1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 古典概型问题及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 古典概型是一种最常见的概率模型 ,在经济和日常生活中有着广泛的应用 .本文简略地综述了概率论的发展史 ,归纳了古典概型的条件和计算方法 .例举了 古典概率在日常生活的中的各种应用 .对求解古典概型问题的解题方法进行了总结 .文中还利用古典概型的解题思路举了一些几何概率问题。这样的做法，有利于拓宽知识面，扩大理论的适用范围，同时能加深对古典概型的掌握程度。 关键词： 古典概型；古典算法；应用；几何概率 2 Classical Probabilit
2、y Model and Its Application Abstract: Classical probability model is one of the most common probability model of economic and everyday life in a wide range of applications. This paper briefly reviews the development history, summarizes the probability of classical probability model conditions and ca
3、lculation method of classical probability. Enumerated in the daily life of the various applications. The probability model of solving the problem of classical solution method. The paper also summarizes using classical probability model trains of thoughts for some geometric probability problem. This
4、practice, widens the theory of knowledge, expand the scope of, also can deepen master degree of the classical probability model. Keywords: classical probability model; Classical algorithms; Application; Geometric probability 3 目 录 1 概率论的发展过程 . 1 1.1 序言 . 2 1.2 概率的概念 . 2 2 古典概型的例题分析 . 4 2.1 古典精典例题 .
5、4 2.1.1 点数问题 . 4 2.1.2 排列组合知识 . 4 2.1.3 古典概型的两个实际模型 . 7 2.1.4 古典概型重难点分析 . 8 2.2 几何概率问题 . 14 2.2.1 蒲丰投针 . 14 2.2.2 几何概率例题 . 15 3 古典概型应用举例 . 18 3.1 古典概型在生活中的应用 . 19 3.2 古典概型在经济中的应用 . 20 3.3 古典概型在其它领域中的应用 . 21 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 1 1 概率论的发展过程 17 世纪，随着资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，一个以解析几何和微积分为标志的数学时代诞生了。但是
6、人们已不满足于对现实世界中的必然现象及其规律的研究，转而投向对偶然现象的研究。 最早研究概率的，可能要算十六世纪意大利数学和医学教授卡尔达诺，他天资聪明，有着有趣而丰富的经历。在一生 中超过 40 年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。最终，在一本名叫机会性游戏手册的书中，他公布了调查和思考的结果和关于赌博实践的体会。这本书写于 1526 年左右，但一直到一百多年后的 1663 年才出版 1。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。从书中可以看到关于骰子的问题由经验向理论
7、概率思想的第一次转变。从这一角度来讲，概率论这一数学分支应当以此作为起点，但是这种观点并未得到广泛的认 可 .。 数学史学家大多赞同这样一个观点：“点数问题”的解法的探讨成为数学化概率学科产生的标志之一。在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为概率论的起始标志。惠更斯知道这个“点数问题”后，也加入讨论并将他的解法写入论赌博中的计算一书，这是概率论最早的论著。 十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事过概率的研究。伯努利的巨著猜度术就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推进。 十八世纪，法国的布丰在概率算术试验中导入“投针问题
8、”，用 频率来近似地代替概率，可以完全不借助几何知识和方法，求出“ ”的结果。 十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的经典著作分析概率论总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。 到二十世纪 30 年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理体系，影响颇大。 2 1.1 序言 其实，偶然现象在生活中早已大量存在。只是限于当时的 科学技术和生产力的发展水平，人们没有足够多的能力对偶然现象作深入研究，其规律对
