1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 3R 中 常数磁场和位势薛定鄂算子的特征函数问题 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 :本文考虑 3 维欧氏空间中带常数磁场和电位势的薛定鄂算子 22 2 22 |22b bbH i y i x zx y z 的特征函数问题。本文通过研究得到，当磁场为 （ 1,1）时，算子 bH 的特征函数为( , ) ( )jk lx y h z ，特征值为 (2 2 2)kl,其中 12( , ) ( 2 ) ( ) ( )22ixjk j kyyx y e h h d ， 且 22 12( ) ( 1 ) ( )
2、l zlzl ldh z e edx 当 磁 场 为 (, )bb 时， 算子 bH 的 特 征 函 数 为 ( , ) ( )jk lbx b y h z ，特征值为(2 1) 2 1)k b l 。并证明所有的特征函数构成 23()LR 中的一组完备的正交基。 在第一章中，我们简要介绍了所研究问题的背景，以及研究的进展状况。第二章，介绍一些预备知识，主要是与所讨论的问题相关的 Hermite 函数、特殊 Hermite函数的一些基本知识。第三章中证明我们的主要结论。第四章给出一个总结。 关键词 ： 薛 定鄂算子；磁场，特征函数；特征值 .The Eigen-Functions of Sch
3、rodinger Operator with Constant Magnetic Fields in 3R Abstract： In this paper, we consider the eigenvalues and eigenfunctions of Schrodinger operators with constant magnetic fields and electric potentials, which are defined by 22 2 22 |22b bbH i y i x zx y z in 3R , Euclidean space. We at first prov
4、e that when the magnetic field is of the form （ 1,1） , the functions ( , ) ( )jk lx y h z are the eigenfunctions of the operator bH corresponding to the eigenvalue (2 2 2)kl,where 12( , ) ( 2 ) ( ) ( )22ixjk j kyyx y e h h d , and 22 12( ) ( 1 ) ( )l zlzl ldh z e edx . When the magnetic field is of
5、the form (, )bb , ( , ) ( )jk lbx b y h z are the eigenfunctions corresponding to the eigenvalue (2 1) 2 1)k b l . At last, we also show that all of the eigenfunctions are one of the complete orthogonal base in 23()LR . In chapter 1, we introduce the background of the problems we will study and simp
6、ly describe the development in recent years to research them. In chapter 2 we present some preliminary definitions and theory, such as Hermite functions, Special Hermite functions. In chapter 3, we prove the conclusions. We give a summary for our paper in chapter 4. Key words: Schrodinger operator;
