1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 几类常系数线性微分方程解法讨论 一、选题的背景、意义 常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出 这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是 它在应用上的重要作用。特别是作为 Newton 力学的得力助手 ， 在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。 Sir I Newtont 通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。海王星的存在是天 文学家 U Le Verrier 和 J Adams 先通过微分方程的方法推算出来，然后才实
2、际观测到的，这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大能量。随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援 如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 反过来，常微分进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。现在，常微分方程在很多学科
3、领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 大家知道， 许多数学题都不仅仅只有一种解题方法，对于 常系数线性 微分方程也是一样，我们可以用很多种方法来求解它。例如，特征方程法、常数变易法、升降法、叠加法等等。 本文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关知识， 研究讨论
4、常系数线性微分方程的解法 。通过研究讨论求解 常系数线性微分方程 的多种方法从而认识到它们各自的优缺点以及适用性。 先从定义出发，给出相关的一些基本概念，如微分方程、常微分方程等等。 定义 11 ：一般地，联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，叫做 微分方程 . 定义 21 ：如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为 常微分方程 . 定义 31 :常系数线性微分方程是线性微分方程中的一个概念。 n 阶线性微分方程 )()(t)()( 1111 tfxtadtdxadt xdtadt xd nnnnnn （ 1.1） 其中 ( )( 1, 2,., )ia t i n 及 (
5、tf 都是区间 a t b 上的连续函数。如果 0)( tf 则方程（ 1.1）变成0)()()( 1111 xtadtdxtadt xdtadt xd nnnnnn (1.2) 我们称它为 n 阶齐次线性微分方程 ，简称 齐次线性微分方程 ，而称一般的方程（ 1.1）为 n 阶非齐次线性微分方程， 简称 非齐次线性微分方程。 定义 41 ：设齐次线性微分 方程中 所有系数都是常数，即方程有如下形状 0 1111 xadtdxadt xdadt xdxL nnnnnn （ 1.3） 其中 12, ,., na a a 为常数。我们称（ 1.3）为 n 阶常系数齐次线性微分方程； 若 )( 11
6、11 tfxadtdxadt xdadt xdxL nnnnnn (1.4) 其中 12, ,., na a a 为常数 ,而 )(tf 为连续函数。我们称（ 1.4）为 n 阶常系数非齐次线性微分方程。 研究讨论常系数线性齐次微分方程的解法 （ 1）特征方程法（ 在 二阶常系数齐次线性微分方程中 具体介绍 ） 方程 0y py qy 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 pq、 均为常数。如果 12yy、 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 1 1 2 2y C y C y就是它的通解 我们看看 能否适当选取 r , 使 rxye 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 rx
7、ye 代入方程 0y py qy 得 2( ) 0rxr pr q e 由此可见 只要 r 满足代数方程 2 0r pr q 函数 rxye 就是微分方程的解。方程 2 0r pr q 叫做微分方程 0y py qy 的 特征方程 特征方程的两个根 12rr、 可用公式 2 422,1 qppr 求出。 特征方程的根与通解的关系： （ a） 特征方程有两个不相等的实根 12rr、 时 函数 xrey 11 、 xrey 22 是方程的两个线性无关的解 因此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21 （ b） 特征方程有两个相等的实根 12rr 时 函数 xrey 11 、 xrxey 12
8、 是二阶常系数齐次线性微分方 程两个线性无关的解 因此方程的通解为 xrxr xeCeCy 11 21 （ c） 特征方程有一对共轭复根 ir 2,1 时 函数 xiey )( 、 xiey )( 是微分方程的两 个线性无关的复数形式的解 函数 xey x cos 、 xey x sin 是微分方程的两个线性无关的实数 形式的解 函数 xiey )(1 和 xiey )(2 都是方程的解 而由欧拉公式 得 )s in( c o s)(1 xixeey xxi ， )s in( c o s)(2 xixeey xxi xeyy x c o s221 ， )(21c o s 21 yyxe x ，
9、 xieyy x s in221 ， )(21s in 21 yyixe x 。 故 xiey )(1 、 xiey )(2 也是 方程解 。 可以验证 xey x cos1 、 xey x sin2 是方程的线性无关解 。因此方程的通解为 )s inc o s( 21 xCxCey x 。 求二阶常系数齐次线性微分方程 0y py qy 的通解的步骤为： 第一步 写出微分方程的特征方程 2 0r pr q 第二步 求出特征方程的两个根 12rr、 。 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解。 2 （ 2）常数变易法 将常数变易法应用于二、三阶常系数齐次线性微分方程求解，得
10、到一种易于掌握的方法，其优点是无需 求特解，无需求基本解组，但可求通解。 11 研究讨论常系数线性 非 齐次微分方程的解法 （ 1）常数变易法 将常数变易法应用于二、三阶常系数非齐次线性微分方程求解，得到一种易于掌握的方法，其优点是无需求特解，无需求基本解组，但可求通解。 11 （ 2）降阶法与升阶法 介绍两种求常系数非齐次线性微分方程特解的简便方法 , 并且给出了一些实例 , 从而避免了一般教材介绍的利用待定系数法求特解所带来的繁琐计算。 1、降阶法 定理 113 ： 若 ( )y py qy f x 对应的齐次方程的特征根为 12,rr, 则方程的通解为 1 2 1 2() ( ) r x
