1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 一些不等式的证明及推广 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 本文主要介绍了柯西不等式、 Young 不等式、赫尔德不等式 和 闵可斯基不等式 的基本形式以及它们的证明，此外还对这几个重要不等式的推广做了 比较系统的综述，并举例说明了这些不等式在各个方面的具体应用 。 关键字： 柯西不等式； Young 不等式；赫尔德不等式；闵可斯基不等式 The Proof And Generalization of Some Important Inequalities Abstract: This paper
2、summarized the basic form of several important inequalities and their proof, such as Cauchy inequality, Young inequality, Holder inequality and Minkowski inequality. In addition, this article introduces some generalizations of these inequalities and some applications in every aspect by taking exampl
3、es. Key words: Cauchy inequality; Young inequality; Holder inequality; Minkowski inequality; 目录 1 引言 . 1 2 柯西不等式 . 3 2.1 柯西不等式的定义 . 3 2.2 柯西不等式的几种证明方法 . 3 3 柯西不等式的推广及应用 . 8 3.1 在实数域上柯西不等式的几个推广结论 . 8 3.2 柯西不等式的推广形式 . 8 3.3 柯西不等式在欧氏空间的推广形式 . 10 3.4 证明不等式 . 10 3.5 用柯西不等式解释样本线性相关系数 . 12 4 Young 不等式 . 14
4、 4.1 Young 不等式的定义 . 14 4.2 Young 不等式的几种证明方法 . 14 4.3 带 项的 Young 不等式 . 15 4.4 Young 不等式（积分形式）的定义 . 16 4.5 Young 不等式（积分形式）的几种证明方法 . 16 4.6 Young 逆向不等式 . 17 4.7 Young 不等式与 Young 逆不等式的推广 . 18 5 赫尔德积分不等式 . 20 5.1 赫尔德积分不等式 . 20 5.2 赫尔德积分不等式的几种证明方法 . 20 5.3 赫尔德不等式的推广 . 23 结论 . 26 致谢 . 27 参考文献 . 28 1 1 引言 不
5、等关系是自然界中存在着的基本数学关系。近几年来，不等式在中学教学中得 到广泛的重视。不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。它的应用非常广泛，在初等数学和高等数学中都有重要的意义。特别是 20 世纪 90 年代，不等式的研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大。 近年来，这些重要不等式一直受到广泛的关注，不少学者对他们进行了较深入的研究与推广。本文主要是总结归纳相关的研究成果。如柯西不等式、 Young 不等式、赫尔德不等式和闵可斯基不等式的基 本形
6、式以及相关证明，此外本文还对这几个重要不等式的推广做了比较系统的综述，并举例说明了重要不等式在各个方面的具体应用。 柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。 柯西不等式是由大数学家柯西 （ Cauchy） 在研究数学分析中的 “ 流数 ” 问题时得到的。但从历史的角度讲 ，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz
7、不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要， 适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。 闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基 （ Minkowski） 于 1896 年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用 。 闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论 方面
8、 ，他对 二次型 进行了重要的研究。在 1881 年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了 高斯 、 狄利克雷 和 爱因斯坦 等人的论著。因为 高斯 曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基 根据 前人的工作 发现： 把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了 n 元二次型，建立了完2 整的理论体系。这样一来， 上述问题 就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯 基交给法国科学院的论文长达 140 页，远远超出了原题的范围。闵可夫斯基此后继续研究 n 元二次型的理论。他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数 线性变换 下的等价性，完成了
