1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 数学与美学的关系研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 本文 较全面系统地 论述了如何 研究数学与美学，把数学与美学结合在一起 ， 通过具体实例 ， 探讨数学中存在的美感与艺术。从艺术和思维的角度欣赏数学中 美的精彩内容和片段 。 发现、认识数学美 ， 理解、欣赏数学美 ， 研究数学美 ， 进而创造数学美 。 本文通过查 阅 资料，然后对资料进行分析加工，阐述了数学与美学的关系及数学美的涵义、特征，得出了学习数学就是学习美学的过程 。学习数学就是遵循数学的审美标准去分析问题和解决问题 。 这个过程
2、能提高人的审美意识和审美能力 ，同时也获得美的享受。 关键词： 数学 ； 美学 ； 数学美 ； 2 Mathematics and aesthetic relations Abstract: This paper discusses how to study mathematics and aesthetic Comprehensively and systematically. Combined mathematics with aesthetic, Explore the Aesthetic and artistic existing in mathematics by the concr
3、ete examples . From the angle of art and thought, enjoy the wonderful content and segments in mathematics. Found and know the beauty in mathematics, Understand and appreciate the beauty in mathematics, research the beauty in mathematics then create the beauty in mathematics. Through the data access,
4、 then the data processing, this paper expounds the relationship between mathematics and aesthetics. And also expounds mathematics connotation, characteristic of beauty. Then we can get that the process of learning mathematics is the process of learning aesthetics. Learning mathematics is analyzing a
5、nd solving problems follow mathematical aesthetic standards. This process can improve peoples aesthetic consciousness and aesthetic ability also get beautiful enjoyment. Key words: mathematics; Aesthetics; The beauty in mathematics; 1 目 录 1 引言 . 1 2 数学与美学的结合 . 2 2.1 美学的定义 . 2 2.2 美学与数学的关系 . 3 3 数学美育
6、 . 4 3.1 数学美学的特征 . 4 3.1.1 和谐美 . 4 3.1.2 对称美 . 5 3.1.3 简洁美 . 6 3.1.4 奇异美 . 7 3.2 数学美学的教育功能 . 8 3.3 审美意识的重要性 . 9 3.4 数学美育的作用 . 10 4 结论 . 13 致谢 .错误 !未定义书签。 参考文献 . 14 1 1 引言 随着生活水平的提高，人们不仅仅满足于衣食无忧，还开始关注精神方面的享受，尤其是对于美的追求越来越迫 切。这就为数学美学的兴起创造了条件。相对其他数学科目，数学美学是一门新兴学科，它研究的是数学与美学的关系，把数学与美学结合起来，探讨数学中存在的美感与艺术。将
7、数学中美的精彩和片段，从艺术和思维的角度加 以欣赏 ,发现、认识数学美 ,理解、欣赏数学美 ,研究数学美 ,进而在我们的生活中创造数学美 . 数学是一门讲究创造力的学科，数学创造了美好的概念，数学家像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索。人们在对数学的研究过程中不自觉的会用上美学规律，数学之所以发展就是因为人们对于数学美的追求。人们不断发现与和谐相悖的悖论，不 断地修正。通过对数学美的研究，可以开发人们的思维，开阔人们的视野，指出事物发展的前景，告诫人们方法。英国著名物理学家迪拉克认为他的许多发现都得益于对于数学美的追求。迪拉克在1931 年从数学对称性考虑，大胆提出了反物质的假说，他提出
