1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 复数域内的函数幂级数展开及其应用 一、选题的背景、意义 函数 幂级数的展开一直是分析学研究的一个重点， 早在 14 世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。自 17 世纪初至 19 世纪末，幂级数展开问题成为一个非常活跃的研究领域。 1667 年，牛顿 (Isaac Newton， 1642-1727)发现了 的无穷级数表达式，即圆径求周公式。英国数 学家格雷戈里 (J Gregory， 1638-1675)发现了正弦和正矢的幂级数展开式。1701 年，法国传教士杜德美 (
2、P Jartoux， 1668-1720)来华，把这三个公式介绍给了中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成 (1681-1763)将其收入梅氏丛书辑要的附录赤水遗珍，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法” 。 其后明安图 (1692-1764)经过 30余年的不懈努力，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式 .牛顿在 1666 年通过无穷级数逐项积分的方法，推导出 arcsinz 的幂级数展开式，而在 1669 年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘 (Katahiro Takebe)，在 1722 年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。 1737 年，欧拉 (L
3、Euler， 1707-1783)在给伯努利 (J Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式。 1819 年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的割圆密率捷法第一卷抄本以后，“反复寻绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学 的垛积术研究推进了一大步 1。 在数学中，同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具。 从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单 、 灵活 、 明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数 。 函数幂级数展开的研究之所以如
4、此至关重要，是因为它 在理论上和实际中都有 非常广泛的 应用 ， 它结构简单 ， 通过幂级数的展开式可以表示函数 ， 利用幂级数和函数的分析性质 ，常常能够解决数学分析中很多疑难问题 ，尤其在近似计算中起着非常重要的作用。 例如 e 的值，小数点后的数我们不可能全部记下，而通过其幂级数展开式，即 0 ! nznzezn ，将 1z 代入，即可得到 e 的值，无论小数点后多少位。复变函数中，我们对解析函数常常要通过将其展成幂级数来研究，因此复数域内的函数幂级数展开是 复变函数论研究的重要课题。 函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点，幂级数的定义 2： 由幂级数列0 ( ) nna x x
5、 所产生的函数项级数 20 0 1 0 2 0 00 nnnnn a x x a a x x a x x a x x， 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在理论上和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。 函数展开为幂级数方法一般有两种：一是直接展开法，根据泰勒定理 3-11 ：设 fz在区域 D内解析， aD，只要圆 : K z a R 含于 D，则 fz 在 K内能展成幂级数 0nnnf z c z a， (4) 其中系数 112! nn nf f acdina. (5) : , 0 ; 0
6、, 1 , 2 , p a R n且展式是唯一的。 二是间接展开法。用直接展开法将函数展开成幂级数，工作量大，有时甚至是比较困难的，为了避免对余项的讨论，经常使用间接接展开法，巧妙地利用已知函数的展开式和幂级数的性质，常能化难为易，简化计算，收到事半功倍的效果。 间接法中包括待定系数法，利用级数的乘、除运算，微分方程法，部分分式与几何级数结合法，代换法等几种方法，这里不一一列举了。而且展开一个函数并不是只能用一种方法，有时，一个函数既 可分别用多种方法展开，也可多种方法并用展开。 巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级
7、数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚，达到良好的解题效果。 许多专家学者都对函数幂级数展开的实际应用做了研究。 利用幂级数的重要性质，我们可以发现函数幂级数展开在许多方面都有重要的应用： 一、幂级数在近似计算中的应用： 可用 arcsinx 的幂级数展开式取 1x 近似计算，也可用 arctanx 的幂级数展开式取 33x 近似计算；二、幂级数在计算积分中的应用：当 fx的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算 fx的定积分就遇到了困难。我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值；三、幂级数在求极限中的应用：求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一；四、另外，
