 和 HH R, ,满足 HS 且 HS RR ，或 HS 且 HS RR 时则称 S优于 H ,其中 HSiRi , 为资产组合 i 的收益， HSii , 为资产 i 组合的方差 . 在所有的可能的资产组合中，称那些没有比它更优的资产组合为有效资产组合 .所有有效投资组合在 R 平面上确定了一段弧线，该弧线实际上是可行集的边界的部分，常称为有效边界 .在有效边界上投资者不需要评估可行集中的所有投资组合，只需分析 任意给定风险水平有最大的预期收益或任意给定预期收益有最小的风险的投资组合 .图 2-1中就是曲线 AB 为有效边界 .投资组合 A有最小的风险， B 有最大的预期收益
23、.可行集中的组合都可以用比它好的有效集上的投资组合代替 .5 比如，投资组合 C 可以用投资组合 B 代替，因为在相同风险水平下， B 的预期收益比 C 大；同时可以用 D 代替 C ，因为在相同预期收益水平下， D 的风险比 C 的风险小 . 因此，投资者可以从有效资产的集合中来选择自己最理想的资产组合 . 图 2-1 均值 -方差模型的有效边界 2.3 最优投资组合的选择 确定投资组合的有效集后，投资者就可以从这个有效集中选出适合自己的投资组合，这取决于投资者对风险 的态度 .为了了解不同投资者在有效集上所作出的进一步选择，则必须结合其效用的无差异曲线来进行分析 .不同类型投资者的无差异曲
24、线与一定风险度相适应的任一投资收益都能给投资者带来一定的效用 .一般而言，收益越高，效用最大；风险越大，效用越小 .根据收益与风险对称的原理，较小的预期收益对应着较小的风险，而较大的预期收益往往伴随着较大的风险 .对于任一投资者而言，其总是能够找出为其带来相同满足程度，但具有不同收益与风险的投资组合 .将这些组合描述在横轴表示方差、纵轴表示预期收益的平面上，就得到如图 2-2所示的无差异曲线： 图 2-2 无差异曲线的基本形态 图 2-2中，曲线 1I 上的任一点都给投资者带来相同的效用 .如该线上的 A 、 B 两点，虽然 B 点的收益较 A 点大，但由于其风险也较大，所以它给投资者带来的满足程度与 A 点没有什么不同，所以它们同处一条无差异曲线 .但曲线 2I 与 3I 都高于 1I 曲线，所以它们的 效用都大于曲线 1I 上投资
