1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 关于中学数学教学方法改革的几点思考 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要： 中国教育改革发展纲要确立了教育应由“应试教育”向“素质教育”转轨的教育思想，其中培养学生的创新精神和实践能力是素质教育 的核心。在基础教育中，对于数学这样一门有广泛应用性的基础性学科，如何整体把握数学的精神，注意数学思想方法的渗透，提高学生的能力与素质是中学数学教育研究的一个重要课题。本文首先介绍了中学数学教学改革的历史背景、现状及发展趋势，接着从数学知识系统的结构特点、数学的认识论特点和数学发展的历史学特点出发，概括中学数学
2、思想方法的基本理论，包括它的涵义、基本框架、常见的数学思想方法，然后归纳出学生学习数学思想方法的三个阶段，最后，在教材的理解，教学的实施以及学生的培养等方面进行积极探索，总结出中学数学思想方法的教学策略 。 关键词： 数学思想方法渗透；教学策略 II Several Ponders About the Reform of Middle School Mathematics Teaching Methods Abstract： “The Educational Reform and Development Outline of China“ established the ideology of
3、 education that we should transform the “Examination-oriented education system“ to “Quality education system“, and the core of “Quality education system“ is to foster the spirit of innovation and practical ability of the students. In the fundamental education, mathematics is a widely applied subject
4、. How to grasp the spirit of math entirely, how to pay attention to the mathematical thinking methods and how to improve the ability and quality of the students is an important problem in the study of math teaching in middle school. Here we firstly introduce the history background of middle school m
5、athematics teaching reform, the current situation and the development trend of it. And then summarize the basic theory of middle school mathematics teaching reform by means of the structure characteristic of math system, the traits of the theory of knowing it and the historical traits of its develop
6、ment. This theory includes the meaning of math thinking method, the basic form and the frequently used methods. After this, we conclude three progresses when students learn the math thinking method. In the end, we explore actively from the aspects that how to deal with the textbook, how to give a cl
7、ass and how to educate students, and eventually give some teaching strategy of middle school mathematics thinking methods. Key words: Penetration of mathematical thinking; Teaching strategy. III 目 录 1 引 言 . - 1 - 1.1 知识和思想的有效性 . - 1 - 1.2 历史经验和现实背景 . - 1 - 1.3 全面推进素质教育的需要 . - 1 - 2 中学数学思想方法的基本理论 . -
8、 3 - 2.1 数学思想方法的涵义 . - 3 - 2.2 数学思想方法的基本框架 . - 3 - 2.2.1 基元与整体 . - 3 - 2.2.2 转化与整合 . - 4 - 2.2.3 扩张与因袭 . - 4 - 3 中学数学中常见的数学思想方法 . - 6 - 3.1 方程思想 . - 6 - 3.2 类分思想 . - 7 - 3.3 函数思想 . - 8 - 3.4 数形结合思想 . - 9 - 4 数学思想方法教学 . - 11 - 4.1 学生学习数学思想方法的三个阶段 . - 11 - 4.1.1 形成模仿阶段 . - 11 - 4.1.2 初步形成和运用阶段 . - 11
9、- 4.1.3 数学思想方法的自觉应用阶段 . - 11 - 4.2 数学思想方法的教学途径 . - 11 - 4.2.1 深入钻研教材，充分挖掘数学思想方法 . - 12 - 4.2.2 在教学中加强数学思想方法的渗透和训练 . - 12 - 4.2.3 在教学中渗透数学思想方法应该注意的问题 . - 13 - 5 数形结合数学思想方法的教学案例 . - 15 - 6 总结 . - 23 - 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . - 24 - - 1 - 1 引 言 1.1 知识和思想的有效性 日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在初