11、 r r x r xy e e f x e dx dx 我们可以利用该通解式 , 令积分常数均为 0,即得原方程的一个特解0y 。 这种解法不仅推广了自由项的形式 , 而且可避免待定系数法之繁锁。 定理 213 ： 若 ( )y py qy f x 对应的齐次方程的特征根为 12,rr。 （ 1）当 12rr 时，原方程的特解为2 2 1 10211 ( ) ( ) r x r x r x r xy e f x e d x e e f x d xrr （积分常数为 0），特别地， 12rr ，且为共轭复数 abi 时，有 0 s i n ( ) c o s c o s ( ) s i n ax
12、 a x a xey b x e f x b x d x b x e f x b x d xb 。 (2) 当 12r r r 时 , 原方程的特解为 0 ( ) ( ) r x r x r xy e x f x e d x x e f x d x。 2、升阶法 我们先考虑 ( ) ( )f x p x 为多项式的情况 , 可设 11 1 0( ) . . .nnnnp x a x a x a x a ，现在求 ( )y py qy f x 的一个特解。对 ( )y py qy f x 两端连续做 n 次求导 , ( 3) 1 1 .nny p y q y a n x a . ( 2 ) (
13、1 ) ( ) !n n n ny p y q y a n 从上面一系列式子中的最后一个 , 可令 () 1 !nny a nq，此时 ( 2) ( 1) 0nnyy，这样由 ( ) ( 1),nnyy 通过最后第二个式子可得 ( 1)ny , 如此往上推 , 一直到 ( )y py qy f x , 可得一个特解 y ，我们称这 个方法为升阶法。 （ 3）比较系数法 现在讨论常系数非齐线性方程 111 1 ()nnnnx x xL x a a a x f td d dd t d t d t （ 3.1） 的求解问题，这里 12, , , na a a 是常数，而 ()ft 为连续函数。 类型
14、 设 10 1 1() m m tmmf t b t b t b t b e ，其中 及 ( 1, 2, , )ib i n 为 实常数，那么方程（ 3.1）有形如 10 1 1k m m tmmx t B t B t B t B e （ 3.2） 的特解，其中 k 为特征方程 ( ) 0F 的根 的重数（单根相当于 1k ；当 不是特征根时，取 0k ），而 01, , , mB B B 是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 类型 设 ( ) ( ) c o s ( ) s in tf t A t t B t t e ，其中 ， 为常数，而 ()At ， ()Bt 是带实系数的 t 的多项
15、式，其中一个的次数为 m ，而另一个的次数不超过 m ，那么我们有如下结论：方程（ 3.1）有形如 ( ) c o s ( ) s inktx t P t t Q t t e (3.3) 的特解，这里 k 为特征方程 ( ) 0F 的根 i 的重数，而 ()Pt ， ()Qt 均为待定的带实系数的次数不高于 m 的 t 的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。 （ 4） 拉普拉斯变换法 常系数线性方程（组）可以应用拉普拉斯变换法来求解 ,积分 dttfetFtf st )()()( 0 称为函数 )(tf 的 拉普拉 斯变换 .其中 )(tf 在 0t 上有定义 .且满足 ),(|)(| 为正
16、常数 MMetf t ,称)(tf 为 原函数 , )(tF 为 变函数 。 1 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1、研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料、参考文献，以学过的相关知识，在前人的研究论述基础上，应用不同的方法来解决几 类常系数线性微分方程问题，并通过比较同类方程不同解法的优越性采取了从大量阅读已有的数据资料 然后对这些内容进行归纳总结 最后运用相关知识更好的认识现实中的常系数线性微分方程。 2、研究难点 （ 1）很少有专门介绍常系数线性微分方程的书籍，可供查阅的资料大都雷同且有限。 （ 2）如何用微分原理解决实际、具体问题，找出信息与公式的联系。 （ 3）
17、缺少针对性的书籍所以很难对常系数线性微分方程深入地研究。 3、预期达到的目标 本文主要研究几类常系数线性微分方程的解法。在这里主要介绍 :(1)常数变易法； (2)特征方程法 ；(3)比较系数法； (4)降阶法与升阶法； (5)拉普拉斯变换法。 通过研究讨论求解 常系数线性微分方程 的多种方法从而认识到它们各自的优缺点以及适用性。 四、论文详细工作进度和安排 2011-02-21 至 2011-03-20 完成初稿； 2011-03-21 至 2011-04-20 在导师的指导下完成第一次修改； 2011-04-21 至 2011-05-20 在导师的指导下完成第二次修改并定稿； 2011-0
18、5-21 至 2011-05-23 准备论文答辩。 五、参考文献 1王高雄 ,周之铭 ,朱思铭等 .常微分方程 M.第三 版 .北京 :高等教育出版社 . 2006:16-17,120-121,136-144. 2时宝 ,黄朝炎 .微分方程基础及其应用 M.北京 :科学出版社 .2007:6-7. 3丁同仁 ,李承治 .常微分方程教程 M.第二版 .北京 :高等教育出版社 .2004:1-4. 4周义仓 ,靳祯 ,秦军林 .常微分方程及其应用 M.北京 :科学出版社 .2003:1-7 5Han Bo, Cao Li. A kind of semi2implicitmethods for no
19、nlinear equationsJ.JOU.JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEI LONG JIANG UNIVERSITY.2008： 25(6),751-754. 6Dennis G.Zill,Michael R.Cullen. 微分方程与边界值问题 .英文版 M.第五版 .北京：机械工业出版社 , 2003: 158-163 7钱祥征 ,黄立宏 .常微分方程 M.湖南 :湖南大学出版社 .2007:5-6. 8杨国梁 ,周周 ,杨志勇等 .二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一种求法 J.内江师专学院学报 .2009,24:248-250. 9莫里斯克莱因
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