9、人们生产生活的意义不大。由于科学理论的发展，对偶然现象研究的需要成为必然趋势。 下面我们来看一个偶然现象。我们都玩过抛掷硬币的游戏。每抛一次硬币，正反面的出现都有可能，我们不能断定究竟出现哪种情况。历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果如文 1所给下表： 实验者 抛硬币次数 出现正面次数 频率 德莫根 (De Morgan) 2048 1061 0.5181 蒲丰 (Buffon) 4040 2048 0.5069 费勒 (Feller) 10000 4979 0.4979 皮尔逊 (Peason) 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 （注：在 n
10、次重复试验中，记 n(A)为事件 A 出现的次数，称 n(A) n 为事件 A 出现的频率） 由上表知，当试验的次数足够多时，出现正面的频率逐渐稳定在 0.5.这时我们就说出现正面的概率为 0.5.。这是用频率的方法确定的概率。通常，我们就用概率值来表示相应事件出现的可能性的大小。 我们可以这样来理解概率值的意义。它表示在每次试验中，某一事件出现的平均次数。 如对于抛硬币试验，概率值 0.5 表示在每次试验中出现正面的平均次数是 0.5，即每进行两次试验，平均有一次出现正面。需要一提是，我们要理解“平均”二字的含义，并不是在两次试验中都有一次出现正面，这在试验中就可以直接得到验证。 以上我们所
11、讨论的偶然现象是大量可重复的。对于不能大量重复的偶然现象，我们通常用主观方法给出其概率，其值规定在 0 到 1 之间。此外，我们还规定必然现象的概率为 1，不可能现象的概率为 0，结合上述对概率的理解，其规定具有合理性。这样，我们把概率的适用范围推广到了一般性现象。 在实际运用当中，尽管有些 现象具有大量可重复性，但我们一般不盲目地作重复试验，而是将某些现象归为某类概率模型，将概率求解公式化。其模型我们往后加以阐述。 1.2 概率的概念 下面我们给出概率的公理化定义： 设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件，定义3 在上的一个实值函数 P(A)满足： （ 1） 非负性公
12、理 若，则 P(A) 0； （ 2） 正则性公理 P( )=1； （ 3） 可列可加性公理 若 A1,A2,An, 互不相容，有 P(1iAi)= 1iP(Ai) 则称 P(A)为事件的概率。 一个概率模型称为是古典概型的，若满足： （ 1） 设所涉及的偶然现象只有有限个样本点，譬如为 n 个。 （ 2） 每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）。 若事件 A 含有 k 个样本点，我们可以这样来考虑它的概率：若 n=2,相应的两个样本点记为 A,B,则 A 与 B 必定有一个发生，即 P(A B)=1,但 A 与 B 不可能同时发生，要么 A 发生，要么 B 发生，由概率的意义，在一次试验中
13、， A 平均出现 P(A)次， B 平均出现 P(B)次， A, B 一共平均出现 P(A)+ P(B)次，而这正是 P(A B)表示的意义，于是 P(A B)= P(A)+ P(B)。由数学归纳法， n 可以是任意正整数。于是我们知道每个样本点的概率为 1 n。再由概率的意义易知问题的答案为 k n。 一个概率模型称为是几何概型的，若满足： （！） 如果一个偶然现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用 S 表示。 （ 2）任意一点落在相同的子区域内是等可能的 对任意在中度量为 AS 的事件，我们可以这样来考虑它的概 率：用尽可能小的正方形对区域作分割，并视每一个小正方
14、形为一个样本点。这样，我们就将几何概率问题转化为我们已熟悉的古典概型问题。再运用分割加细，逐步逼近的思想，可知所求概率为 AS S 。 两类模型之间的联系：事件所含的样本点都是等可能的，古典概型所含的样本点必须是有限个，而几何概率所含的样本点可以是无穷多个，且可以随一个或两个变量的连续变化而发生连续的变化，便于建系构图。两类模型之间没有从属关系。 不难验证：无论是用频率方法确定的 概率，还是上述两类模型的概率表示式，都满足概率的公理化定义，是切实有效的。 4 2 古典概型的例题分析 在本章中，我们先具体阐述前所提及的“点数问题”，以体会实际问题在概率论发展早期的背景反映，排列组合知识也在此得到
15、释疑，有了这些预备工作，分析解答古典概型的相关例题就较为容易上手了。 2.1 古典精典例题 2.1.1 点数问题 1653 年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累，为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样 的：一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了 32 个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个 4 点，或其赌友先掷出三个 4 点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次 6 点，其赌友掷出一次 4 点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就收回各自的赌注又
16、不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这 64 个金币。这下可把他难住了。赌友说，虽然只需再碰上一次 6 点就赢了，但他若再碰上两次 4 点，也就赢了。所以他分得的金币应是梅累的一半，即 64 个金币的三分之一。梅累不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出 一个 4 点，他还可以分得赌；金的二分之一，即 32 个；再加上下次他还有一半希望得 6 点，这样，又可以分得 16 个金币，所以他至少应得 64 个金币的四分之三，谁是谁非，争论不休，其结果也就不得而知了。不过梅累对于此事却一直耿耿于怀。所以，当他碰到大名赫赫的帕斯卡，就迫不及待地向他教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住了他了。虽然经过了
