1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 凸函数性质的讨论 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 2 - 摘要 ： 在本文中，我们首先介绍了凸集、凸函数的定义等；接着我们又给出了凸函数的一些基本性质及其判定方法；最后，我们研究了凸函数的 Jensen 不等式在不等式证明中的应用。 关键词 ： 凸集；凸函数；凸性； Jensen 不等式 - 3 - The discussion of properties of convex function Abstract:In this paper, we firstly introduce convex se
2、t, convex function is defined,etc.And then we also give some basic properties of convex function and its determinant methods.Finally, we study the applications of Jensen inequality of convex function in proving inequalities. Key words:convex set;convex function;convexity;Jensen inequality - 4 - 目 录
3、1 序言 . 1 1.1 论文选题的背景、意义 . 1 1.2 相关研究的成果及动态 . 1 2 凸集 . 2 2.1 凸集的基本概念 . 2 2.1.1 凸集与凸组合 . 2 2.1.2 代数运算 . 5 2.1.3 凸锥 . 6 2.2 凸集上的投影 . 7 2.3 凸集的分离定理 . 10 3 凸函数 . 12 3.1 凸函数的定义 . 12 3.2 凸函数的性质 . 13 3.3 凸函数的判定定理 . 22 3.4 凸函数的应用 . 27 4 凸函数的次微分和共轭函数 . 33 4.1 凸函数的次微分 . 33 4.2 共轭函数 . 35 总结 . 37 致谢 . 错误 !未定义书签。
4、 参考文献 . 38 1 1 序言 1.1 论文选题的背景、意义 凸函数是凸分析的重要研究对象，包括凸函数的基本性质、运算、连续性等。而凸分析和非光滑分析是 20 世纪 60 年代至 80 年代相继发展形成的现代数学分支。 作为描述和解决非光滑问题的有力工具，它们在非线性最优化、多目标决策、最优控制、对策论、变分学、逼近理论以及数理经济等领域都有着广泛的应用。事实上凸分析主要研究的凸函数（凸泛函）在通 常意义下是非光滑的，因此从这一意义上说，凸分析也是非光滑分析的组成部分和重要基础，而非光滑分析则是凸分析研究的延伸和发展。 1.2 相关研究的成果及动态 凸函数的研究结果已在许多领域得到了广泛应
5、用，例如在不等式、泛函分析、最优化理论、运筹学、控制论及数理经济等领域。可以说，凸函数是一类非常重要的函数，在不等式的研究中尤为重要，而不等式的研究最终归结为研究函数的性质，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。 常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方 的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。有关凸函数的研究理论十分丰富，许多未知的领域正等待着我们去探索。 2 2 凸集 2.1 凸集的基本概念 2.1.1 凸集与凸组合 定义 2.1.1 设 nSR ，如果对任意 12
6、, , 0 1x x S ，有 12(1 )x x S ，则称 S 为凸集。 由定义可以看出，所谓凸集就是这样的集合，它的任意两点的连线都在集合中，可以说凸集具有明显的几何意义。 定理 2.1.1 设 I 是任意指标集， ,niS R i I是凸集，则 iS 的交iiISS是 nR 中的凸集。 证明 若 S 为空集或单点集，结论显然成立。假设 12,x x S ，则 12,ix x S i I。由于 iS 是凸集，则对于 01，有 12(1 ) ,ix x S i I ， 故 12(1 ) iiIx x S ， 所以 S 是凸集，定理得证。 定义 2.1.2 设1 1, , , 0 , , ,
7、 , 1mnm i iix x R i i m ，则点1miiixx称为 1,mxx的一个凸组合。 凸组合是凸分析中的一个重要概念，它与凸集有密切联系。定义 2.1.1 意味着凸集就是“其中任意两点的凸组合仍属于它本身的集合”。而实际上，我们也可以通过任意有限点的凸组合来定义凸集，下面的定理就刻画了这样一个事实。 定理 2.1.2 nSR 是凸集的充要条件是 S 中所有元素的凸组合还在 S 中。 证明 设 S 是凸集， 1,mx x S ，我们将证明 1,mxx的凸组合属于 S 。对 m 用数学归纳法。当 1m 时，结论显然成立；当 2m 时，由凸集的定义，结论也成立。设结论在 mk 时成立，
8、要证明对于 0, 1, , 1i ik 满足 11 1kii ， 如果 , 1, , 1ix S i k ， 3 则 11kiiix x S. 不失一般性，假设 0, 1, ,1i ik ，这时， 1 110kkii . 根据归纳法假设 1 11111k kkky x x S ， 这是因为 1 1 11k ii k ， 上式为 1,kxx的凸组合，再由凸集的定义，有 1 1 1(1 )k k kx y x S . 另一方面，设集合 S 中元素的所有凸组合都在 S 自身中，则 S 的任意两个元素的凸组合也在 S 中，于是 S 是凸集，定理得证。 定义 2.1.3 nR 中集合 S 的凸包是由 S
9、 中的一切凸组合形成的集合，记为 coS ，换言之，x coS 当且仅当 x 可表示为1kiiixx，其中1, 0 , 1 , , , 1ki i iix S i k ， k 为一正整数。 很容易验 证， S 的凸包是包含 S 的最小凸集。事实上，不难验证它是包含 S 的所有凸集的交集。凸包也是一个给定非凸集合进行凸化的手段。 nR 中有限点集 1,m，其中 , 1, ,ni R i m 的凸包由形如 11 mm 的向量构成，其中 0, 1, ,i im ，且有1 1mii ，亦可表示为 1 | 0 , 1 , ,mi i ii im ， 它是 nR 空间中的一个凸多面体。 由定义 2.1.3
10、 知，凸包 coS 是由 S 的所有有限多个点的凸组合构成的集合，但定义 2.1.3 没有对构成这个凸组合所需的点数给出 任何限制，实际上，对于 n 维空间中的集合 S ，只需至多 1n4 个点的组合就可以表示 coS 中的点，下面的 Caraheodory 定理就揭示了这样的事实。 定理 2.1.3（ Caraheodory 定理） 设 nSR ，则 S 的凸包 coS 中的任意一点可以表示成 S中至多 1n 个点的凸组合，即对任意 x coS ，存在常数 1rn以及 , 0 , 1, ,iix S i r ，满足1 1rii ，使得 1riiixx. （ 2.1.1） 证明 根据定理 2.