10、中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学 ，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。” 知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”。（ 日 米山国藏 .数学的精神、思想和方法 .四川教育出版社， 1986.） 在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而不是具体数学知识。 正如数学家乔治 波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”（ 美 G.波利亚数学的发规科
11、学出版社 ， 1982.）因此，就数学教学而言，“知识诚可贵，思想价更高”。 1.2 历史经验和现实背景 纵观世界各国数学教育的改革与发展状况，在汲取经验和教训的基础上，对“数学教育现代化”的观念、理解也更加全面，数学教育现代化，不仅仅是教学内容的现代化，而且是数学思想、数学方法、手段的现代化，更是人的现代化。随着数学教育的不断发展，人们越来越认识到数学思想方法是数学基础知识的一部分，数学思想方法的教学是数学教学的重要内容。 中国教育改革发展纲要确立了教育应由“应试教育”向“素质教育”转轨的教育思想，其中培养学生 的创新精神和实践能力是素质教育的核心。在基础教育中，对于数学这样一门有广泛应用性
12、的基础性学科，如何整体把握数学的精神，注意数学思想方法的渗透，提高学生的能力与素质是中学数学教育研究的一个重要课题。新的数学课程标准（实验）明确提出来，把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分 ,这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现 , 也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。 1.3 全面推进素质教育的需要 全面推进素质教育是当前我国教育变革的一项紧迫任务。数学教学应如何适应当前素质教育的需要，是摆在每位数学教育 工作者面前的一项重要任务。从高考试题来看，它重在考查学生对知- 2 - 识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。它着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，
13、活而不难；着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。这是和素质教育相一致的。但是长期以来，由于受一些传统观念的束缚，数学教育仅侧重于学习现成的知识结论、技巧和技法，而忽视了学科的基本精神、数学的基本态度和基本方法的培训与训练，忽视了学生未来发展的需要，从而降低了教育教学的质量和效益。高考试题的这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用 ，整体把握各部分知识的内在联系。只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生解题水平和应试能力。同时我们应该使学生在学到数学知识的同时也学到数学思想方法，在以后的生活、工作中都可以随时随地用它们去解决问题，这样在
14、培养智力的同时也培养了能力，更有利于素质教育的开展。 那么，教师如何在具体的课堂教学实践中渗透数学思想方法应该是值得进行研究的课题。 - 3 - 2 中学数学思想方法的基本理论 2.1 数学思想方法的涵义 数学思想是指人类对数学对象及其研 究的本质及规律性的认识，它是在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。 数学方法是指从数学提出问题、解决问题的过程中得到的概括性的策略。数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的技术手段和工具。“方法”是指向“实践”的，是理论用于实践的中介。 数学方法的运用、实施与数学思想的概括、提炼是并行不悖，相互为用，互为
15、表里的。 数学方法受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；而数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现形式内隐。数学思想往往 带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。数学中用到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想要靠数学方法去实现。当我们强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。 鉴于中学数学中解题方法与数学思想的这种特殊关系，以及从数学方法论的角度来考虑既同一又有差异或没有明确界限的数学思想和数学方法时，我们在中学数学教学中一般笼统使用“数学思想方法”一词。 2.2 数学思想方法的基本框架 数学思想，数学方法有着不同的层次划分。有人把数
16、学思想分为三个层次，即数学核心思想，一般数学思想以及具体思想。张 奠宙等的数学方法论稿将数学方法分为以下四个层次：一是基本和重大的数学思想方法，二是与一般科学方法相应的数学方法，三是数学中特有的方法，四是中学数学中的解题方法与技巧。张国栋、李建华在他们的数学思想与数学教育中从数学知识系统的结构特点、数学的认识论特点和数学发展的历史学特点出发，提出了基元与整体、转化与整合、扩张与因袭的数学思想的基本框架。这个基本框架对于我们更加全面、深刻地认识和理解数学思想方法，进而建立科学的数学教育观应该是有帮助的。 2.2.1 基元与整体 “基元”是指基本的独立存在物，基元是 构成整体的要素，也是认识整体的
