关于拓扑空间连通性的研究　【毕业论文】.doc

1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 关于拓扑空间连通性的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 本文介绍了一般拓扑空间的概念及几个基本性质，还介绍了一般拓扑空间的连通性、几个连通空间之间的关系，连通性的简单运用，除了一般拓扑空 间外，本文也介绍了 L 拓扑空间的基本概念以及 L 拓扑空间中的连通性，如 连通性 . 关键词 ： 一般 拓扑空间；连通性； L 拓扑空间； 连通性； About the Research of the Topological Space Connectivity Abstract： This paper in

2、troduces the topological spaces and some basic properties， then introduces the connectedness in topological spaces and their relations， and also this paper introduces the L-topological spaces and some other connectedness , like -connectedness in L-topological space . Keywords: topological spaces; L-

3、topological spaces; connectedness;-connectedness;. 目 录 1 前 言 . 1 1.1 发展概要 . 1 1.2 论文结构 . 1 2 拓扑空间与基本性质 . 3 2.1 拓扑空间 . 3 2.2 拓扑空间的几个基本性质 . 3 3 连通性 . 5 3.1 连通空间 . 5 3.2 连通分支 . 6 3.3 局部连通空间 . 7 3.4 道路连通空间 . 7 3.5 各类连通空间之间的关系 . 8 3.6 连通性的简单运用 . 9 4 L 拓扑空间的连通性 . 11 4.1 L 拓扑空间及其连通性 . 11 4.2 连通性与 连通分支 . 12

4、 5 总 结 . 15 6 致 谢 . 错误 !未定义书签。 7 参考文献 . 15 1 1 前 言 1.1 发展概要 一般拓扑学从 19 世纪成为一个独立的科学分支至 今已经历了一百多年的发展历史虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是 20 世纪 40 年代到 70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善 . 由于许多数学分支的活动范围早已突破了欧氏空间的限制，甚至也超出了度量空间的领域，拓扑学作为这些数学分支的基础，必须研究更加一般的空间 .现在就需要一种能用来刻画拓扑性质的新的空间结构，以替代欧氏结构和度量结构

5、 .而这种新结构就是所谓的拓扑结构 . 格上拓扑学将拓扑结构、序结构相互结合，融为一体，它有两个比 较的研究分支： Local理论和 L 拓扑学 .Local 理论的特点是无点式的，其论证常常是构造性的而不是诉诸于选择公里，具有很浓的构造色彩 . L 拓扑空间的研究从 1968年 C.L.Chang1提出 Fuzzy拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有 30多年 .在这 30多年中，它的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同于一般拓扑学的特点、风格 . 在 L 拓扑学发展的初期，一部分学者沿用无点式方法，也曾获得过许多漂亮而有创造性的结果，其中以 C K

6、Wong2的局部化及 B button3,4一致化研究尤为突出但是，由于其研究工作不涉及点，不可避免的会有许多局限性如对局部性质的讨论、对 Moore-Smith收敛理论的建立以及嵌入理论的研究等都难以展开 事实上，在 XL 中自然存在一种“点”，即所谓的 fuzzy点因此在 L 拓扑学发展的 初期，许多学者都力图沿着有点式方向工作，他们沿用一般拓扑学中的邻域方法来研究 L 拓扑，但在相当长的时间内无大的进展 1977 年刘应明院士在 5分析了 C K Wong 的 Fuzzy 点及其邻域系理论的弊端以后，修改了 Fuzzy 点及其对一个 Fuzzy集的从属关系，首次打破传统的属于关系和邻域方

7、法，引入了“重于”这一新的 Fuzzy点和 Fuzzy集之间的从属关系，这样的“重于”关系满足一条基本原则 择一原则 6，相应地，引入了“重域”的概念，从而为 L 拓扑学的点式处理打开了大门随后，王国俊教授引入了“远域”的概念，沿着这一方向，有点式 L 拓扑学的研究取得了很大进展，获得了丰富多彩的成果到目前为止， L 拓扑学已成为较为成熟且完整的学科 (国内外已有这方面的多部著作，参见文献 7,8,9,10等 ) 1.2 论文结构 本文以一般拓扑空间的概念为基础，进而介绍一般拓扑空间的几个基本性质及其几个连通空间之间的关系， 再而介绍了 L 拓扑空间的基本概念，连通性，最后介绍了 L 拓扑空间