8、了真空中的反电子就是正电子，这个假说在 1932 年被美国科学家安德逊证实。（参考文献 1) 整个自然界是有规律的，当我们用数学去描述时，应该是符合数学美的特征的，倘若其中产生了“奇异”，那要么是数学工具有错，要么是规律中还有未知的东西。我们的很多猜想，都是依据了数学内在美的性质，借 助于不完全归纳提出的，比如费马尔猜想、黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。数学应该是匀称的、和谐的，人们可以从某些局部去预见整体，从特殊去揭示普通。 我们通过美育来普及数学美，让人们了解数学美的涵义和特征，发挥数学美对于提高人们的审美观、审美意识的功能。进而让人们能够发现欣赏生活中的数学美，一起来创造美。 从总体来看，对于
9、数学美的研究经历了从最初仅强调数学美育转变为现在的把数学美作为一种数学文化来宏观研究，由单一视角变为多元视角。只有当数学美的研究脱离了单一层面的美育价值研究，提升到一个广阔的数学文化平台上，才能使其 具有更广泛的数学美学研究价值。 本文将从数学美学的涵义，特征上进行分析、讨论，深入了解数学美学。并且重点从数学美学在人的审美观、思维观、精神观三个层面论述数学美学具有的审美功能、方法功能和文化功能。这三项功能之间在各有特点的同时又彼此联系，共同构建数学美学在生活中所具2 有的整体功能。 2 数学与美学的结合 2.1 美学的定义 美学是从人对现实的 审美观念出发，以生活中的艺术为对象， 研究美、丑、
10、崇高等审美范畴 和人的审美意识 ， 美感经验，以及美的创造、发展及其 规律的科学。 美学是以对美的本质及其意义的研究为主 题的 一门学科。 美学是 哲学 的一个分支 。 研究的主要对象是艺术，但不研究艺术中的具体表现问题，而是研究艺术中的哲学问题，因此被称为 “美的艺术的哲学 ”。美学的基本问题有美的本质、审美意识同 审美对象的关系等。 为了通俗起见，我们以绘画来谈论美学。绘画是通过有形的笔墨、色彩等来表达事物的无形存在，中国画论称其为精气神。比如石画是运用有形的笔墨色彩烘托出石中的灵气来表达山水精神， “灵气 ”即是石画中的无形存在，非此不能成就石画。白石的虾，廖廖几笔有形之墨，表达的是生命
11、之美，那是无形的存在；悲鸿的马，有形的奔腾之态，表达的是 雄健气概之美，那是无形的存在；中国山水画，无论有形的 笔 法如何变化，都是在表达人的神魂境界之美，那是无形的存在；达芬奇的蒙娜丽莎，有形之目，表达的是眼神中的气质之美，那是无形的存在 。 当代的西方哲学家维特根斯坦，他是分析哲学的祖师爷，也是 20 世纪的一个大思想家。他从语言问题入手来讨论哲学问题。他认为以前的哲学都是错误的，都是没有意义的，其中也包括 美学 中对美的种种界定。在他看来，任何概念、范畴、命题，只有能够证实的才是有意义的，不能证实的东西都是没有意义的。所以过去西方哲学史上很多包括刚才讲的柏拉图的理式和黑格尔的理念、海德格
12、尔的存在，还有其他很多人探讨了两千多年的概念、范畴、命题，他认为都是没有意义的。因为它们没法通过经验来证实，因而是伪的，是假的。其中包括美，美是没法证实的，因此也是没有意义的。在一次演说中，他谈到了对美的看法。他认为，美，实际上每个人在用这个词的时候他心里面所想的，他所做出的判断，所表达的情感态度，都是完全不一样 的，你硬要把它们用同一个字 “美 ”字来概括，虽无不可，但在各种情景下， “ 美 ” 的意义都不一样。要你用句什么话对这些不同的意义作出概括是不可能的。譬如你到裁缝店里去做一件衣服，做得很漂亮很合身，穿了很神气，你说： “ 唉呀，这衣服做得不错，美啊！ ” 这是一种美，这用了 “ 美
13、 ” 这个词来表达你对这一件衣服的赞赏和满意，这是一种表达。又如，你听贝多芬的交响乐，听了以后，沉醉在里边，完全被音乐打动了，3 你赞扬这个音乐太美啦，太美啦！也用了 “ 美 ” 这个词。再如，有一个姑娘长得漂亮、迷人，你赞叹她有倾国倾城的容貌，你说：还从没看到过这么 美的女子。又是用了 “ 美 ” 这个词。他还举过这样的例子，看莎士比亚的悲剧哈姆雷特或者麦克白，这些悲剧的故事情节和戏剧人物的命运打动了你，甚至震撼了你，一种悲剧性的效果出现了，看完了这个悲剧出来以后，你赞叹这台戏演得太美啦。在这四种情景之下，每个人心里想的、所面对的对象、所指的美以及美所包含的意义是完全不同的，你硬要把这些情景
14、都要用一个什么东西来加以概括，用一个 “ 美 ” 字来加以定义，这实际上是不可能的。在日常生活中人们完全可能、也完全可以这样那样地来使用 “ 美 ” 这个词，但要为 “美 ”这个词下一个到处适用的定义， 则根本不可能。他从语言哲学这个角度研究美这个词，告诉我们，他的结论就是美是很难的，没法去定义的 ，因为美的对象是具体的，但美是无形的。 2.2 美学与数学的关系 十八世纪法国著名的启蒙主义者伏尔泰、狄德罗等人认为“美是大自然本身的自然属性。” 俄国文学家车尔尼切夫斯基认为：美就是生活。 人们对美的认识是一个古老而又漫长的过程，在此期间人们也提出了许许多多不同的观念，到现在，美学家们一般把美分成
