1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 无穷级数的应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 无穷级数是一个具有悠久历史的数学概念，实际上其思想的起源早于公元前，级数的分类大致包括正项级数、交错级数、函数项级数 ，级数的主要性质 是级数的敛散性。比起无穷级数本身的研究，更重要的是级数无穷分割求和思想的利用。本文在重新学习无穷级数内容的基础上研究其 在积分计算和级数求和方面的应用 并尝试解决 用无穷级数逼近连续函数 和 用无穷级数构造处处连续 但 处处不可导函数 的问题，最后对全文进行归纳总结。 关键词 ： 无穷级数； 计算；逼近；构造 In
2、finite Seriess Application Abstract:The Infinite series is a math concepts with long history.In fact its thinking originated in BC.Series classification include roughly Positive series， Staggered series， Function of series.The main properties of the series is the divergence feature of series.It is m
3、uch more important to take advantage of its infinitely divisible summation than research it.This article discuss its applications in the Integral calculation and the sum of series,try to solve the approximation of continuous functions by infinite series and structure everywhere continuous but not di
4、fferentiable everywhere function with infinite series. Key words:infinite series; consideration; approximation; Construction 目 录 1 无穷级数的背景 和内容 1 1.1 级数的起源与简介 1 1.2 级数 的主要内容 1 2 无穷级数在积分计算和级数求和方面的应用 7 2.1 无穷级数在积分计算中的应用 7 2.2 无穷级数在级数求和中的应用 8 3 用无穷级数逼近连续函数 13 3.1 连续函数的幂级数逼近 13 3.2 连续函数的傅里叶级数逼近 14 4 用无穷级
5、数构造处处连续 且 处处不可导的函数 16 结束语 17 致谢 18 参考文献 19 1 1 无穷级数的背景和内容 1.1 级数的起源与简介 无穷级数及其思想的起源可以追溯到公元以前 ,早在古希腊学者芝诺的二分法就涉及到把 1 分解成无穷级数 432 21212121，古代中国的 “ 一尺之棰，日取其半 ” 也含有与二分法相类似的思想，但是级数 最早被 正式 研究是在中世纪 (14 至 16 世纪 )的 印度 咯拉拉 学校 ，该校的 学者 马德哈瓦 (Madhava)和尼拉 坎特 哈 (Nilakantha)首先发现并着手研究无穷级数 ，之后由 造访 印度 的 欧洲传教士 传播到了欧洲 ,之后
6、和牛顿的微分紧密 地 结合在 了 一起 ，构成数学分析的两大支柱。 无穷级数 作为一个拥有悠久历史的数学思想，对它本身的研究并不是十分多，这是因为它仅仅是从数列中引申出来的一个概念，并不是一个全新的东西，比它本身更重要的是这一种数学思想 “ 分割，近似求和，取极限 ” 的应用，这种 思想 是数学史上的一种创新，因为难度不大，应用广，因此无穷级数的性质仅仅在讨论敛散性之后就少有讨论，主 要研究 方向放在了这种思想方法的应用上 ，比如 之后 出现的函数项级数，函数项级数中又出现 了 一致收敛性， 接着 出现了特殊的函数项级数 :幂级数。幂级数的出现为级数的应用又打开了一扇新的大门，从函数项级数到幂
7、级数的研究，使得函数这一复杂的数学形式得以在幂级数的 形态 下加以研究，这得益于函数的幂级数展开，在这基础之上，特殊坐标系下的函数也得以解放出来，比如三角坐标系中三角函数级数 又称傅里叶级数 ，之后又引申到周期函数 项 级数以及奇偶性函数 项 级数。而级数思想的另一体现是结合微分和积分，在这一广大领域中，发挥了很大的作用，从积分定义的产生，到利用积分求平面不规则图形的 面积，还有空间图形的面积之后 引申 到泛函等领域，然而由于级数自身的局限性，使得它不 可 能成为万能的数学工具，但是级数在以上领域 作出重大贡献 之后 在其他领域 应该还有发展的空间，其他的数学方法 与 级数 的结合 能令级数散