8、 函数幂级数展开还可以应用到 数项级数求和、推导欧拉公式、求导数、组合概率计算等等。 幂级数的应用十分广泛，幂级数简单的结构形式和良好的性质使之成为一种有效的计算工具，也是 是表示函数与研究函数的有力工具。 用它解题往往思路清晰、条理清楚， 随着人们更深入的研究， 一定 能有效地推动数学领域的发展，其在各方面的 应用 也将更加 广阔。因此，也 有待我们这些后人更深入的研究，进一步扩大它的应用范围。 本课题的研究，笔者希望在前人的研究基础上，对函数幂级数展开的知识做一个系统的整理。 二、研究的 基本内容与拟解决的主要问题 本文研究的基本内容为 : 一、 引言 ，主要包括课题研究的背景 及 意义
9、； 二、 概括复数域内幂级数的含义和它具有的一些基本性质； 三、 归纳总结函数可以展成幂级数的判定条件； 四、 重点研究函数幂级数展开的方法，对前人得出的方法进行归纳整理，并举一些例题加以说明； 五、具体问题具体 分析 ，通过一些特殊例子，探讨函数是否能展开成幂级数，如果能应用何种方法展开，也包括不能展成幂级数的情况。 掌握复数域内函数的幂级数展开及其应用理论基础的同时，更应重视函数展开成幂级数的方法的研究。 在收集资料，阅读相关 文献之后，本课题的研究主要是形成系统材料，回顾幂级数的知识，对复数域内函数幂级数展开的判定条件、展开方法及应用做一个整体的归纳总结。 三、研究的方法与技术路线、研究
10、难点，预期达到的目标 一、 先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。主要总结前人对函数展成幂级数方法的探讨结果，再通过实例分析，了解函数幂级数展开的相关应用。 二 、 研究的主要难点 ：给定一个解析函数，判断是否能展开成幂级数，如果能有如何确定用何种方法将其展开成幂级数。 三、 预期达到的目 标：本文 全面总结 复变函数中的幂级数的概念、基本性质、函数展成幂级数的判定条件以及函数幂级数展开的一系列方法， 并且结合具体例题，给出 函数幂级数展开 的各种应用；通过本文的写作，对已学的课程（例如数学分析、复变函数等）进行巩固与提高，同时进一
11、步加深对幂级数的认识与了解。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 11 周至第 12 周：收集资料，阅读相关文献，形成系统材料，完成文献综述；翻译相关问题的外文文献。 第七学期第 13 周至第 14 周：深入分析问题，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告，修改定稿，签署意 见；上交文献综述、开题报告，外文翻译。 第七学期第 15 周至第 16 周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线指导学生撰写论文，完成论文初稿。 第八学期第 1 周至第 8 周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。 第八学期第 9 周至第 12 周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。 第八学期第 13
12、周至第 15 周：做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。 五、主要参考文献： 1 徐传胜 , 中国传统数学思想对幂级数理论的研究 J. 西安电子科技大学学报 ( 社会科学版 ).2006,16(2) :143-148. 2 华东师范大学数学系 .数学分析 （ 第三版 ） M.北京 :高等教育出版社 ,2007. 3 钟玉泉 .复变函数论 （ 第三版） M.北京 :高等教育出版社 ,2004. 4 孙清华 ,孙昊 .复变函数 内容、方法与技巧 M.武汉 :华中科技大学出版社 ,2003. 5 焦红伟 ,尹景本 .复变函数与积分变换 M.北京 :北京大学出版社 ,2007. 6 郑建华 .复变函数
13、M.北京 :清华大学出版社 ,2005. 7 刘子瑞 ,梅家斌 .复变函数与积分变换 M.北京 :科学出版社 ,2007. 8 谭小江 ,伍胜键 .复变函数简明教程 M.北京 :北京大学出版社 ,2006. 9 钟玉泉 .复变函数学习指导书 M.北京 :高等教育出版社 ,1996. 10 Lars V. Ahlfors. Complex Analysis (Third Edition)M: China Machine Press,2004. 11 James Ward Brown, Ruel V. Churchill. Complex Variables and Applications (S
14、eventh Edition) M: China Machine Press, 2004. 12 徐凤林 ,张秀丽 .幂级数和函数的解法综述 J.山东轻工业学院学报 (自然科学版 ).2006,20(1):94-98. 13 吴凤香 ,方晓华 .函数展成幂级数方法探讨 J.金华职业技术学院学报 .2003,3(4):40-42. 14 赵瑜 .浅谈幂级数在计算中的应用 J.成功 (教育版 ).2009, 8:282-283. 15 梁慧 .函数幂级数的展开和应用 J.中国新技术新产品 .2009, 8:208-209. 16 王欣 .有限三角和的经典分析方法 D.博士 学位 论文 ,大连理工大学 .2007.
