1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 二阶微分方程的解法和应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 2 摘要 ： 在现实生活中往往会有各式各样的微分方程，且主要为常微分方程。本文主要是对二阶常微分方程的求解问题进行一个综述。叙述求解满足不同条件的 二阶常微分方程的方法，并对一些具体的常微分方程问题进行求解。除此之外，还对二阶微分方程在实际生活中的运用进行了阐述，并列举了几个例子来说明可以建立二阶微分方程求解的问题。 关键词 ：二阶微分方程；线性；齐次；非齐次；常系数；变系数 3 The Method and Application of Seco
2、nd order differential equations Abstract: There are a variety of differential equations in the real life. And the main of them is ordinary differential equations. This paper is mainly to review the solving problems of the Second order differential equations.To describe the methods of the Second orde
3、r differential equations which satisfy different conditions, and to solve some specific differential equations. Besides， this paper described the application of Second order differential equations in our real life. And then give several examples to explain some problem which could be solved by build
4、ing the second order differential equations. Key words: Second order differential equations; Linear; Homogeneous; Non-homogeneous; Constant coefficient; Variable Coefficient 1 目录 1 引言 . 2 2 几类二阶常微分方程的解法 . 4 2.1 二阶常微分方程解的存在唯一性及解的性质 . 4 2.2 二阶可降阶的常微分方程 . 8 2.3 二阶常系数线性微分方程 . 12 2.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 . 12
5、 2.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 . 13 2.4 变系数二阶线性微分方程 . 16 2.4.1 二阶变系数齐次线性微分方程 . 16 2.4.2 二阶变系数线性非齐次微分方程 . 18 2.5 用 EXCEL 解二阶常微分方程 . 21 3 二阶微分方程的运用 . 24 3.1 RLC 电路 . 24 3.2 数学摆 . 25 3.3 其他问题 . 26 4 总结 . 29 5 致 谢 . 错误 !未定义书签。 6 参考文献 . 30 2 1 引言 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮
6、和圆轴的车子。为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。到了 16 世纪前后，社会生 产实践活动进入了一个新的时期。在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了 .17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法 1 。 常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段。 发展初期是对于具体的
7、常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其 解，属于“求通解”时代。莱布尼茨（ Leibniz）曾专门研究利用变量变化解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉（ Euler）则试图用积分因子统一处理 ,伯努利（ Bernoulli） ,里卡蒂（ Riccati）微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们名字命名的方等。这个时期微分方程的求解热潮被刘维尔（ Liouville）于 1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。而随着柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。 19 世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态，从 而使常微分方程的研究从“
8、求定解问题”转向“求所有解”的新时代。这个时期的关键性任务及其成果有：庞加莱（ Poincare）创立了定性理论和方法研究常微分方程的大范围性态；希尔伯特（ Hilbert）提出 20 世纪 23 个数学问题中关于极限环个数的 16 个问题，促进了定性理论的发展；李雅普诺夫（ Lyapunov）提出运动稳定性理论，在天文、物理及工程技术中得到广泛运用；伯克霍夫（ Birkhoff）在动力系统方面开辟了一个新领域；阿诺德（ Arnold）、斯梅尔（ Smale）等大数学家也作出了一定的贡献 2 。 20 世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展引迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特
