1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 二阶微分方程的解法及应用 一、选题的背景、意义 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。到了 16 世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！ 17 世纪上半叶，随着函数观念的 建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大
2、师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。 17 世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。 17世纪到 18 世纪
3、是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从 18世纪下半叶到 19 世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论； 19 世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数； 19世纪至 20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 1 研究的基本内容： 本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。其中包括： 1.二阶可降阶的常微分方程 2“ 1 yy
4、 2. 二阶线性变系数 微分方程 f(x) 2r +p(x)r +q(x)=0 其中 r 为常数。 3. 二阶常系数齐次方程 y +py +qy = 0 4. 二 阶常系数非齐次线性微分方程 y + py + qy = f ( x) 5. 二阶变系数线性微分方程 y + p(x)y +q(x)y =f(x) 其中 p (x) 0。 另外还讨论了二阶微分方程在生物、天文、力学和物理等的科学领域还有在各种工程类型问题和实际生活中应用。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1、 本课题研究以文献研究法为主， 通过著作、报刊、杂志、网络等各种渠道，对与课题相关的文献和资料进行合理的搜集
5、，并比较各种解法。 2、研究的主要难点是 引入行列式符号求解二阶常系数非齐次线性微分方程的方法。 3、 课题的预期目标 (1)通过课题研究，对二阶微分方程的解法有一个更加系统的认识。 (2) 了解微分方程在各个科学领域和生活领域中的作用。 四、论文详细工作进度和安排 第一学期第 9 周至第 11 周： 收集资料，阅读相关文献，针对课题内容及要求作系统整理完成文献综述，修改，定稿。 2 第七学期第 11 周至第 15 周： 深入研读所收集的材料，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告； 翻译相关外文文献；修改，定稿，并上交文 献综述、开题报告，外文翻译。 第七学期第 15 周至第
6、17 周： 全面开展课题研究，按照研究方案和路线按计划完成各项工作，为撰写论文做好准备。 第七学期第 17 周至第 19 周： 根据研究所取得成果，严格按照毕业论文规范撰写论文初稿，并交指导老师审阅。 第八学期第 1 周至第 4 周： 对论文进行反复修改至完善。 第八学期第 5 周至第 15 周： 对所有毕业论文材料做审阅，修改，整理，定稿，做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。 五、主要参考文献： 1王高雄 ,周之铭 ,朱思铭 ,王寿松 .常微分方程（第三版） M.广州：高等教育出版社 ,2007. 2 周义仓 ,靳祯 ,秦军林 .常微分方程及其应用 -方法、理论、建模、计算机 M.北京：科学
7、出版社 ,2003. 3 黄赞 ,罗佩芳 .一类二阶微分方程的几种解法 J.广东：中国科技信息 ,2009. 4 何基好 ,秦勇飞 .一类二阶线性变系数微分方程通解的解法 J.贵州：高等教学研究 ,2010. 5 陈新一 .一类二阶常微分方程的特解 J.兰州：高等教学研究 ,2010. 6 熊灿 ,谢建新 .二阶常系数微分方程解法的简化 J.湖南：南昌工程学院报 ,2010. 7 朱德刚 .二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式 J.南京：高等数学研究 ,2010. 8 范小勤 ,李金洋 .变系数二阶线性微分方程的求解 J.广州：高等函授学报（自然科学3 报） ,2008. 9 王希超 ,徐胜
8、荣 ,刘彤 .用参数法解常微分方程 J.山东 ,泰安：山东农业大学学报（自然科学版） ,2009. 10 文香丹 .微分方程在证明微分中值定理类问题中的应用 J.吉林 ,延吉：延边大学学报（自然科学版 ） 2005. 11 欧阳亮 .二阶微分方程及其应用 J.山东：山东大学学报 (理学版 ),1985. 12 Morris W. Hirsch,Stephen Smale,Robert L. Devaney .Differential Equations, Dynamical systems, and an introduction to chaos M.USA:2004. 13 国振喜 .工程微分方程解法与实例 M.北京：机械工业出版社 ,2004. 14 朱家生 .数学史 M.北京：高等教育出版社 ,2004. 15 张良勇 ,董晓芳 .常微分方程的起源与发展 J.河北：高等函授学 报 ,2006. 16 Arrowsmith D K, Place C M. Dynamical, Differemtial equations, maps and chaotic behaviourM. London: Chapman and Hall,1922.
