1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、 选题的背景、意义 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。 “ 矩阵 ” 这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目 的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的 概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并
2、首先发表了关于这个 题 目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵 的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生 于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学 三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。 1855 年，埃米特 (C.Hermite，
3、1822 1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后 来，克莱伯施 (A.Clebsch， 1831 1872)、布克海姆 (A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber)引入 矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论 。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和 初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
4、 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和 庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由 最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程 论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用 。 广义逆矩阵不仅在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理
5、论等许多领域中有着重要的应用，而且在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和 平面四杆机构综合中，还有 在求解离散型动态投入产出模型中都有广泛的 应用。这 使广义逆矩阵得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重 要分支。本文主要研究在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和 平面四杆机构综合中的应用。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本文研究的基本内容为 ： (一 )、 引言 ，主要包括课题研究的背景、研究意义等。 (二 )、 几种广义逆矩阵的叙述，包括 Moore Penrose 广义逆矩阵及其分类、左逆、右逆。 (三 )、 广义逆矩阵的一些性质以及证明过程。 (四 )、 广义逆矩阵的
6、一些应用，包括在解线性方程组、矩阵方程， 测量平差以及在 平面四杆机构综合 中 等方面的应用，给出相应的例题。 了解广义逆矩阵的几种定义，运用广义逆矩阵的 计算方法及其性质，不仅可以解系数矩阵是方阵的线性方程组，而且还可以解系数矩阵是 mn 的矩阵的一般线性方程，以及矩阵方程。可以提高利用广义逆矩阵解决实际问题的能力。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 （ 一 ） 、 先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。再通过实例分析，进一步了解广义逆矩阵的性质，能更熟练地运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。 （ 二 ）
7、、 研究的主要难点 ，如何运用广义 逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。 （ 三 ） 、 预期达到的目标， 通过本课题的研究， 学习广义逆矩阵的性质，能运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 9 周至第 11 周：论文选题，查阅文献资料，收集信息； 第七学期第 12 周至第 18 周：在广泛查阅文献资料的基础上，完成综述及其论文开题报告，完成外文翻译； 第八学期第 1 周至第 3 周： 全面开展课题研究，完成论文初稿 ； 第八学期第 4 周至第 13 周：反复修改毕业论文，最后定稿，准备答辩。 五、参考文献： 1.尹钊，贾尚晖 .Moore Pen
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