1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 控制系统中 Lyapunov 函数构造的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 自动控制系统最重要的特性是稳定性。在大多数情况下，稳定性是系统能够正常运行的前提。本文主要利用构造 Lyapunov 函 数的方法来判别系统稳定性。首先给出了 Lyapunov 稳定性的定义及 Lyapunov 第一法和第二法 ，然后给出了一些简单的 Lyapunov 函数构造方法，最后针对线性系统和非线性系统阐述了 Lyapunov 方法。 关键词 ： 控制系统 ； Lyapunov 函数 ； 构造 ； 研究 Rese
2、arch on Lyapunov function structure in control system Abstract: The most important characteristic in automatic control system is the stability. In most cases, the stability is the premise of the system that it can be run normal. This article main use the Lyapunov function structure method to disting
3、uish the system stability. Firstly, this article has given the Lyapunov stable definition and the Lyapunov first method and the second method, and then it has given some simple Lyapunov function structure method. Finally, I aimed at the linear system and the nonlinear system elaborated the Lyapunov
4、method. Key words: control system, Lyapunov function, structure, research 目 录 1 引 言 . 1 2 控制系统理论 . 2 2.1 经典控制理论 . 2 2.2 现代控制理论 . 2 2.3 智能控制理论 . 3 3 Lyapunov 稳定性 . 5 3.1 Lyapunov 关于稳定性的定义 . 5 3.1.1 运动稳定性及平衡状态 . 5 3.1.2 稳定性的几个定义 . 6 3.2 李雅普诺夫第一法 . 8 3.2.1 线性系统的稳定性 . 8 3.3 李雅普诺夫第二法 . 9 3.3.1 几个稳定性判据 .
5、10 3.3.2 对李雅普诺夫函数的讨论 . 10 4 Lyapunov 函数构造 . 12 4.1 Lyapunov 函数构造的 Kronecker 乘积形式 . 12 4.2 三阶系统巴尔巴欣公式 . 13 4.3 类比法与三阶非线性微分 方程 Lyapunov 函数的构造 . 16 4.3.1 无时滞三阶微分方程 Lyapunov 函数的构造 . 16 4.3.2 三阶时滞微分方程 Lyapunov 函数的构造 . 18 5 Lyapunov 方法的应用 . 20 5.1 Lyapunov 方法在线性系统中的应用 . 20 5.1.1 线性定常系统渐近稳定判据 . 20 5.1.2 线性
6、时变连续系统渐近稳定判据 . 20 5.1.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据 . 21 5.1.4 线性时变离散系统渐近稳定判据 . 21 5.2 Lyapunov 方法在非线性系统中的应用 . 22 5,2.1 雅可比矩阵法 . 22 5.2.2 变量梯度法 . 22 6 结束语 . 24 7 致 谢 . 错误 !未定义书签。 8 参考文献 . 25 1 1 引 言 控制系统用来控制某些物理量按照预定或期望的规律变化。随着科学技术的发展，控制系统理论与技术显得越来越重要。它不但在现代工程技术领域中获得广泛的应用，而且在经济学、生物学和医学领域中也受到了很大的重视。 控制系统理论作为一门新
7、兴的科学普遍应用于国民经济的多个方面，包括各种自动控制系统、各类机器人、各种形式的自动机构，以及进行信息采集、信息处理、加工控制、管理、决策的各种自动化装置和系统 1。它不仅把人类从繁重的体力与部分脑力劳动中解放出来，而且可以完成 只靠人类的自身所无法完成的许多精密、复杂的工作。在许多危险以及特殊的环境中，更是少不了自动化装置。 控制系统理论主要研究系统中信息互相作用的规律以及如何利用这些规律对系统进行设计、控制、决策和管理，研究如何改进动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义涉及人类活动的许多方面。控制系统理论试图以定量方式描绘这些问题，并力图寻求一些精确的数学描述方法 2。 控制系统理论