17、基础。系统或结构中主要有两种基元，一种是决定系统或结构本质属性的单位基元，另一种是决定系统或结构组织特- 4 - 征的构造基元。比如 1，三角形，基本初等函数等是单位基元，全体自然数的构造，多边形的三角剖分，基本初等函数的代数运算与复合运算是构造基元。单位基元具有根基性、归纳性、特殊性和具体性的特点，构造基元具有发展性、演绎性、一般性和抽象性的特点。两种类型的基元构成数学系统或结构的基本研究范式，体现出数学知识系统的结构性特点。 基元与整体思想揭示了数学知识系统的结构性特点，运用于数学教育 ，则是要求教师重视知识的组织方式或结构方式，加强对数学知识系统的内在结构规律的认识，更明确具体教学内容在
18、整个数学知识系统中的地位与作用。另外，传授任何学科，主要是要使学生掌握这一学科的基本结构，同时也要掌握研究这一学科的基本态度和方法。所以基元与整体思想的把握有利于合理地进行数学教学设计。 2.2.2 转化与整合 转化与整合是主体的一种认识方式与活动方式。为了解决一个困难问题，首先通过某种简化程序把它变换为一个比较容易的等价问题，即转化，然后求解这个比较容易的问题，最后反演简化程序，从而得到原问题的解，即 整合。从认识论的角度看，数学家们利用转化与整合解决一个又一个问题，也就是人类知识视野不断得到扩展的过程，转化与整合成为认识发展的主要形式。射影几何、解析几何都是沿着这一思想路线发展起来的。 转
19、化与整合思想体现在数学教育上，就是要在教育过程中强调主体思维活动的描述与认识。在解决数学问题的具体操作过程中，我们不断的实现未知向己知的转化、复杂向简单的转化、一般向特殊的转化、抽象向具体的转化 然后再进行整合，所以数学中的一切问题的解决都离不开转化与整合。它是解决数学问题时至关重要的思想方法。我们应该对它有一个 明确的认识，并不断向学生渗透。 2.2.3 扩张与因袭 从数学的发展历史来看，从算术到代数，从有限到无限，每一次认识的进步都是在经历了发展与继承的矛盾斗争之后取得的。数学发展是必然，而继承则是发展的基础，只有不断协调发展与继承的关系，才能不断地进步，数学发展史上的每一次重大转折无不反
20、映出这种规律的作用。 下面我以数学史上的“第一次数学危机”为例子。 有理数 有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令- 5 - 它的定端点和右端点分别表示数 0和 1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在 0的右边，负整数在 0的左边。以 q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为 q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。 古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是， 毕达哥拉斯 学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点 p不对应于有理数，这里距离 op等于边长为
21、单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一 ,但也 引起了 “ 第一次数学 危机 ”， 对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。 毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产 ,导致了第一次数学危机 .这一危机的影响是巨大的 ,它不仅推动了数学 （几何学） 及其相关学科的发展 ,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化 ,而且推动了整个科学的发展 .在古希腊 ,数学和哲学是结盟的 ,哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理 .正是由于古希腊的哲学背景 ,使其有可能建立世界上第一个数学公理
22、系统 ,并最终导致了近代科学的诞生 。 发展与继承即扩张与因袭，这个过程是人类认识发展的过程，也是数学发展的过程。在数学教育中 ，研究这一过程，从中可以得到许多有益的启示：扩张打开了人们认识的视野，而因袭则反映了认识的连续性和继承性；扩张是发展的基础，而因袭则使这种发展有了理性的方向。 如果说基元与整体侧重在对数学系统的结构性揭示，转化与整合主要侧重于认识主体思维活动的描述，那么扩张与因袭则侧重于数学发展的历史分析。三者有机结合，规划出数学思想的整体轮廓，以此为基础，形成数学教育的基本观点和数学活动的基本原则，进而推动数学教育的健康发展。 - 6 - 3 中学数学中常见的数学思想方法 数学思想
23、和方法是数学知识的精髓 , 又是知识转 化为能力的桥梁。目前中学阶段 , 主要数学思想方法有 : 数形结合的思想、分类讨论的思想、整体思想、化归思想、转化思想、归纳思想、类比思想、函数思想、方程思想等。这里将着重阐述一些中学常见的、具体的数学思想方法。 3.1 方程思想 所谓方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组、解方程组等步骤，达到求出未知量的解题思路和策略。它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。数学家笛卡尔在他的著作指导思维的法则中，提出了一个重要法则： 第一，把任何问题化为数学思想； 第 二，把任何数学问题转化为代数问题； 第三，把任何
24、代数问题化为单一方程去解。 当然，这三条规则现在看来不一定正确，有时甚至不可能，但是它却包含着重要的方程思想，比一般的技巧具有更大的意义。这个模式虽然不能用于所有场合，但是，它确实能用于许多场合，其中包含许多重要场合。一个数学问题的任何一个数或式都可以视为未知数，而其余的数或式则视为已知数，他们之间的制约关系 等式，即可视为方程。 例 1 求证： 22 ( 1 s in ) ( 1 c o s ) ( 1 s in c o s ) . 分析 本题等号两边反复出现 1 sin ，因此，将 1 sin 换成 x 作出关于 x 的方程，求出有解 1 sin 即可得证 . 证明 设关于 x 的方程 2( c o s ) 2 (1 c o s )xx 即 222 cos 0xx 解方程得， 1 sinx ，将其中一根 1 sinx 代入方程中，则可得22 ( 1 s in ) ( 1 c o s ) ( 1 s in c o s ) .