9、殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等。科技和数学界的重大发现是混沌、孤立子和分形。洛伦茨在 20 世纪 60 年代发现了称为Lorenz 方程的常微分方程，初始敏感的特性导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解，但他们往往对应于可积的哈密顿系统的常微分方 程，从而引发了对停顿百年的常微分方程3 可积性的研究热潮。 微分方程是一个有着广泛应用的数学分支，它在应用科学的许多领域中，往往既是研究的起点，也是基本的工具。而常微分方程是数学类专业的一门应用性较强的
10、基础课，可以说它对先修课程及后续课程起着承前启后的作用，是数学科学理论中必不可少的一个重要环节。常微分方程课程对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用。同时，微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之一，也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。其自身也在不断发展中，学好常微分方程 基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。 4 2 几类二阶常微分方程的解法 常微分方程是数学类专业的一门应用性较强的基础课， 要研究二阶常微分方程的解法，首先要了解一些基本的定义 3 ： 1.常微分方程 微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微
11、分方程中 自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。 2.线性微分方程 如果微分方程 0),.,( nndx yddxdyyxF 的左端是关于 y及 dxdy ， ,nndxyd 的一次有理整式，则称为 n阶线性微分方程。 3.解 如果函数 y= )(x 代入方程 0),.,( nndx yddxdyyxF 后，能使它变为恒等式，此称函数 y= )(x 为该方程的解。 5.隐式解 在上式中，如果关系式 （ x， ,y）决定的函数 y= )(x 是方程的解，我们称 （ x， y）为此方程的隐式解。 6.通解 我们把含有 n个独立的任意常数 nccc ,., 21 的解 y= （ x，
12、 nccc ,., 21 ）称为 n阶方程 0),.,( nndx yddxdyyxF 的通解。 2.1 二阶常微分方程解的存在唯一性及解的性质 在实际求解二阶微分方程中一般是要求满足某种初值条件的解，那么，初值问 题的解是否存在？如果存在是否唯一？而二阶微分方程解的存在唯一性定理就很好的回答了这个问题。由常微分5 方程中解的存在唯一性定理，解的延拓定理以及 Sturm 比较定理就可以得出二阶常微分方程 )0(,0)0( ),0),( “xx txtfx(2.1) 解的存在唯一性定理。 定理 4 ：设函数 ,0,0,0),( Cutf 且满足以下条件： （ 1）对于任意的 ),0 t ， f
13、关于 u 满足局部 Lipschitz 条件 ; （ 2） ),0,0)0,( ttf , ),0(),0),(,0),( ututf ; （ 3） ),0,),(li m tuutfu; （ 4）对于任一非负常数 0u ， dtutf0 0 ),(。 则对于任一的常数 0 ，方程在 ),0 上存在唯一解 x 。 且对于任一 ，存在唯一的)( ，使得 );,0,0,0 ttxx ttx ,0 ， 且 0lim ， xlim 。 要证明此定理首先要给出另两个引理。 引理一 （ Sturm比较定理） 4 设有两个二阶齐次线性微分方程： 0)()(“ tytpty （ 2.2） 0)()(“ tzt
14、qtz （ 2.3） 其中 p（ t）， q（ t）在区间 I 上连续，且 It 时有 tqtp )( 。则若方程（ 2）的一非零解在 I 上有6 两个相邻零点 21,tt ，则方程（ 3）的任一非零解 在 21,tt 上至少与一个零点。 引理二 ： 设 012 TT ，则对于闭区间 , 21TT ，存在一个正常数 0M ，使得当 0MM 时，方程 0)(“ tMztz 的任一非零解 z 在 , 21TT 内至少有两个零点。 有了以上的预备知识，下面我们开始证明定理。 证明 ：我们先证明解的存在唯 一性。利用解的存在和唯一性定理，由条件（ 1）可知问题（ 2.1）的解局部存在且唯一。由条件（
15、2）可知 t ttdstx 0 ),0,)( ， 由延拓定理知，问题 (1)在 ),0 上的解存在唯一 现我们证明对于任一 ，存在唯一的 )( 对于解 ),()( txtx ，假设 不存在，则有 0 tx ， ),0 t ，这时只有以下两种可能： i txtlim 。 ii 0lim 0 xtxt 如果 i 成立，那么根据条件（ 3），就会有 t dssxsftx 0 )(,( 。 而这与 0 tx ， ),0 t 是互相矛盾的。即 i 不成立。 如果 ii 成立，那么根据条件（ 4），同样会有 tx 。这是不可能的，因此 0)( 存在如若 不唯一，不妨设对于某个 0 ，存在满足条件的 )(,
16、 2121 ，则对于问题（ 2.1）的唯一解 ),( tx ，一方面有 0 tx ， 2,0 t ）； 另一方面，又有 0 tx ， ), 21 t ， 这就出现了矛盾，所以 存在且唯一 假设 7 0lim 不成立，则存在 kk , 和 00 。对于每个自然数 k，当 ),0 0t 时，有 kk txtx , ， 0 txk （ 2.4） 下面我们证明： 2s u plim 0kk x （ 2.5） 假设结论不成立，则一定存在 M 0，对于每个自然数 k，都有 Mxk 20 。 由（ 2.3）可得： dttcdtdssxsfxMktkk20 020 0000)(,(2其中 ,02,0),(),(m a x 00 Mututfc 。 这显然是不可能的，所以式（ 2.5）成立 因此可以得出：存在 k 的一个子列 ki ，使得 2lim 0kii x 。 为方便起见，我们不妨设为 2lim 0kk x 。 由条件（ 3），当