8、的 连通2 性 .本文主要内容安排如下： 第一章 对于拓扑学的发展概要的综述，内容安排 . 第二章 给出拓扑空间的概念及几个基本性质，也给出了第三章将要用的一些概念、符号和结果 . 第三章 介绍了一般拓扑空间的几种连通性 ,几个连通空间之间的关系及连通性的简单运用 . 第四章 介绍了 L 拓扑空间的概念及其连通性， 最后也介绍了 L 拓扑空间的 连通性 . 3 2 拓扑空间与基本性质 2.1 拓扑空间 定义 2.1.111 设 X 是一个集合 , X 的一个子集族 称为 X 的一个拓扑如果它满足 (1) ,X 都包含在 中 ； (2) 中 任意 多个成员 的 并集 仍 在 中 ； (3) 中有

9、限多个成员 的 交 集 仍 在 中 . 集合 X 和它的一个拓扑 一起称为一个拓扑空间，记作 ,X 集合 X 是一个相对于拓扑 而言的拓扑空间；或者当拓扑 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，称集合 X 是一个拓扑空间此外 中的成员叫做拓扑空间 ,X (或 X )中的一个开集 . 定义 2.1.2 设 ,X 是一个拓扑空问， xX 如果 U 是 X 的一个子集，满足条件 :存在一个开集 V 使得 x V U ，则称 U 是点 x 的一个邻域点 x 的所有邻域构成的 X 的子集族称为点 x 的邻域系 定义 2.1.3 设 XY和 是两个拓扑空间， ,f X Y x X： .如果 f x Y

10、的每一个邻域 U的原像 1fU 是 xX 的一个邻域，则称映射 f 是一个在点 x 处连续的映射，或简称映射 f 在点 x 处连续 . 定理 2.1.1 设 XY和 是两个拓扑空间 ， f X Y： ，则映射 f 连续当且仅当对于每一个点xX ，映射 f 在点 x 处连续 定义 2.1.412 如果 f X Y： 是一一对应，并且 f 及其逆 1 :f Y X 都是连续的，则称 f是一个同胚映射，或简称同胚 . 两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是 同胚的 .从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的 . 2.2 拓扑空间的基本性质及相关概念 定义 2.2.1 拓扑空间 X 的一个子集

11、 A 称为闭集，如果 cA 是开集 . 也就是说，闭集就是开集的余集 .反过来 开集一定是一个开集的余集 .例如说离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集 . 命题 2.2.1 拓扑空间的闭集满足： 4 （ 1） X 和 都是闭集； （ 2）任意多个闭集的交集是闭集； （ 3）有限个闭集的并集是闭集 . 定义 2.2.2 设 ,X 是一个拓扑空问， xX 如果 U 是 X 的一个子集，满足条件 :存在一个开集 V 使得 x V U ，则称 U 是点 x 的一个邻域点 x 的所有邻域构成的 X 的子集族称为点 x 的邻域系易见，如果 U 是包含着点 x 的一个开集，那么它一定是

12、x 的 个邻域，于是我们称 U 是点 x 的一个开邻域 定理 2.2.1 拓扑空间 X 的一个子集 U 是开集的充分必要条件是 U 是它的每一点的邻域，即只要 x U U ， 便是 x 的一个邻域 . 定义 2.2.3 规定 A 的子集族 :A U A UI.易验证 A 是 A 上的 一个拓扑，称 导出A 上的子空间拓扑，称 , AA 和 ,X 的子空间 . 以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间 . 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个 子空间拓扑 ，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。 拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，在同胚映射下保持不变的性质叫拓扑