8、发出新的生命力 。 1.2 级数的主要内容 1.2.1 级数的定义 级数 的 定义的明确表述如下： 给定一个序列 na ,我们用 )( qpaqpn n 来表示 qpp aaa 1 的和 。 由 na 和这种表示方法 ,我们可以得到 ns ,其中 nk nn as 1 2 当然我们也可以用 321 aaa 或者更简单的 1n na )1( 来表示 ns 。 表达式 )1( 称为无穷级数 ,或简称为级数 。 1.2.2 数项级数 数项级数一般指无穷级数，在与函数项级数作比较时指的是正项级数和一 般项级数，而一般项级数又包括交错级数和绝对收敛级数。正项级数是在无穷级数的概念产生之后首先出现的概念，
9、指的是级数 1n na中每一项都大于等于 0 即 0na ，而一般项级数是和正项级数相对的概念，因此一般项级数的定义与正项级数相反，指的是级数 1n na中每一项不都大于等于 0 ，所以一般项级数又称为非正项级数，在一般项级数中，特殊的各项之间符号正负相间的级数又称为交错级数，在一般项级数中，由于出现了符号不统一的情况，所以讨论的敛散性分为绝对收敛和条件收敛。 1.2.3 函数项级数 函数项级数是级数的思想应用在函数领域后发展出来的一个概念，函数项级数的定义是：设),2,1)( nxun 为定义在区间 I 上的函数，则称 )()()()( 211 xuxuxuxu nn n为定义在区间 I 上
10、的函数项级数。由于函数项级数与函数的相关性，因此在函数项级数中出现了一个一致收敛的概念，具体内容在下面的级数的敛散性中介绍。 在函数项级数中，存在拥有特殊形式的幂级数：由 幂级数列 )( 0 nn xxa 所产生的函数项级数 0 0)(nnn xxa 称为幂级数，其中 na 称为幂级数系数，幂级数之所以特殊是因为它不仅仅是函数作用在级数之中的表现，更重要的是，幂级数反过来可以作为函数的一种表现形式，这主要是由于泰勒公式以及麦克劳林公式使得函数可以写成无穷项相加的形式。 此外还有一种建立在三角函数正交性上的傅里叶级数： 设函数 )(xf 是周期为 2 的周期函数 ，并在区间 , 上可积 ， 则
11、)s inc o s(2)( 10 nxbnxaaxf nn n 称为 )(xf 在 , 上的傅里叶级数 ， 将 右 端 级 数 逐 项 积 分 ， 则 有 ),1,0(,c o s)(1 nn x d xxfa n，3 ),2,1(,s in)(1 nn x d xxfb n ，傅里叶级数还可以扩展到以 l2 为周期的函数上，函数的 傅里叶级数 展开 的核心是任何周期函数都可以用正弦函数和 余弦 函数构成的无穷级数来表示 。 函数在级数中的应用发散到特殊函数时，产生幂级数 和傅里叶级数的 这一过程，大大 地 扩展了级数的应用性 。 也是级数真正开始跨领域应用的开始 :函数的 级 数 表达 ，
12、这一点使得级数能够以较简单的方法来表达更复杂的函数，换言之就是为函数多了一种表达方式，使得求函数的问题转化为求级数的问题，至此，级数思想在其他数学领域开始发挥越来越大的作用。 1.2.4 级数的敛散性 各种 级数的概念产生之后，首先出现并急待解决的问题就是级数的基本性质其中包括级数的敛散性与级数本身的计算，而这里 更 重要的就是级数的敛散性 。级数的敛散性定义如下：如果把 ns 称为级数的部分和，即 nk nn as 1当 ns 收敛于 s ,则称该级数收敛 ,记作 san n1,如果 ns 发散 ,则级 数也是发散的，这里 s 称为级数的和。 由级数收敛定义发展而来 最基本 的判断法则 的
13、是 级数收敛的柯西准则 :级数收敛的充要条件是，任给的一个正数 ，总存在正整数 N ，使得当 Nm 以及对任意的正整数 p ，都有 | 21 pmmm uuu 。 对于正数项级数， 有两个 新的收敛判断方法 :达朗贝尔判别法和柯西判别法，又可称为比式判别法和根式判别法。 比式判别法的定义如下： 对级数 1n na： )1( 若 1|limsup 1 nnn aa ，则收敛 ， )2( 若 1| 1 nnaa 或者对某个给定的正整数 0n ,有所有的 0nn ,则发散 。 根式判别法 的定义是： 对级数 1n na， 令 nnn a |suplim 则 ： )1( 若 1 ，则有级数 1n na