7、magnetic fields; eigenfunction; eigenvalue. 目 录 1 背 景 . 1 2 预备知识 . 4 2.1 HERMITE 函数 . 4 2.2 特殊 HERMITE 函数 . 8 3 定理及其证明 . 13 3.1 定理 1 及其证明 . 13 3.2 定理 2 及其证明 . 15 3.3 定理 3 及其证明 . 19 4 总结 . 21 5 致谢 . 22 参考文献 . 23 1 1 背 景 函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，作为数学的一个 部分 ， 它经 历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系 。 不同函数空间上的算子具有
8、不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧性、谱性质、代数性质 (如正规性、亚正规性 ) 等几个方面 。基于这点，本课题考虑定义 3R 中 常数磁场和位势薛定鄂算子， 研究该算子的 特征函数问题。 我们在 学习波动方程的时候，给出了一维波动方程 222 ( , )uua f x ttx。在求解齐次一维波动方程的初边值问题时，我们通过采用分离变量法，在求解的过程中，得到两个微分方程2( ) ( ) 0T t a T t 和 ( ) ( ) 0X x X x ，并求解得到 222k kl ， ( 1,2,.)k 和( ) sinkk kX x C xl ， ( 1,2,.)k 。前者为特征
9、值，后者为满足边界条件 (0) 0X ， () 0Xl的特征函数。同样的，在学习一维热传导方程 222uuatx的时候，也采用同样的方法，可以将上述特征值和特征函数求解出来。同时用这种方法求解偏微分方程，在求解过程中展示了傅里叶级数的威力与作用 (见文献 1）。 我们已经证明了很多类算子谱结构的结论（见文献 2， 3）。常数磁场的 Schrodinger 算子 从某种意义上说是有区别的，它在 nR 中的形式为 （ 1.1） 2( / 2 ) , nbH u iB z z R ， 这里 B 是实 反对称矩阵。如果 B 非退化，则它的特征值有 jib 的形式，且 1( ,., )db b b 。适
10、当地选择坐标，则该算子为 （ 1.2） 221 ( ( ) ( ) )22d j j j jb j jj b y b xH x i y i ， 算子 (1.2)有相当特别的谱性质。谱是离散的特征值。 常数磁场的 Schrodinger 算子与 各向异性的Heisenberg 群 分析相关，虽然 Heisenberg 群和不同的 jb 代数同构，它们彼此不等距，因此它们的谱性质依赖于 1( ,., )db b b 的选择。我们考虑 Schrodinger 算子的谱展开和建立 RieszBochner 求和（与常规的差距在一个空间的 参数 p ， ）， B 为退化，则维数被认可且 2 n d l，
11、这里 2d是矩阵 B 的秩，于是算子（ 1.1）有 221 ( ( ) ( ) )22d j j j jb j j lj b y b xH x i y i ， 2 这里 l 是在 lR 内的拉普拉斯算子。当所有的 jb 等于 1 时，谱展开求和的研究如特殊 Hermite 展开（见文献 2,4）， 基本上使用了 与 Heisenberg 群和旋转不变性的联系。（以上内容参见文献 5） Thangavelu 研究了关于 Hermite 的 展开。定义了 Hermite 多项式 ()kHx： 22( ) ( 1 ) ( )kk x xk kdH x e edx ， 0,1,2k 以及 Hermit
12、e 函数 kh ： 212( ) ( ) xkkh x H x e ， 0,1,2k 并由此获得 Hermite 函数的一些性质。 Hermite 函数 kh 是 Hermite 算子 2 22dHxdx ，又可写成 *1 ()2H AA A A的特征函数 ,即有： ( ) (2 1)kkH h k h，且函数 kh 在 2( , )L Rdx 中形成一个正交族，同时 Hermite 函数 kh 也是Fourier 变换的特征函数。通过定义 ( ) V ( , )( )vvzz 有 2( ) ( 2 ) ( ( ) , )nvvz W z ，得出结论：特殊 Hermite 函数 v 形成一个在
13、 2()nLC 内的完全正交系。 又定义算子 L ： 11 ()2 n j j j jjL Z Z Z Z ， 说明了 特殊 Hermite 函数是在 nC 上的二阶椭圆型算子 L 的特征函数。通过简单的计算， L 可以写成形式 214zL z iN ，这里 N 是算子，1 ()njjj jjN x yyx 。我们有结论： Hermite算子 21()4z z 的特征函数是 v ，并且 函数 v 也可以用拉盖尔多项式表示。 在 ()pnLC 内给出一个函数 f ， 1 p ，依据特殊 Hermite 函数标准展开 f ： ( ) ( , ) ( )vvvf z f z ， v 是 Schwar