13、性质 .拓扑空间中的基本性质：分离性、可数性、紧致性和连通性 .分离性中有四个常用的分离公理 1T 、2T 、 3T 和 4T 公理，而可数公理 有两个： 第一可数公理 1C ， 第二可数公理 2C .而 在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力 .有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且一致连续的 .在证明这些结论时用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列 .这种性质后来称为“列紧性”（子列紧），它可以一字不改地推广到拓扑空间中 (详细内容参见文献 11、 12、 13). 5 3 连通性 3.1 连通空间 定义 3.1.1 设 A 和 B 是

14、拓扑空间 X 中的两个子集 .如果 A B B A I U I ，则称子集A 和 B 是隔离的 . 明显地，定义中的条件等价于 AB I 和 BA I 同时成立，也就是说 A 和 B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点 . 定义 3.1.2 设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中有两个非空的隔离子集 A 和 B 使得X A B ，则称 X 是一个不连通空间；否则，则称 X 是一个连通空间 . 定理 3.1.1 设 X 是一个拓扑空间，则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间； (2) X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 =ABI 和 A B XU 成立； (3) X

15、 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 =ABI 和 A B XU 成立； (4) X 中存在着一个既开又闭的非空真子集 . 定义 3.1.3 设 Y 是拓扑空间 X 中的一个子集 .如果 Y 作为 X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是 X 的一个连通子 集；否则，称 Y 是 X 的一个不连通子集 . 拓扑空间 X 的子集 Y 是否是连通，按照定义只与子空间 Y 的拓扑有关 .因此，如果Y Z X ，则 Y 是 X 的连通子集，当且仅当 Y 是 Z 的连通子集 . 定理 3.1.2 设 Y 是拓扑空间 X 中的一个子集， ,AB Y ，则 A 和 B 是子空间 Y 中的隔离子集当且仅当

16、它们是拓扑空间 X 中的隔离子集 . 因此， Y 是 X 的一个不连通子集当且仅当存在 X 中的两个非空隔离子集 A 和 B 使得A B YU . 定理 3.1.3 设 Y 是拓扑空间 X 中的一个连通子集， ZX 满足 Y Z Y,则 Z也是 X 的一个连通子集 . 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的像所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质 .由于同胚是连续 的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变的性质 . 以下定理 3.1.4指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持6 不变的性质，因此，它是拓

17、扑不变性质 . 定理 3.1.4 设 f X Y： 是从连通空间 X 到拓扑空间 Y 的一个连续映射，则 fX是 Y 的一 个连通子集 . 3.2 连通分支 一个拓扑空间是否连通给可以给我们处理一些问题带来很大的方便，这就导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支） . 定义 3.2.1 设 X 是一个拓扑空间， ,xy X .如果 X 中有一个连通子集同时包含 x 和 y ，我们则称点 x 和 y 是连通的 . 根据定义 3.2.1可见，如果 ,xyz 都是拓扑空间 X 中的点，则 （ 1） x 和 x 连通（因为每一个单点集都是连通子集）； （ 2）如

18、果 x 和 y 连通，则 y 和 x 也连通； （ 3）如果 x 和 y 连通，并且 y 和 z 连通，则 x 和 z 连通 . 以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系 . 定义 3.2.2 设 X 是一个拓扑空间，对于 X 中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间 X 的一个连通分支 . 如果 Y 是拓扑空间 X 的一个子集 . Y 作为 X 的子空间的每一个连通分支称为 X 的子集 Y 的一个连通分支 . 拓扑空间 X 的每一个连通分支都不是空集； X 的不同的连通分支无交；以及 X 的所有连通分支之并便是 X 本 身 .此外， ,xy X 属于 X 的同一个连通分支当且仅当 x 和 y 连通 . 拓扑空间 X 的子集 A 中的两个点 x 和 y 属于 A 的同一连通分支当且仅当 A 有一个连通子集同时包含点 x 和 y . 定理 3.2.1 设 X 是一个拓扑空间， C 是拓扑空间 X 的一个连通分支，则 （ 1） 如果 Y 是 X 的一个连通子集，并且 YCI ，则 YC ； （ 2） C 是一个连通子集； （ 3） C 是一个闭集 . 本定理中的条件（ 1）和（ 2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是 X 的一个最大连通子集 .