14、收敛 ； 4 )2( 若 1 ，则有级数 1n na发散 ； )3( 若 1 ，测试无意义 。 证明不赘述，从 应用 效果来看比式判别法一般比根式判别法更实用 ,这是因为计算比式比计算根式更简单 ，而且比式 判别法比根式判别法具有更广泛的应 用范围 。 在根式判别法和比式判别法 之后 还出现了 一个 更加简便 的比较原则 : 设 1n nu和 1n nv是两个正项级数，如果存在某正数 N ，对一切 Nn 都有 nnu ，则 : )1( 若级数 n 收敛，则级数 nu 也收敛 ； )2( 若级数 1n nu发散，则级数 1n nv也发散。 在一般项级数中，由于加入了绝对值，因此判断级数收敛出现了
15、绝对收敛与非绝对收敛，又称为条件收敛，判断级数绝对收敛与否的方法是分别讨论级数项在绝对值有无的情况下的收敛情况：对非正项级数 1n nu，如果有 1 |n nu收敛则称为绝对收敛，若 1 |n nu发散而 1n nu收敛则称为条件收敛，值得注意的是若级数绝对收敛，则必收敛。 函数应用于级数中出现的函数项 级数 还有一致收敛和收敛发散点（域）的定义。函数项级数一致收敛的定义： 设函数列 nf 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数 ，总存在某一正整数 N ，使得当 Nn 时，对一切 Dx ，都有 |)()(| xfxfn ，则称函数列 nf 在 D 上一致收敛于 f ，一致收敛定义是
16、在函数项级数中产生的一个全新的定义，它标志着级数思想在函数领域的应用。在全新的一致收敛定义出现后应运而生的判断函数项级数一致收敛 的 方法有威尔斯特拉斯判别法，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法，不赘述。在函数项级 数 1n nu中， nu 为关于未知数x 的函数，则对每一个 x 级数 1n nu的敛散性都可能不同，如果 1n nu在点 0x 发散，则称 0x 为级数1n nu 的发散点，而把所有发散点构成的集合称为级数 1n nu 的发散域，收敛点和收敛域的定义亦然。 5 特殊的函数项级数：幂 级数和傅里叶级数还有一些与一般函数项级数不同的地方。在幂级数中除了提到收敛定义，还提到了幂级数的收敛半径
17、：对幂级数 0nnnxa ，如果除了在点 0x 外还有收敛点，则必存在一个正数 R ，使得对任意满足 Rx| 的 x ，级数 0nnnxa 收敛，而对任意满足Rx| 的 x ，级数 0nnnxa 发散，则称 R 为该幂级数的收敛半径。傅里叶级数的收敛定理则可以直接求得其级数的收敛值： 设函数 )(xf 是以 2 为周期的周期函数且在区间 , 上按段光滑，则在 , x ， )(xf 的傅里叶级数 )s inc o s(2 10 nxbnxaa nn n 收敛于 )(xf 在点 x 的左，右极限的算术平均值 。 1.2.5 积分中的级数思想 级数思想在积分中也有体现： 在曲边梯形中，用已知的直边梯
18、形求解法已经不适用了，因此提出了 “ 分割，近似求和，取极限 ” 的 解决方法，这就是后来发展出来的定积分的背景，首先 由 区间的分割，再到函数的分割，而面积就接近于 上底 函数和 下底 函数在 范围内 分割之后产生的无穷多个长方形的和 。 区间的分割： 设闭区间 , ba 上有 1n 个点，依次为 bxxxxxa nn 1210 ，它们把 , ba 分割成 n 个小区间 nixx iii ,2,1, 1 。这些闭子区间构成对 , ba 的一个分割，记为, 21 nT ，小区间 i 的长度为 1 iii xxx ，并记 max| 1 ini xT 为分割 T 的模。 函数的分割： 设 f 是定
19、义在 , ba 上的一个函数，对于 , ba 的一个分割 , 21 nT 任取点 ii ，ni ,2,1 并作合式 ni ii xf1 )(称此式为函数 f 在 , ba 上的一个积分和，也称黎曼和。 定义定积分： 设 f 是定义在 , ba 上的一个函数， J 是一个确定的实数，若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 , ba 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 i ，只要 |T ，就有6 |)(| 1 Jxf ini i ，则称函数 f 在区间 , ba 上可积，数 J 称为函数 f 在区间 , ba 上的定积分 。 至此，定积分的 产生过程 已经完整的 呈现 出来，由此可见定积分的几何意义就是对于在区间, ba 上的连续函数 f ，当 ,0)( baxxf 时，定积分 J 就是该函数 f 与 x 轴所围成的所有封闭图形的面积，这里要注意一点，函数在 x 轴下的部分所围成的图形面积与实际所得的结果 J 成 相反数。