14、t 类函数，系数 ( , ) ( ) ( )nvvCf f z z d z 因为 f 在 2()nLC 里，以上级数在 2L 依范数收敛到 f 。 同时 ,Thangavelu 研究了 Riesz 平均和临界的指标，涉及到了对算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上内容参见文献 2） 程其襄等 在线性算子和线性泛函中，给出微分算子的定义以及微分算子的运算，对我们的计算研究有很大的帮助。 (见文献 6) 我们的问题熟悉 3R 中 常数磁场和位势薛定鄂算子的定义 ，对比磁场（ 1,1）时的特征函数，给3 出算子 bH 的特征值和特征 函数的描述。 二十世纪初，法国数学家 Frechet 用抽象的
15、形式表达了函数空间。指出：空间中的每一点都是函数，并引入了一类 L 空间。 Hilbert 在研究积分方程时，将一个函数看成是由它相应的标准正交函数系的 Fourier 系数确定的。 1907 年，德国数学家 Schimidt 发展了 Hilbert 这一思想，并将其抽象为一般的 2L 空间。他还据此导出了正交系的概念。之后 Riesz 进一步由积分方程导出的 pL 空间，开始对抽象算子理论进行研究，并引入了范数的概念。 二十世纪 20 年代， Banach 用三组公理建立了完备的赋范向量空间，称之为“ Banach 空间”。它包括 pL 空间，连续函数空间，有界可测函数空间等。 1932 年
16、发表了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理的线性算子理论。 1929 年和 1930 年 von Neumann 应用公理化方法深入地研究了 Hilbert 空间中的算子，建立了Hermite 算子和酉算子之间的联系。他又把有关结论推 广到无界算子，并发现了这种算子的谱理论。 后来， Hormander 进行了对椭圆型微分算子谱函数和特征函数展开以及线性偏微分算子的研究（见文献 7， 8）， Nicole Berline 对狄拉克算子非线性单调算子进行了研究（见文献 9）。陈恕行研究了拟微分算子（见文献 10）。钟怀杰 通过对黎斯算子类的专门探讨，反映一般 Banach 空间算子理论的特殊性
17、 （见文献 11） 。 孙炯，王忠 系统介绍并分析了有界线性算子、共轭算子、正常算子、自共轭算子、紧算子的结构 （见文献 12）。 在 数学 中， Hermite 多项式 是一种经典的 正交 多项式 族 。 Thangavelu 研 究给出了 Hermite 函数与特殊 Hermite 函数以及 Laguerre 函数的关系，以及函数的展开及性质。并指出了 Hermite 函数与算子特征函数之间的关系。介绍并证明了 Hermite 函数与 Fourier 变换之间存在的关系。同时，Thangavelu 证明了特殊 Hermite 函数的一些性质，并分析讨论它们展开的一些收敛性质和有界性情况。同
18、时也介绍了 Riesz 平均和临界的指标的情况 (见文献 2)。 G. Rozenblum 和 G. Tashchiyan 对 常数磁场的薛定鄂算子进行了研究，得出了一些研究算子的重要 的结论（见文献 5）。 但是求 3 维欧氏空间中带常数磁场和电位势的薛定 鄂 算子： 22 2 22 |22b bbH i y i x zx y z 的特征值和特征函数，并证明所有的特征函数成为 23()LR 中的一组完备的正交基的工作还没有研究。所以本文希望通过对实变函数泛函分析，高等代数，数学分析理论和技巧（详细参考文献6,13,14）的应用，以及 Thangavelu 对 Hermite 函数及特殊 He
19、rmite 函数的特征函数及特征值的研究，从中获取我们所需的方法， 解决以上 问题。 综合之前的研究，很多学者 深入地研究了 Hilbert 空间中的算子，建立了空间上的算子理论。算子我们并不陌生，研究从线性赋范空间 X 到另一个线性赋范空间 Y 的映照，就是算子。如果 Y 是4 数域，则称这种算子为泛函。对于微分算子 dD dx 就是从连续可微函数空间 1 , Cab 到 , Cab 上的算子。如果说函数是数与数之间的一个对应，那么算子可以说是函数与函数之间的对应。 由于之前的研究没有涉及到薛定 鄂 算子的特征函数问题上，所以这部分工作将是全新的工作。通过学习Thangavelu 关于 He