11、1.2，只要证明 1rn即可。反证法，如果 1rn，则式（ 2.1.1）右边的非零项可以减少。不妨假设 0 , 1, , , 1i i r r n . 取 1n 维向量 ( ,1), 1, ,ix i r ，因为向量的个数 1rn，因此线性相关，故存在不全为零的常数 , 1, ,i ir ，使得 1 ( ,1) 0riii x ， 于是有 110 , 0rri i iiix. （ 2.1.2） 由 1 0rii 可知， , 1, ,i ir 中一定存在正数，记 0 m in | 0 , 1 , ,i ii ir ， 于是存在一个 0i ，使得000 ii ， 进而有 0 0 , 1, ,i i
12、 i ir ， （ 2.1.3） 特别地，0 0i.由式（ 2.1.2）得 5 01 1 1r r ri i i i i ii i ix x x x ， 01 1 1 1r r ri i ii i i ， （ 2.1.4） 这说明， x 还可以表示为式（ 2.1.1）的形式，但却减少了一项（在式（ 2.1.4）中0 0i），定理得证。 2.1.2 代数运算 在非光滑分析中，通常的集合加法和数乘运算按如下法则，通常也称为 Minkowski 加法和数乘。 定义 2.1.4 设 12,nnS S R R，则 11|S x x S称为集合 1S 和 的数乘； 1 2 1 2 1 1 2 2|,S S
13、 x x x S x S 称为 1S 和 2S 的和。 下述结论显然成立。 命题 2.1.1 设 12, nS S R 为凸集， nR ，则 1S 和 12SS 也为凸集。 定理 2.1.4 设 S 为 nR 中凸集， 120, 0，则有 1 2 1 2()S S S . （ 2.1.5） 证明 当 120时，式（ 2.1.5）显然成立。设 120，容易验证，即使集合 S 不是凸集，下述性质也成立： 1 2 1 2()S S S . （ 2.1.6） 对于凸集 S ，容易验证 (1 )S S S ， 其中 01，于是有 121 2 1 2S S S ， 上式两边乘以 12 得 1 2 1 2(
14、)S S S ， （ 2.1.7） 6 联立式（ 2.1.6）和式（ 2.1.7）得式（ 2.1.5），定理得证。 2.1.3 凸锥 在凸集中，一个比较重要的特殊情形是凸锥。凸锥是非光滑分析和优化中研究的重要对象之一。 定义 2.1.5 设 S 为 nR 中的集合， 0xS ，且对任意 0 ，有 00()x x x S ，则称 S是以 0x 为顶点的锥。特别当 S 为凸集时， S 称 为凸锥。 在最优化研究中，人们最关心的是以 0 为顶点的锥，以后除特别声明，所提到的锥均指以 0 为顶点的锥。易见， nSR 是锥的充要条件是对任意 0 ，有 SS 。 定理 2.1.5 nSR 是凸锥的充分必要
15、条件是它对加法和正数 乘法封闭。 证明 设 S 是凸集，由于是锥，它对正数乘法是封闭的，又 S 是凸集，则对任意 12,x x S ，有 121122z x x S ， 所以 122x x z S ，即 S 关于加法封闭。 设 S 对加法和正数乘法封 闭。由于对正数乘法封闭，所以 S 是锥，故对任意 12, , 0 1x x S ， 有 12, (1 )x S x S . 而由 S 对加法封闭性，得 12(1 )x x S ，所以 S 是凸集，进而是凸锥，定理得证。 由定理 2.1.5 易得下面的推论 : 推论 2.1.1 nSR 是凸锥的充分必要条件是 S 包含它的元素的全部正线性组合，即对任意, 0 , 1, ,ix S i m ，有 11 mmx x S . 定义 2.1.6 设 nSR 是凸锥，它的极锥定义如下： | 0 ,nTS d R d x x S . 从极锥的定义不难看出， S 是闭凸锥。不 难验证：如果 S 是一个子空间，则 S 是它的正交补；