8、的研究目标是了解基本控制原理，建立数学模型用于分析控制系统的性能，设计自动控制系统。控制系统理论不仅用于处理简单的动态系统，还用于处理具有不确定性的复杂动态系统。 系统有了一个合理的数学模型以后，就可以对其性能进行深入分析和研究了。其中，其中稳定性是控制系统能正常工作的首要条件，若一个系统不能稳定地工作，则无从研究其他性能指标。关于系统稳定性，俄国学者李雅普诺夫提出了严格而普遍适用的定义。 本论文主要研究在实际应用的简单问题当中如何通过构造 Lyapunov函数来判别系统的稳定性，首先对控制论这门学科和 Lyapunov函数进行简单介绍，然后针对不同的问题给出Lyapunov函数的构造方法，给
9、出 Lyapunov稳定性的定义及判据等，然后在两类问题当中 进行一些举例与应用 .针对线性系统相关问题利用构造 Lyapunov函数的方法判断其稳定性 .由于非线性系统当中没有通用的 Lyapunov函数构造，所以在线性系统的基础上，运用类比法来对非线性系统当中的具体问题进行判别，在非线性系统的问题中主要研究下面的三阶非线性时滞微分系统零解的全局渐近稳定性 : ( , , ) ( , ) ( ) ( ( ) ) 0x g x x x f x x h x x t ,其中 , ( , , 0 ) ( , 0 ) (0 ) 0g x y f x , ( 0) 是常量 , 函数 f g h 、 、
10、、 具有连续的二阶导数。 2 2 控制系统理论 控制理论自形成学科以来，经历了近一个世纪的发展，无论是学科内容、学科特色、适用对象，还是研究成果等方面，均达到了前所未有的水平。理论研究成果与应用研究成果层出不穷，研究成果的应用已经扩展到了人类社会活动的各个方面。 控制理论的研究与发展从时间上和内容上可以划分为三个阶段：经典控制理论阶段、现代控制理论阶段与智能控制理论阶段 3。 2.1 经典控制理论 经典控制理论的研究主要集中在 20世纪 20年代至 60年代，这是由于当时大工业生 产的发展需要军事技术发展的需要，促进了研究成果快速地应用到社会的发展中去。例如发电厂的锅炉控制系统，温度、压力、流
11、量等物理量的控制在小规模时还可以人工完成，但是对于大型控制设备来说，人工控制是不可思议的，必须被自动控制装置与自动控制系统所取代。再如第一次世界大战时飞机在战争中有各种优势，到第二次世界大战时，高射炮、雷达跟踪系统问世，形成了有矛必会产生盾的最终结果。军事技术的需求极大地促进了控制技术的发展，因此，经典控制理论的研究与发展和人类社会的发展是紧密相关的。 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出系 统（ SISO）。 单输入单输出系统又称为单回路系统。信号流通由反馈通路构成闭合回路，因此经典控制理论研究的控制方法主要是反馈控制，这类似于人类的思维模式，即根据错误来修正目标的思想。因此，可以简单地
12、认为经典控制理论是拟人控制。 到 20世纪中期，经典控制理论的研究已经基本成熟，进而在各个领域获得了广泛的应用，如工业、农业、军事、航空、航海、交通、核能利用、导弹制导等领域。许多研究成果或者控制器的设计均已发展为成套设备或者成为标准化产品，如各个时期的单回路调节器、PID 控制器及 DCS 计算机控制系统等，以不可逆转 的方式表现着人类生产与生活中的自动化技术的发展水平。 经典控制理论有许多不足之处，还不能够完全解决自动化工程和控制工程中的许多实际问题，这时经典控制理论自身的局限性所致。 2.2 现代控制理论 现代控制理论的研究起始于 20世纪 50年代末期。受大工业发展的需求与第二次世界大
13、3 战中军事技术需求的刺激，工业生产的规模越来越大、越来越复杂，如：石油化工产业、军事武器系统越来越先进，以及航空技术、航天技术的飞速发展。仅限于经典控制理论的方法已不能跟上社会生产发展的需要，进而促进了现代控制理论的研究和发展。 由于现代控 制理论研究对象的类型涉及面很宽，有线性系统和非线性系统，定常参数系统与时变参数系统，随机控制系统与不确定性系统，等等。所以，大部分类型系统的控制都可以纳入到现代控制理论研究的范畴。 自 20世纪 50年代起，现代控制理论的研究成果层出不穷。从战斗机的飞行舵角控制到人造卫星姿态控制，从工程意义上的自动控制到社会人文意义上的经济模型、人口控制等，使得控制理论
14、的研究得到了长足的发展。在现代控制理论的发展中，卡尔曼提出了基于状态空间法的系统描述方法，使用状态空间法的系统结构分析方法，如能控性和能观测性等，以及应用于随机 系统的卡尔曼滤波器。庞特里亚金提出的极大值原理将基于泛函极值的最优控制问题提高到一个新的理论高度，有效地解决了约束优化控制问题。贝尔曼提出了动态规划方法，全面、深入地解释了最优控制问题。其他研究成果还有：最佳滤波理论、自适应控制器、预测控制理论、大系统理论、鲁棒控制理论等。 2.3 智能控制理论 自 20世纪 80年代末期以来，随着人工神经网络的理论研究与应用研究的深入，将人工智能方法用于系统的控制逐渐成为控制理论研究的新热点。所谓人
15、工智能方法，就是基于人类对于新知识的学习能力，修正决策输出，使之实现基于知识 的决策。 将人工智能方法应用于系统控制完全不同于经典控制理论的控制器设计方法，也不同于现代控制理论中许多系统的综合方法。首先，它不依赖于确定性的传递函数模型或者状态空间模型来构造控制器，而是在机器学习条件下基于知识的控制决策。如果控制对象是灰箱系统或者是黑箱系统，也可以通过智能系统的学习功能实现控制目的。其次，对于难以使用数学模型来描述的系统也能够通过构建学习机器来实现基于学习的控制。 人工智能方法主要有以下几种，即基于生物细胞信息传递的各种人工神经元网络，基于模糊逻辑的模糊集合理论，基于粗糙逻辑的粗糙集和 理论，基
