1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 复数域内的函数幂级数展开及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 复数域内的函数幂级数展开 是 表示函数与研究函数的有力工具。 本文首先介绍 复数项幂级数 的 概念 、基本性质和重要定理 ；其次， 归纳 将解析 函数展开为幂级数的几种常用方法，包括代换法、幂级数乘法、待定系数法等 ；最后，通过实例分析来熟悉 函数 幂级数展开在实际问题中 的具体应用 。 关键词 ： 解析函数；幂级数；直接展开；间接展开 Power Series Expansion of Function within A Comp
2、lex Field and Its Application Abstract： Power series expansion of function in the complex field is a powerful tool for representing the function and researching function. Firstly, concepts, basic properties and important theorems were introduced in this paper. Secondly, several common methods that m
3、ade analytic functions expanded into power series were introduced in the paper, including substitution method, the power series multiplication, undetermined coefficient method and so on. Finally, the application of power series expansion was analysed with examples. Key words： Analytic Function, Powe
4、r Series, Immediate Expansion, Indirect Expansion 目 录 1 引 言 . 1 2 复数项幂级数 . 3 2.1 幂级数 . 3 2.1.1 幂级数概念 . 3 2.1.2 幂级数的敛散性与收敛半径 . 3 2.1.3 幂 级数的运算性质 . 5 2.2 解析函数的泰勒级数 . 6 2.3 解析函数的洛朗级数 . 7 3 解析函数的幂级数表示法 . 8 3.1 直接展开法 . 8 3.2 间接展开法 . 9 3.3 实例分析 . 11 4 结束语 . 17 5 致 谢 . 错误 !未定义书签。 6 参考文献 . 18 1 1 引 言 在数学中，
5、幂级数 是一类形式简单而应用广泛的函数级数， 它结构简单 ， 通过幂级 数的展开式可以表示函数 ， 利用幂级数和函数的分析性质 ， 常常能够解决数学分析中很多疑难问题。 同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具，而 幂级数简单的结构形式和良好的性质也使之成为一种有效的计算工具 。 早在 14 世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。自 17 世纪初至 19 世纪末，幂级数展开问题成为一个非常活跃的研究领域。 1667 年，牛顿 (Isaac Newton， 1642-1
6、727)发现了 的无穷级数表达式，即圆径求周公式。英国数学家格雷戈里 (J Gregory， 1638-1675)发现了正弦和正矢的幂级数展开式。 1701 年，法国传教士杜德美 (P Jartoux， 1668-1720)来华，把这三个公式介绍给了中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成 (1681-1763)将其收入梅氏丛书辑要的附录赤水遗珍，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法” 。 其后明安图 (1692-1764)经过 30 余年的不懈努力，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另 外六个公式 .牛顿在 1666 年通过无穷级数逐项积分的方法，推导出 arcsinz 的幂级数展开式，而
7、在 1669 年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘 (Katahiro Takebe)，在 1722 年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。 1737年，欧拉 (L Euler， 1707-1783)在给伯努利 (J Bernoulli， 1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式。 1819 年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的割圆密率捷法第一卷抄本以后， “反复寻绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步 1。 函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点， 函数幂级数展开的研究之所以如此
8、重要，是因为它 在理论上和实际中都有 非常广泛的 应用 ， 巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚，达到良好的解题效果 。 许多专家学者都对函数幂级数展开的实际应用做了研究。 利用幂级数的重要性质，我们可以发现 函数幂级数展开在许多方面都有重要的应用，尤其在近似计算中， 例如 sinz 的值，通过其幂级数展开式，即 2101s i n 2 1 ! n nnzzzn ，无论 z 为何值都可以求出 sinz 的近似值。 另外， 函数幂级数展开还可以应用到求积分、求极限、推导欧拉公式
9、、求导数、组合概率计算等等。 复变函数中，我们对解析函数常常要通过将其展成幂级数来研究，因此复数域内的函数幂级数展开 是 复变函数论研究的重要课题。 函数展开为幂级数方法一般有两种：直接展开法和间接展开法。用直接展开法将函数展开成幂2 级数，工作量大，有时甚至是比较困难的，为了避免对余项的讨论，经常使用间接接展开法，巧妙地利用已知函数的展开式和幂级数的性质，常能化难为易，简化计算，收到事半功倍的效果。 而且展开一个函数并不是只能用一种方法，有时，一个函数既可分别用多种方法展开，也可以多种方法并用展开。 本文分 复数项幂级数和解析函数的幂级数表示法两个单元。在复数项幂级数部分，本文概述了幂级数的