9、实系数正定二次型的约化理论，现称 “ Minkowski 约化理论 ” 。当闵可夫斯基用几何方法研究 n元二次型的约化问题时， 他 获得了十分精彩而清晰的结果。他把用这种方法建立起来的关于数的理论 称 为 “ 数的几何 ” ，其中包括著名的闵克夫斯基原理。由这里又引导出他在 “ 凸体几何 ” 方面的研究，这项研究的副产品就是著名的闵克夫斯基不等式 。 Young 不等式及与之相关的 赫尔德不等式 、 闵克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析数学中有着广泛的应用，对现代数学的发展起到了非常重要的作用。 通过 Young 不等式 我们 可以 证明 赫尔德不等式，进而 证明 闵克夫斯基不等式。虽
10、然赫尔德于 1889 年便在其著作中证明了赫尔德不等式，但是现在的绝大部分书籍 都采 用 Young 不等式做为引理来证明它。在数学分析、调和函数、泛函分析和偏微分方程等学科中上述三个不等式的身影处处可见，是使用得最为频繁，最为广泛的知识工具 。 Young 不等式及与之相关的赫尔德不等式、闵克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析数 学中有着广泛的应用，对现代数学的发展起到了非常重要的作用。 3 2 柯西不等式 2.1 柯西不等式 2,1 设有两组实数 naaa , 21 和 12,nb b b ，则 2 221 1 1n n ni i i ii i ia b a b ，当且仅当 1212
11、nnaaab b b时，等号成立。 2.2 柯西不等式的几种证明方法 证明 13 （简捷证明）设 ni iaA 12 ， ni ibB 12 ， ni icC 12 ，则 22111222121 222 niiiniiiniinii CbaBbC BaBbC BaCAB ， 即 2CAB 。证毕。 证明 24 （配方法） 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 22n n n n n n n n ni i i i i i i i i i i ii i i i i i i i ia b a b a b a b a b a b 2 2 2 21 1 1 1 1 11 22 n
12、 n n n n ni j i i j j j ii j i j j ia b a b a b a b ninj jinj jjiinj ji abbababa1 1221122 221 ninj jijjiiji abbababa1 12222 221 ninj ijji baba1 12 021 。 证毕。 证明 34 （判别式法）设 为任意实数，则 ni ini iini ini ii bbaaba 12211212 20 。 4 上述不等式的右边是关于 的一元二次多项式，且对于任意实数 都是非负的，则 2 221 1 14 4 0n n ni i i ii i ia b a b ， 即
13、 2221 1 1n n ni i i ii i ia b a b 。证毕。 证明 44 （参数法） 若 012 ni ia或 21 0nii b ，结论显然成立。 若 012 ni ia且 21 0nii b ，令 2211,iiiinniiabxy。 则由 iiii yxyx 222 1,2,in ，可知： ni ini iiini iini iibababbaa121212122 ,2,1 ni 从而：niiniiniiibaba12121211 ，于是有： ,211212 ni iini ini i baba证毕。 证明 54 （向量法） 设 n 维向量 1 2 1 2, , , ,
14、,nna a a b b b，则 ,cos 又 1122221 1 1,n n ni i i ii i ia b a b ，故 5 2221 1 1n n ni i i ii i ia b a b ， 即所证结论成立。 证明 64 （凸函数法） 设函数 ,2xxf 则有 02 xf 知， xf 在 , 为严格下凸函数，从而对任意一组实数 nxxx 21, 及 1 1 , 0 , 1 , 2 ,niii p p i n ， 有： ni iini ii xpxp 1221（ 2.1） 现设 nqqq , 21 为任意一组实数，记 ,1 ni iiiqqp 则 ,2,1,0,11 nipp ini
15、i 将之带入（ 2.1）得： ,112211 niniiininiiiixqqxq 即 ni ini iini ii qxqxq 11221。 令 ,21 ii bq ,21 iii axq 则由 ii xq, 的任意性可知 iiba, 可取任意实数，且有： ,121221 ni ini ini ii baba于是： 211212 ni iini ini i baba， 即所证结论成立。 证明 74 （数学归纳法） 当 1n 时，等号显然成立。 假设当 kn 时，结论成立，即 ,211212 ki iiki iki i baba则当 1kn 时， 6 2111211 kkki iiki ii
16、bababa212 11 1121 2 kkki kkiiki ii babababa 21211 22 12 121 21 2 kkki ikkiki iki i babababa 211 221211 21 2 kki ikkki iki i bbabba 112112 ki iki i ba， 即当 1kn 时结论成立。 综上可知：对任意的自然数 n，有： 211212 ni iini ini i baba， 即所证结论成立。 证明 85 （利用 Jensen 总和不等式） 考察函数 ,02,2,0,2 xxxxxx 故 2xx 是 ,0 上的凸函数，由 Jensen 总和不等式 nkknkkknkknkkkpxppxp112211 （其中 nkpk ,2,1,0 ），得 nk kknk knk kk xppxp 1 2121 。 取kkkkk baxbp ,2 ，则 nk knk knk kk abba 121221， 证毕。 证明 95 （利用行列式）因为