17、长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。 1654 年，帕斯卡不得不写信给他的好友费马，和他展开讨论，在与费马的通信中，帕斯卡认为，梅累的分法是正确的。他用组合知识解决了这一问题。其方法 是：假设甲、乙二人约定，谁先得 S 份即为赢家。若中断赌局时，甲积 a(S)分，乙积 b(S)分，则令m=S-a,n=S-b,则甲、乙二人应分赌金之比为 （ 0 1nmC 1 1nmC 11nnmC ） /( 0 1nmC 1 1nmC 11mnmC ) 其中涉及排列组合问题，以下将详述。 2.1.2 排列 组合知识 古典概型问题经常涉及到我们所学过的排列和组合的应用题。排列和组合的应用题又是高中数学中的一个
18、难点，是初等代数中较为独特的内容，它研究的对象以及研究问题的方法与旧知识联系5 的少，且内容比较抽象。因此在教学中要注重培养学生的逻辑思维能力。古典概型的知识与排列组合的联系十分紧密，许多考查的内容都是排列组合知识的进一步应用。因此，如何应用排列组合知识解决古典概型问题是我们高中数学教学的一个重点。而古典概型公式中的 n、 m 与排列、组合应用题中的排列数或组合数有着紧密的联系，古典概型只是进一步去求得它们之间的比值 。因此，我们要学好这一类型的概率，首先得弄清这一类型的应用题是属于排列还是属于组合或者两者兼之的问题。然后再进一步加以讨论求出 n 和 m 的值。我们就以下三个方面阐述排列、组合
19、在古典概型中的应用。 一、排列问题的概率 我们在学习古典概型时研究的问题几乎都是建模题。它是考查学生语言理解的能力，要求学生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流，而学生对此类问题的掌握相对不好。因此，我们在教学中要从理解概念入手。排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部进行排列或组 合，共有多少种方法的问题。而排列问题是与顺序有关的。因此求其概率时，如果遇到与顺序有关系的问题，应了解 m、 n 与排列数是怎样的关系，然后利用古典概型的公式解答。 例 1、本班数学兴趣小组有 5 名男同学， 3 名女同学。求下列事件的概率。 (1)8 人
20、排成一队，其中甲必须站在排头的概率 ? (2)8 人排成一队，其中甲不能站在排头与排尾的概率 ? (3)8 人排成一队，其中任何两名女同学都不能相邻的概率 ? 分析：此题是关于古典概型中的排列问题。所有基本事件的总数是 8 人，全排列，即 n=A88；而某事件包含的基本事件总数也是排列问题 ，它是三种情形下的各自排法的总数。 (1)题 m= 77A n= 88A P(A)=8877AA=81 (2)题中的 m 是在 (1)的基础上加深一步，可分两种方法来求。第一种解法： 8 人全排列中扣除甲站在排头与排尾的情况，即 m= 88A -2 77A 。第二种解法：甲在中间 6 个空位中任选一个，其余
21、 7人 全排列。即 m= 16A 77A 。两种解法所得甲不能站在排头与非尾的概率都是 P(B)= 43 。 (3)题中 m 的求法，应利用插空法分两步来求得。首先是把 5 个男生排成 排有 55A 种，这时有6 个间隙，再把 3 个女生插入这 6 个间隙里有 36A 种，即 m= 55A 36A 。所以可得任何两名女同学都6 不能相邻的概率 P(C)=883655AAA= 145 。 二、组合问题的概率 组合问题与排列问题之间的主要区别在于是否考虑所选元素的顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，而组合是与顺序无关的。我们在解题中要让学生明白组合数的求法，然后考虑古典概型
22、中的 n、 m 是怎样来求得的。 例 2、甲、乙两人参加普法知识竟赛答题，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4道，两人依次各抽一道，试求： (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少 ? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ? 分析：此题是关于古典概型中的组合问题。 (1)甲从选择题中抽到一题的可能结果是 16C 个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是 14C 个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的结果是 16C 14C 个，即m= 16C 14C 。又甲、乙依次抽一题的可能结果有 110C 19C 个，即 n= 110C 19C 。所以甲抽到选择题，乙抽到判断
23、题的概率是 P(A)=191101416CCCC=。 (2)此题有两种解法： 解法一：用直接法，甲、乙两人中至少有一人抽到选择题可分为三类情形，甲抽到乙没抽到，乙抽到甲没抽到，或甲、乙都抽到，即 m=2 16C 14C + 16C 15C ，而 n= 110C 19C 。所以甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 P(B)= 19110151614162CC CCCC =1513 。 解法二：用间接法，甲、乙两人依次都抽到判断题的所有可能情况为 14C 13C ，则m= 110C 19C - 14C 13C ，而 n= 110C 19C 。故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是P(B)=19110131419110CC CCCC =1513 。 三、排列与组合综合问题的概率 解决古典概型应用题时，往 往许多问题不可能是单纯的排列或组合问题，而是排列与组合综合问题。这样对学生来讲难度加大了。我们在教学中可先让学生按处理排列组合综合应用题的一般方法求得 n 与 m 的值，即先选元素 (组合 )，后排元素 (排列 )，并按元素的性质“分类”和按事件发生