20、rmite 展开的讲义，了解 Hermite 函数的性质，以及熟悉微分算子的运算，将进行以上问题的研究。 2 预备知识 2.1 Hermite 函数 本章我们主要参考文献 2的第一章的内容。 Hermite 多项式 ()kHx在实数中被定义为： （ 2.1.1） 22( ) ( 1 ) ( )kk x xk kdH x e edx ， 0,1,2k 然后我们定义 Hermite 函数 kh ： 212( ) ( ) xkkh x H x e ， 0,1,2k 首先我们有下述的 Hermite 多项式形成的函数恒等方程。如果 w 1，则我们有 （ 2.1.2） 220() k xw wkkHx
21、wek ！ 这个很容易证明，通过泰勒展开这个函数右边部分，且 0w ，以及利用定义（ 2.1.1）计算它的导数，通过生成函数（ 2.1.2）我们得到以下关系： 12 ( )kkH kH x , 11( ) 2 ( ) ( )k k kH x xH x H x， 再根据 Hermite 函数 kh ，这些关系变形为： (2.1.3) 1( ) ( ) ( )kkd x h x h xdx ， 和 (2.1.4) 1( ) ( ) 2 ( )kkd x h x kh xdx 算子 dAxdx 和 * dAxdx在量子力学中被称为生成算子和零化算子。公式（ 2.1.3）和（ 2.1.4）给出了递推关
22、系： 5 112 ( ) ( ) 2 ( )k k kxh x h x kh x 现在，一个简单的计算 2 22dHxdx ， Hermite 算子可以写成形式： （ 2.1.5） *1 ()2H AA A A， Hermite 函数 kh 是这个算子的特征函数。事实上，由关系式（ 2.1.3），（ 2.1.4）和（ 2.1.5）很快给了 （ 2.1.6） ( ) (2 1)kkH h k h 它也证明了函数 kh 在 2( , )L Rdx 中形成一个正交族。它的证明可以通过积分关系： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k j k j j kk j h x h x h
23、 x h x h x h x ， 它是根据（ 2.1.6）得来的。我们想要适当地把它们正交化，于是它们将会形成一个正交族。 引理 2.1.1 对 w 1，我们有 （ 2.1.7） 2 22221 1 21 ()2 2 1120( ) ( ) ( 1 )2! wwx y x ykkkkkh x h y w w ek 证明：我们通过已知的公式开始 2221x u ixue e du ， 从它我们能得到公式 2 21 221( ) ( 2 ) xk k u ix ukh x i e u e d u ， 因此，我们有 222222222222222201()22201()2 2 221()( 1 )
24、2 ( )2()11()2 122( ) ( )2!1 ( 2 )!11( 1 )kkkkkkxyu v ix u iy vkxyu v ix u iy v uv wxyw u i x y w ux y wxywh x h ywkuv we e dud vke e dud ve e duw e e 即完成了引理的证明。 引理 2.1.2 2( ( ) 2 !kkh x dx k 6 证明：在公式（ 2.1.7）中令 xy ，我们有 2112 2 120( ( ) ) (1 )2! w xkk wkkhx w w ek ， 两边积分，我们有 21122 120112 220( ( ( ) ) )
25、 ( 1 )2!1( 1 ) ( )1wk xwk kkkkwh x d x w e d xkwwww 两边系数 相等，我们得到以上的定理。 于是我们定义标准化的 Hermite 函数 ()khx： 12( ) ( 2 ! ) ( )kkkh x k h x ， 于是它们在 2( , )L Rdx 中形成一个正交族，同时可以证明这个函数是完全正交族。最后 当我们估算某些由 Hermite 函数定义的内核时 ，我们需要知道 (0)kh 的值。这些值可以通过 Mehler 公式计算。生成函数（ 2.1.2）表明 ( ) ( 1) ( )kkkH x H x ，于是 2kh 是偶数， 21kh 是奇数。因此 21(0) 0kh ，2kh（ 0） 的值可以通过 112 2 22220 ( (0 ) ) (1 )kkk h w w ， 计算得到。 如果我们利用展开 122201()2(1 ) ( 1 ) kkKwwk ， 它跟随 221()1 2() ( 1)k kh k （ 0） ， 我们也需要一些 Hermite 函数渐近性质和估量。 我们已经明白， Hermite 函数是 H 算子的特征函数。非常有意思的是他们也是傅里叶变换的特征函数。 H 在傅里叶变换下是不变量这个一点也不惊讶，我们利用傅里叶变换的定义有： 1 ( ) ( )2 ixf e f x d x