16、于生物种群进化的遗传算法，另外还有蚁群算法、细胞自动机等。其中发展比较全面，应用最为广泛的是人工神经元网络。 将人工智能方法应用于控制工程中，标志着控制理论发展的一个新的阶段。近些年来，成熟的模糊控制器已经获得广泛的应用，基于人工神经元网络的各种智能控制器的研究也在4 蓬勃发展之中，其他人工智能方法在控制中的应用研究也能够大显身手，如遗传方法、粗糙逻辑等。相信随着机器学习理论的深入研究与智能信息处理学科的飞速发展，人工智能方法在控制中的应用必定会得到令人瞩目的飞跃，将控制理论的研究发展到一个新的高度，给 社会的发展与进步带来丰硕的果实。 5 3 Lyapunov 稳定性 3.1 Lyapuno
17、v 关于稳定性的定义 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关，但非线性系统的稳定性还与初始条件及外界扰动的大小有关，因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 Lyapunov 第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。 Lyapunov 给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。 3.1.1 运动稳定性及平衡状态 考虑一个不受外部作用的系统 4，描述系统动态特征的一半方程式为 ),( txfx （ 3.1.1） 式中， x 为 n 维状态向量； f 为与 x 同维的向量函数。它是 x 各元素 x1
18、， x2， .， xn和时间 t的函数。一般地，它是时变的非 线性函数；如果不显含 t，则为定常的非线性函数。 设方程式（ 3.1.1）在给定初始条件（ x0， t 0）下有惟一解 ),( 00 txtx （ 3.1.2） 式中， ),( 000 txtx 表示 x 在初始时刻 t0 时的状态； t 是从 t0 开始观察的时间变量。 式 （ 3.1.2） 实际上描述了系统式 （ 3.1.1）在 n维状态空间中从初始条件（ x0， t0）出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式（ 3.1.1）催在状态向量 xe，对所有 t，使 0),( txf e （ 3.1.3） 成立，
19、则称 xe为系统的平衡状态，又称为零解。 对于一个任意系统 5，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是惟一的，例如对线性定常系统 Axtxfx ),( （ 3.1.4） 当 A 为非奇异矩阵时，系统将有无穷多个平衡状态。 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，他们是由方程式（ 3.1.3）所确定的常值解。例如，系统 6 3221211xxxxxx 就有 3 个平衡状态 001ex 102ex 103ex如果平衡状态彼此是孤立的，即在某一平衡状态充分小的邻域内不存在别的平衡状态，则称平衡状态为孤立的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以通过坐标变换将其移到坐标原点 xe=0 处。所以今后将
20、只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。 应当指出，稳定性问 题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统，由于只有惟一的一个平衡点，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题。对其余系统，则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个地分别加以讨论。 3.1.2 稳定性的几个定义 若用exx 表示状态向量 x与平衡状态 xe的距离 6，用点集 S（ ）表示以 xe为中心、 为半径的超球体，那么 )(Sx ，则表示 exx （ 3.1.5） 式中，exx 为欧几里德范数。 在 n维状态空间中，有 21222 )(. . .)()( 12111 eneee xxxxxxxx （ 3.1.6） 当 很小时，称 S（ ）为 xe的邻域。因此，若有 )(0 Sx ，则意味着 exx0。同理，若方程 式（ 3.1.1）的解 ),( 00 txt 位于球域 S（ ）内，便有 extxt ),( 000tt （ 3.1.7）式（ 3.1.7）表明齐次方 程式（ 3.1.1）由初态 x0 或短暂扰动所引起的自由相应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 4种情况。 1.李雅普诺夫意义下稳定 7 如果由方程式（ 3.1.1）描述的系统对于任意选定的实数 0 都对应存在另一实数
