1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 中学数学中的一些解题思想和方法的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 数学思想方法对人们学习和应用数学知识解决问题的过程中的思维活动，起着指导和调控的作用。数学思想是数学的灵魂，“知识”是基 础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对 数学方法和数学思想的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本文大致的介绍了中学数学基本解题方法：配方法、数形结合法、化归法、构造法以及数学的基本思想。 精通解题方法，可以夯实解题基本
2、功，增强解题技巧，提高解题效率，促进对数学知识的熟练掌握。 关键词： 中学数学；解题；方法；思想；数学思维。 Some of the middle school mathematics problem-solving thoughts and methods of research Abstract:The method of mathematics plays the role of guidance and regulation for people to learn and applied mathematics knowledge to solve the problem in the
3、 process of thinking activity. The thought of mathematics is the soul of mathematics. Knowledge is foundation, methods is means, thought is deepening. Enhance mathematics quality core is to improve students mathematical method and mathematical thought understanding and using. Mathematics quality int
4、egrated embodiment is “ability“. In order to help the students master the key to solving problem solving, master thought method, this paper introduced the basic steamer for middle school mathematics problem solving method: pairing square, digital combine with graphics, tectonic, and the basic though
5、t of mathematics Key words: middle school mathematics; Problem solving; method; thought; the thought of mathematics. 目录 1 中学数学的解题方法和 思想 . 1 1.1 中学数学常见的解题方法和思想 . 1 1.2 数学解题方法和思想的培养 . 2 2 化归法 . 3 2.1 化归法的概念 . 3 2.2 数学中的化归思想 . 3 2.3 化归法在中学数学教学解题中的应用 . 5 3 数形结合 . 6 3.1 数形结合的思想方法 . 6 3.2 数形结合法在解题中的应用 . 7
6、 4 构造法 . 9 4.1 构造法的思想方法 . 9 4.2 构造法证明不等式 . 11 5 换元法 . 12 5.1 换元法在解方程中的巧用 . 12 6 数学思维 . 14 6.1 数学的直觉思维 . 14 6.2 如何培养数学直觉思维 . 15 总 结 . 17 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 18 1 1 中学数学的解题方法和思想 1.1 中学数学常见的解题方法和思想 在中学数学教学中，数学解题思想和方法有很多，最常见的有数形结合思想、构造思想、化归思想、换元思想、集合映射思想、逻辑分类思想等等。又有人称之为数形结合方法、构造法、换元法、参数法等；也有人干脆合二为一，
7、称数形结合思想方法、构造思想与方法。时而思想变成了方法，时而方法又成了思想。其实，并非人们不知道思想和方法的区别，这正说明了数 学思想与数学方法关系密切。但是，无论二者关系如何密切，仍为不同的体系。 方法属于方法论的范畴，是在思想指导下，进行实践操作的各种手段和经验的总结，方法是指向实践的，是理论用于实践的中介，方法是实施有关思想的技术手段。 思想属于世界观的范畴，是人们对自然界、人类社会和思维发展各领域认识的客观反映。常常指导人们的实践活动。思想是相应方法的精神实质与理论依据。 所以，数学解题思想就是从数学问题的解决过程中提炼出来，并能反应解题规律的文字性理论，是对加工处理问题信息时所运用的
8、方法、所采取的手段以及思维活动的本质反映 。它对问题解决有指导作用。数学解题方法对解题实践也有一定的指导作用，但它不及数学解题思想抽象、概括、深刻，指导我们解题实践活动的范围也不及解题思想广泛。数形结合、构造、逻辑分类等等都是解题方法，不能作为解题思想。 每道数学题不是只局限于一种解题方法，有时候我们会遇到一题多解，在这种情况下，利用简单的解题方法可以让我们在解题过程中节约很多时间，灵活运用这些解题方法可以把问题变得简单化。如下面这个例子，可以想到用均值换元法来解题，但我们也可以将它看成是一个几何问题。 例 1.1： 实数 : 1x 、 2x 、 2x 满足 1 2 3 1x x x ，求 2
9、221 2 3xxx的最小值。 方法 1： 由 1 2 3 1x x x 想到 “均值换元法 ”，于是引入了新的参数，即设1113xt，2213xt，3313xt，代入 2221 2 3xxx可求。 解： 由 1 2 3 1x x x ，设1113xt，2213xt，3313xt，其中 1 2 3 0t t t ， 2221 2 3xxx 2 2 21 2 31 1 1( ) ( ) ( )3 3 3t t t 2221 2 3 1 2 312+ ( )33 t t t t t t = 2221 2 31133ttt 所以 2221 2 3xxx的最小值是 13 。 2 方法 2：利用数形结合
10、法，将方程 1 2 3 1x x x 看作空间内的一个平面方程，则 2221 2 3xxx就是原点到这个平面距离的平方。若把这部分图形拿出来分析，也就是在一个四棱锥中，求顶点到地面的距离，最后求得最小值是 13 。 数学问题的解决就是人们感知问题情景呈现的各种信息后，把问题信息与认知结构相互作用，寻找问题信息与大脑中认知结构之间的联系，从而改变大脑认知结构的过程。所以问题解决的过程中包含着两种活动。第一种活动，就是加工信息所采取的实践操作活动，即采取哪些方法和手段进行信息加工。第二种活动，是信息加工的思维活动。即支配我们寻找加工信息的方法、策略的内在思维活动。所以，数学解题思想就是对这两种活动
11、客观的、内在的、本质的反映 。我们认为第一种活动的规律是化归思想，第二种活动 的规律是寻旧思想。所以，数学解题思想就是 化归寻旧思想 。 1.2 数学解题方法和思想的培养 中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想 方法不
12、仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。 1、结合初中数学大纲，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究 。 首先，要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法 提公因式法、运用公式法、 分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识方法思
