1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 高等数学在初等数学中的应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 : 高等数学是在初等数学的基础上发展起来的。与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答。因此，学会用高等数学的思想、方法，去研究初等数学的问题是很重要的。应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，会有更深刻的认识。 本论文 研究了初等数学与高等数学的关系，并且通过一些例子研究了微积分方法、行列式方法、 lagrange插值方法、 laplace展开方法和线性方程组原理等在初等数学中
2、的应用问题。 关键字 : 初等数学 ； 高等数学 ； 微积分；行列式 Higher Mathematics Application in Elementary Mathematics Abstract: Higher mathematics is developed based on the elementary mathematics, and closely linked with elementary mathematics. Many questions which are unsolved by Elementary Mathematics are answered by highe
3、r mathematics. Therefore, It is important to help students learning higher mathematics ideas and methods and use these to solve the elementary mathematics problems from different angles. Students will have a profound understanding to the nature of elementary mathematics and the intrinsic link betwee
4、n higher mathematics. This paper studies the relationships between the elementary mathematics and the higher mathematics. Many elementary problems is listed and solved by some methods, such as the calculus methods, the determinant method, lagrange interpolation, laplace expansion methos. Key words:
5、Elementary mathematics, Higher mathematics, Calculus; determinant 目 录 1.引言 1 1.1选题的背景和意义 1 1.1.1选题的背景 1 1.1.2选题的意义 1 2.初等数学和高等数学的关系 3 2.1初等数学的概念 3 2.2高等数学的概念 3 2.3初等数学和高等数学的关系 4 3.高等数学在初等数学中的应用 5 3.1微积分方法的应用 5 3.1.1微积分简介 5 3.1.2微积分的应用举例 5 3.2行列式方法的应用 7 3.2.1行列式的简介 7 3.2.2行列式的应用举例 7 3.3Lagrange插值 方法的
6、应用 9 3.3.1Lagrange插值 方法的简介 9 3.3.2Lagrange插值 方法的应用举例 9 3.4 Laplace 展开 方法的应用 10 3.5线性方程组理论 方法的用 12 3.5.1线性方程组理论 在平面解析几何上的应用 12 3.5.2线性方程组理论 在 空间集合上的应用 13 4.结论 15 5.致谢 16 6.参考文献 17 1 1 引言 1.1 选题的 背景和意义 1.1.1 选题的背景 有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于初等数学教学工作作用不大，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等观点。这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的
7、那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点联系也没有似的，当然他很快就忘了中学学的知识。但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教授初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们 所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们的教学毫无影响。”然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说这是数学发展的一种必然。 新课程改革在教学的内容、理念、形式上都有很大变化。内容上力求体现时代性，反映数学学科及其应用的发展，渗透了现代数学思想，加强了与实际生活的联系。教学中，要求
8、体现数学的人文价值和科学价值，注重数学应用意识的培养。新课程内容的变化，无论是新增内容，还是要求、处理形式、侧重点上有变化的内容，都需要教师认真理解，仔细分析。 高等数学的重要性不仅在于它的方法在初等数学中有广 泛的应用，而且在于用高等数学的观点往往可以揭示“为什么这么做”和“应该怎么做”，从而使学生不仅知其然而且知其所以然。我们知道，作为一个教师如果不了解所讲授的问题中的条件提出的原因，也不知道问题的来源，而仅仅知道每一道题该怎么做，那么，他也许难以将有关的概念解释清楚。 1.1.2 选题的意义 高等数学是在初等数学的基础上发展起来的与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题高等数
9、学都给出了解答。因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法，从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学 教学内容密切相关，但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中己经解决，而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决 )等等。总之，应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究。 主要论述的高等数学
10、的方法有微积分方法、行列式、 Lagrange插值公式、 Laplace展开定理、线性方程组 的方法。 2 本论文运用高等数学的先进观点地分析和处理中学数学内容的问题，主要表现为以下三个方面：一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义：三是指出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。 我们知道，数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要的反映在数学思想方法的培养。事实上，我们说一个学生数学能力强 ，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要
11、说他有运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。对学生来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是数学能力的集中体现。在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加上传统的考试制度，所以出现了“高分低能 “的现象。要改变这种状态，就要狠抓数学思想方法的研究与教学。这样有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律。 3 2 初等数学和高等数学的关系 2.1 初等数学的概念 1 初等数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式