15、二类：自然美和社会美。自然事物或自然界的美叫做自然美，社会事物的美叫社会美。 美的社会形态也分为 二类：艺术美和科学美。（参考文献 2)艺术美是指艺术家通过艺术形象的创作来反映生活中的美。科学美主要指理论美，其内涵是指结构美和公式美。艺术美和科学美都是自然美和社会美的客观反映，只不过反映的侧重点不一样罢了。艺术美侧重于表现社会，即是表示自然也是通过人的社会感情去实现，而科学美则侧重于表现自然，且逐步向社会现象渗透。 数学也是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的特点。即数学在其内容结构上，方法上也都具有自身的某种美，即所谓的数学美。因而数学美是具体、形象、生动的。数学美的起源遥远、
16、历史悠久 。 世俗的观念，往往认为数学是枯燥乏味的，与美学无缘。事实上，这是一种偏见。德国诗人诺瓦利说： “纯数学是一门科学，同时也是一门艺术 ”。我国数学家徐利治说： “古今中外的杰出数学家和科学家都莫不高度赞赏并应用了数学科学中的美学方法。 ” 并且说： “数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园 ”。这就是说，数学中存在着美。 数学美起源于人们的生产与生活中，它是自然美的客观反映，又随数学本身的发展，4 不断扩充与更新内容。 数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。 数学中的美是千姿百态、丰富多彩的 ,如美 的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美
17、的方法、美的理论等。从内容来说 ， 数学美可分为结构美、语言美与方法美 ； 就形式而论 ， 数学美可分为外在的形态美和内在的理性美 。 古希腊数学家普洛克拉斯有句颇为打动人心的名言：“哪里有数，哪里就有美。”如果这个世界上没有数，人类将处于怎样一个荒凉愚昧的境地？数学之美，一直伴随着我们一起建设这个美丽的世界，已经伴随人类几千年的文明，泽被深远。 (参考文献 3） 3 数学美育 3.1 数学美学的特征 数学是一种智慧美、理性美，具有最纯净的思辨特征，数学美的 实质就是在理性的更高层次上显示了创造的本质力量。数学美源于生活，归于生活。 数学美的特征可以概括为以下四个方面：和谐美、 对称美、简洁美
18、、奇异美。 3.1.1 和谐美 和谐美是数学美的一个特征。和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾。 和谐 性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性 ,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的 和谐 性通常表现为数学概念、规律、方法的统一 ,数学理论的统一 ,数学和其它科学的统一。 数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求和谐，数学家们一直在努力，消除其中不和谐的东西 比如悖论，使 得数学越来越往和谐发展。 和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比 ，即 0.61803398 。 在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为 黄金比例 ；人
19、们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为 23 摄氏度时，人感到最舒服，此时 23:37（体温）约为 0.618；名画的主题，大都画在画面的 0.618 处，弦乐器的声码放在琴弦的 0.618 处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风 格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。 （参考文献 4) 5 黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达 芬奇称黄金分割比例 为 “神圣比例 ”他认为 “美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上 ”。与 黄金比例 有关的 事物 还有许多 ， 黄
20、金分割 因此赢得了 神圣比例的美称 。很多艺术家在研究创作时都会时刻注意黄金比例，以此来展现数学的和谐美。 3.1.2对称美 对称 美 是和谐 美 的一种特殊的表现。它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实世界中，形式上和内容上的对称性， 广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、平面对称等的空间对称 ,又有周期、节奏和旋律的时间对称 ,还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。 (参考文献 5)数学的对称美 ,实质上是自然物的和谐性在 数 和量的关系上最直观的表现。 数学的对称美分为两种：一种是数（式）的对称性美，主要体现在数（式）的结构上。例如，加法的交换