13、想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。 2、以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中 。 教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。 3 3、重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法 。数学知识发生
14、的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力 。 2 化归法 2.1 化归法的概念 数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论
15、而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转 化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等 。这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法 -化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平
16、角，这就是转化。 所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是 把待解决的问题进行变形，转化，直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题解答的一种手段和方法。张奠宙、过伯祥著的数学方法论稿中指出：“所谓化归方法，是将一个问题 A进行变形，使其归结为另一个已能解决的问题 B，既然 B已可解决，那么 A也就能解决了”。 化归思想方法被古住今来许多科学家、实际工作者所重视，十七世纪法国数学家笛卡尔经过长期思考，创造了解析几何理论，他的理论基础就是利用坐标系把带有两个未知数的代数方程看成平面
17、上的一条曲线，从而利用代数方法研究几何问题。实际上，笛卡尔正是运用化 归的思想方法才创立了解析几何学。 2.2 数学中的化归思想 “化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。因此“化归”的4 方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。 1、 .映射法 映 射法是用以实现
18、化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”。利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将原来的问题转化为问题 A，然后，在求得问题 A的解答以后，再通过逆映射求得原问题的解。映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，使几何问题转化为代数问题。此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。 2、 恒等变形法 在数学解题中，恒等变形 占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由未知向已知
19、的化归，使我们比较容易地求得问题的解。 例 2.1：解下列方程 322 3 2 0x x x 分析：解上面两个方程，先利用恒等变形把它化为容易求解的方程。 可变为 (2 1)( 2) 0x x x 。 例 2.2：求证 32( ) 6 1 1 1 2f n n n n （ nN ）能被 6整除。 分析：把原式进行恒等变形，得到 32( ) 6 1 1 1 2f n n n n = ( 1)( 2 ) ( 3 ) 6n n n 从而，只需证明三个连续自然数之积能被 6整除即可，而这个问题是大家熟知的。 转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思
20、想方法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等。转化与化归是数学思想方法的灵魂。目标简单化、和谐统一性、目标具体化、标准形式化和低层次化都是化归的原则；各映射法、分割法和变形法都是转化的策略；一般化与特殊化的转化、正与反的转化、实际问题数学化、常量与变量的转化等都是化归的基本策略。正如前面所给出的，实现化归的方法是多种多样的。 5 2.3 化归法在中学数学教学解题中的应用 一、将未知的问题转化归结为已知的知识 将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种转化经常
21、可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以 通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。 例 2.3：求函数 s in c o s s in c o sy x x x x 的最值 分析：引入代换 sin cost x x，则 21sin co s ( 1)2x x t 将问题转化为熟悉的二次函数最值问题，极易求解。 解：设 sin cosx x t,则 2 1sin cos 2txx 2 211 ( 1 ) 122ty t t 2, 2t 1122y
22、且当 t= 2 即 x=2k+4 时， ymax= 2 +21 (k 为整数 ) 当 t=1 即 x= 2k 或 k时， ymin=1(k 为奇数 ) 二、将复杂问题转化归结为简单问题 。 复杂问题简单化是数学 解题中很常规的思考方法。若能恰当转化，可使问题迅速获解。如果我们引导学生注意分析问题，对问题进行逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性。 例 2.4：求 ( ) 3 s in ( 2 0 ) s in ( 8 0 )f x x x 的最大值 分析：该题若运用公式展开相当繁锁，难以得出结果，若做以下转化，则非常巧妙。 ( ) 3 s i n ( 2 0
23、) s i n ( 2 0 ) 6 0 f x x x = 73si n ( 2 0 ) c o s( 2 0 )22xx = )()20(13 为辅角xS i n 6 这样 ()fx的最大值即可得到。 三、数形之间的转化 注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。 例 2.5：求函数 f(x)= 11363 2424 xxxxx 的最大值。 分析：将函数式变形，得： 222222
24、)0()1()3()2()( xxxxxf 上式可看作“在抛物线 y=x2 上的点 P(x,x2)到点A(3,2)， B(0,1)的距离之差” 如图：由 | ABPBPA 知，当 P 在 AB 的延长线上的 P0 处时， f(x)取到最大值 |AB| 所以 fmax(x)= 10)12()03( 22 。 图（ 1） 3 数形结合 3.1 数形结合的思想方法 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形 结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 所谓数形结合，就是根据数与形
25、 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 。 数形结合的思想是学习和研究数学重要的基本思想之一。它不仅是一种好的解题方法，能使学生在运用它解题时，获得意想不到的效果，而且可以培养学生思维能力，可 以帮助提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。形与数的结合是一种重要的解题策略，它能使学生对问题易于理解，易于联想，易于推测，对解决问题，会起到启发、简化或验证的作用。 例 3.1：设 22| 16 0 , | 4 3 0 ,A x x B x x x I R x A y P P0 B 0