12、、公理、定理等数学的基本知识和基本技能 ；深层知识主要指数学思想和数学方法。 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。 那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学 知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高：反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整
13、个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。 在初等数学中，含有很多重要且基本的数学思想，如几何证明思想、记算思想、极限思想、随机思想、数学结构思想等。这些数学思想几乎包括了初等数学的所有内容；而且，结合学生得到思维能力和他门的实 际生活经验，这几种数学思想有可能被他们理解和掌握：在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。另外，这些思想对于学习高等数学来说，也是最基本且罩重要的。因此，在中学数学教学中，突出这些数学思想是很有必要的。 2.2 高等数学的概念 1 作为基础课的高等数学，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论
14、、解析几何、微分方程等六部分内容组成一个有机的统一体 。 其中极限论是基础，是高等数学活动的 “舞台 ”； 微分、积分是高等数学的核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上 揭示函数的有关局部性质，积分则是从宏观上揭示函数的有关整体性质，牛顿的微积分基本定理，在微分和积分之间起了桥梁作用；级数理论是研究解析函数的主要手段，无穷级数是从离散的侧面去揭示函数的有关性质，它既是表现函数的工具，又是用来进行计算的工具，广义积分又把无穷级数与积分的内容沟通起来了；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性状提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起
15、来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。因此 ， 高等数学内容结构大致4 可用框图这样给出： 图 1：高等数学内容结构 事实上，这个框图反映的高等数学内容，仅仅是高等数学体系的一部分，是师范生必学的内容，随着专业的不同，高等数学的内容将向不同的方向延拓，也将随着时代的发展和数学的发展而不断地注入新的数学思想、方法，如非标准分析、离散数学基本理论、模型思担等，使得高等数学的内容更具魅力。 2.3 初等数学和高等数学的关系 1 尽管高等数学的高度抽象性，使它与初等数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，高等数学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学， 变量数学的原型和特例又来自常量数学，而
16、数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中。初等数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多 (不是全部 )概念和理论的原型和特例所在因此，从高等数学观点来看初等数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与初等数学里相应的原型和特例联系起来这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握初等数学的本质和关键从而用高层次的眼光处理中学教材，用高等数学的思想方法指导初等数学教学，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题 思路，提高解题能力，大有裨益 高等数学研究问题的深度和广度极大丰富了学生的认识视野，不论是从有限还是从无限，从局部还是从整体，
17、从近似还是从精确等方面都渗透着丰富的辩证思想。例如曲边梯形面积、曲顶柱体体积问题在分割、求和、取极限过程中的以直代曲、以规则代替不规则的思想方法正是精确与不精确，有限与无限辩证关系的一种体现在教学中，深刻剖析内容结构中的这种对立统一、否定之否定、量变与质变矛盾转化关系，对提高学生的认识能力、优化思维能力有着很重要的作用。 微分方程 积分学 不定积分 微分学 定积分 极限理论 解析几何 级数理论 5 3 高等数学在初等数学中的应用 高等数学中有许多 方法可以和中学数学相沟通，有些可以适当迁移到中学数学中来。高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地去观察初等问题，帮助我们确定解题思路，有时还能够帮助
18、我们剖析某些问题的实质，寻求简捷的解法。中学数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、微分法、积分法、行列式法、向量法、概率法等，下面通过中学数学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用。 3.1 微积分方法的应用 3.1.1 微积分简介 微积分（ Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个 基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 3
19、.1.2 微积分的应用举例 利用导数求函数的极大 (小 )值，求函数在连续区间 a， b上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化。 例 1：已知 32f x a x b x c x a 0 在 x=1时取得极值，且 f(1)=-1 (1)试求常数 a、 b、 c的值； (2)试判断 x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 解： (1) 2f x 3 a x 2 b x c 因为 x=l是函数 f(x)的极值点， 所以 x=l是方程 f(x)=0，即 23ax 2bx c 0 的两根。 f(1)=0 即 3a 2b c 0
20、 f(-1)=0 即 3a 2b c 0 由根与系数的关 系，得 又 f(1)=-1，所以 a b c 1 ， 由 解得 a 1 b 0 c 1 ； ； ， 6 (2) 3f x x x， 所以 2f x x l x 1 x 1 当 x1时， f x 0 当 -1x1时， f x 0 所以函数 f(x)在 (-， -1)和 (1， +)上是增函数，在 (-l， 1)上是减函数。 因为当 x=-1时，函数取得极大值 f(-1)=l， 当 x=1时，函数取得极小值 f(1)=-l。 这样，我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值问题。 4 初等数学中 ,经常用不等式、配方等方法求极值。这些方法的
21、优点是学生熟悉 ,易于掌握。但这些方法往往有三个缺点 :一是技巧性要求较高 ,特别是对较复杂的问题 ;二是适用面较窄 ,只能解一些较特殊的问题 ;三是容易混淆极值和最值两个概念 ,遗漏了极值。用微积分方法求极值 ,有固定程序可循 ,技巧性要求低一些 ,适用面也广一些 ,极值和最值也容易区分。 例 2： 求 2y = c os x + c os x + 1 的极值。 解 ： 2 c o s s in s iny x x x , 令 0y ,得 sin (2 co s 1) 0xx 解得 sin 0x 或 1cos 2x ,由 sin 0x 可得 cos 1x 或 cos 1x . 因此 , 当 1cos 2x 时 , 得 34y 极 小; 当 cos 1x 时 , 得 3y 极 大 ; 当 cos 1x 时 , 得 1y 极 大 ; 此题若用配方法解 ,可得 213 (c o s ) ,24yx 当 1cos 2x 时 ,得 34y 极 小 ; 当 cos 1x 时 ,得 3y 极 大 ,但很容易遗漏 1.y 极 大 因为用求导法很容易判断函数的单调性 ,而不等式问题又常常可化为函数问题 ,故可用微积分法证明一些不等式。 例 3：求证 : xe 1 x x 0 . . 在中学中有很多需要比较大小的地方，我们一般采用的是二者相减 或者相除，但是上式我