21、律 , a+b=b+a，乘法的交换律 ab=ba， a 与 b 的位置具有对称关系，但有时可以变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，代数式形式的对称式，结构严谨、特 殊，决定了解这类问题一定需要特殊的方法，从而显示了它的神秘感、奇妙感。对称美也是数学美的一种主要形式，如一切平面图形中最美的是圆形，因为在各个方向上都对称，圆完美无缺，当然对称美不仅在数学形式上，更重要的是让学生自觉地运用对称性质解决某些具体问题。例如在几何中，我们经常会利用对称性来解题。把图形的某一部分变成它的对称图形后，即增加了美感，又容易找到它和另一些图形的联系。有时遇到一道数学证
22、明题，他的条件式和求证式都具有对称的形式。由此启示我们采用一种“对称”的手段，从而使问题简洁的获得证明。一个定理，当其充分 必要条件出现时，我们觉得它是完善的，美的。这是因为条件与结论表现了充分的对称性。 (参考文献6)在数学的发展中，由于对对称美的要求与实际需要相结合，从而可引出新的概念和新的理论。如，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充，都与对称美的追求密切相关。加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法微分的逆运算是积分，这种种逆运算的建立，也都与对称美相联系。 (参考文献 7) 数学家的创造发明从数学美那里得到契机，其他自然科学的科学发现也需要数学美
23、的启迪。例如，英国著名物理学家狄拉 克认为他的科学发现，都得力于对数学美的追求。 1931 年，狄拉克出于对数学上的对称美的考虑，大胆地提出了反物质的假说，认为真空中的反电子就是正电子。 1932年，美国物理学家安德逊在宇宙线中发现了正电子，从而证实了狄拉克的这一科学假说 。 从6 数学美的完美程度还可以判断自然科学理论的真理性程度。狄拉克认为，相对论的数学特征是非欧几何，而量子力学的数学特征是非交换代数，这样根据数学上的完美程度，就可大致估计理论物理发展所达到的水平。 另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体 之间的一种统一和谐关系。例如轴对称
24、图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛，许多建筑师和美术工作者常常采用一些对称图形，设计出美丽的装饰图案。 对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。在数学中则表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。在几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这就是黄金分割的美或者更深层次的对称美。如：一条线段关于它的中点对称，这条线段若左端点的坐标为 0，右端点的坐标为 1，那么中点在 0.5 处。又如： 似乎黄金分割点（在 0.618 处）不是对称点，但若将左端记为 A，右端记为 B，黄金分割点记为 C，则AC=
25、AB BC 而且 C 关于中点的对称点 D 也是 AB 的黄金分割点，因为，再进一层看， D又是 AC 的黄金分割点； C 是 DB 的黄金分割点。类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。如今，设计师和艺术家们已经利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。 3.1.3简洁美 简单、明快才能给人以和谐之感 ,繁杂晦涩就谈不上和谐一致。因此 ,简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。 而数学的首要特点在于它的简洁。数学家 L.J莫德尔说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概就是简单性了。” 爱因斯坦也说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简
26、单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。 (参考文献8)诚如黄秦安在数学哲学与数学文化一书中提到的“数学语言虽与自然语言同源，但随着数学抽象性和严格性的发展，逐步演变成相对独立的语言系统，其主要特点是形式化和符号化。数学语言是精确的，它能够避免日常语言可能引起的混乱和歧义。数学语言又是简洁的，它可以用极少数的 语言符号表征极丰富的意义。”数字和符号的简洁美。数学的教学和研究过程，总是以符号化语言来进行。数学的符号化语言是指以最简洁的形式，却反映着其深刻的客观规律。在数学符号上，简洁美令人惊叹。 10 个阿拉伯数字是当今世人共识的最简洁的文字，但它却能记录无限多的数。四则运算符号中，“ +”是基本运算，“ -”是“ +”