10、概念、敛散性和基本运算性质，以及泰勒定理 和洛朗定理。在解析函数的幂级数表示法部分，通过查阅大量书籍和文献资料，主要 在前人的研究基础上 归纳总结了将解析函数展开成泰勒级数的一些常用方法，并通过实例分析介绍应用这些方法的解题过程。 3 2 复数项幂级数 幂级数作为研究解析函数的一个重要工具， 复变函数中，我们对解析函数常常要通过将其展成幂级数来研究，因此复数域内的函数幂级数展开是 复变函数论研究的重要课题。函数幂级数展开 在理论上和实际中都有 非常广泛的 应用 ， 它结构简单 ， 通过幂级数的展开式可以表示函数 ， 利用幂级数和函数的 分析性质 ， 常常能够解决数学分析中很多疑难问题 。因此
11、，首先要了解幂级数的一些基本性质。 本单元 介绍的 主要内容 就是复数项幂级数的基本概念、主要性质和重要定理。 2.1 幂级数 2.1.1 幂级数概念 设 ( ) 1, 2,nf z n 是一复变函数序列， ()nfz在 D 内有定义，则表达式 121 nnn f z f z f z f z 称为复变函数项级数； 12 nnS z f z f z f z 称为复变函数项级数 1nn fz的部分和。 对于 0zD，若 00lim nn f z S z存在，称级数 1nn fz在 0z 收敛， 0Sz 为它的和。若级数在 D 内处处收敛，则其和是 D 内的一个和函数 12 . nS z f z f
12、 z f z 20 0 1 0 2 0 00 nnnnn c z z c c z z c z z c z z 或 20 1 20 nnn c z c c z c z c z称为复变幂级数，简称幂级数 2。 2.1.2 幂级数的敛散性与收敛半径 1.阿贝尔 （ Abel） 定理 如果幂级数0nnn cz在 000z z z 收敛，则对满足 0zz的 z ，级数必绝对收敛。如果在 0zz级数发散，则对满足 0zz的 z ，级数必发散 2。 4 一个幂级数的收敛情况，可分为： （ 1） 在全平面处处收敛； （ 2） 仅在原点 0z 的 z 收敛； （ 3） 在以原点为中心的圆周 RC 内，级数绝对收
13、敛；在 RC 外，级数发散。 RC 称为收敛圆， RC的半径称为收敛半径。 2.收敛圆与收敛半径 对于一个形如 00 nnn c z z的幂级数， 0zz这一点总是收敛的。0zz时，可能有三种情况：第一种，任意的 0zz，级数 00 nnn c z z均发散；第二种，任意的 z ，级数 00 nnn c z z均收敛；第三种，存在一点 10zz，使 100 nnn c z z收敛，另外又存在一点 2z ，使 200 nnn c z z发散。在这种情况下，可以证明，存在一个有限正数 R ，使得 00 nnn c z z在圆周 0z z R 内部绝对收敛，在圆周 0z z R 的外部发散。 R 称
14、为此幂级数的收敛半径；圆 z a R和 圆周 z a R 分别称为它的收敛圆和收敛圆周。在第一种情形，约定 0R ；在第二种情形，约定R ，并也称它们为收敛半径。 收敛圆周上级数的敛散性，根据具体情况分析确定。 3.收敛半径 R 的求法 3-5 幂级数0nnn cz的收敛半径，常用以下三种方法： （ 1）比值法 如 果 1lim 0 nn ncc ，则收敛半径 1R 。 （ 2）根值法 如果 lim 0 n nn c，则收敛半径 1R。 （ 3）柯西 -哈达玛（ Cauchy-Hadamard）法 如果 lim n nn c，则收敛半径 1R。 limn称 n 时的上极限。 若 0 ，则 R
15、；若 ，则 0R 。 5 2.1.3 幂级数的运算性质 1.代数运算性质 设 1200, , , nnnnf z a z R r g z b z R r，令 12min , r r ， 则当 zR时， 0 0 0 n n nn n n nn n nf z g z a z b z a b z（线性运算）， 0 1 00 0 0 n n nn n n nn n nf z g z a z b z a b a b a b z（乘积运算）。 2.复合运算性质 如果当 zR时， 0nnnf z a z；又在 zR时， gz解析且满足 g z r ，则当 zR时，有 0 nnnf g z a g z。 3.
16、分析运算性质 设幂级数 00 nnn c z z的收敛半径为 R ， 则（ 1）幂级数的和函数 0nnnf z c z a是收敛圆 z a R 内的解析函数； （ 2）和函数 0nnnf z c z a在收敛圆内逐项可导，即 11 nnnf z n c z a； （ 3）和函数 0nnnf z c z a在收敛圆内逐项可积，即 0 , nnCC nf z d z c z a d z C z a R， 或 10 1 z nna ncf d z an。 6 2.2 解析函数的泰勒级数 1. 泰勒定理 设 fz是区域 D内的解析函数， 0zD，若 d 为 0z 到 D 的边界上各点的最短距离，则在圆
17、域 0: K z z d 内，必有 00nnnf z c z z，其中 01 0 ,1, 2 ,!nnc f z nn。式中级数称为 fz在 0z 的泰勒级数。当 0 0z 时，级数称为麦克劳林级数。 注：（ 1）解析函数泰勒展式的唯一性：任何解析函数展开成幂级数必定是它的泰勒级数； （ 2）解析函数的泰勒级数的收敛半径 R 至少等于 d ，即 Rd； （ 3） 设 fz在 0z 解析，则 fz在 0z 的泰勒级数的收敛半径等于 0z 到 fz的距 0z 最近一个奇点 的距离，即 Rz6-8。 2. 函数 fz在 0z 解析的充分必要条件是 fz在 0z 的某邻域可展开为幂级数。函数 fz在D
18、 内解析的充分必要条件是 fz在 D 内任一点的某邻域可展开为幂级数。 3. 一些初等函数的泰勒展开式 2 01 111 nnnz z z z zz ； 2 01 1 1 1 11 nnnnnz z z z zz ； 2 01 2 ! ! ! nnz nz z ze z z； 22 4 6011 1 1c o s 2 ! 4 ! 6 ! 2 ! n nnzz z z z z zn； 213 5 7011 1 1s i n 3 ! 5! 7 ! 2 1 ! n nnzz z z z z zn； 23l n 1 1 123 nnz z zz z zn； 2 01 1 1 11 n nn n z zz； 3 011 2 1 121 nn n n z zz；
