1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、选题的背景、意义 （ 1）选题的背景、意义 “矩阵 (Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。 19世纪 50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行 H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前 l世纪中国的九章算术就已经 用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独
2、立完善的矩阵理论。 18世纪末到 19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。 20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展 1 。 线性代数（ Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要 课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应
3、用于自然科学和社会科学中 2 。 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到 n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点 。 1888年，皮亚诺以公理 的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况
4、。 “ 代数 ” 这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“ 阿尔热巴拉 ” ，直到 1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为 “ 代数学 ” ，一直沿用至今 3 4 。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 （ 2）国内外研究现状和发展趋势 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术） 5 。 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密 码学
5、、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有 方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法
6、。这就是实数向量空间的第一个例子 6 。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的 “ 有序 ” 列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。 比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（ GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国 , 美国 , 英国 , 法国 , 德国 , 西班牙 , 印度 , 澳大利亚 )，可以使用向
7、量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上 7 。 作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有 ： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变
8、换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 我们可以简单地说数学中的线性问题 -那些表现出线性的问题 是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。 （ 3）研究现状 矩阵特征问题是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研
9、究课题。矩阵特征问题不仅可以直接解决数学中诸如非线性规划常微分方程以及其他各类数学计算问题，而且在结构 力学工程设计计算物理和量子力学中都发挥着重要的作用在科学与工程计算中，求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一如动力系统和结构系统中的振动问题电力系统的静态稳定分析上工程设计中的某些临界值的确定等都可归结为求解矩阵特征值问题仿真实验结果表明，该方法求解精度高收敛速度快，可以有效获得任意矩阵的特征值 8 9 。 例如，复杂网络是一类既非完全规则又非完全随机的网络 1,2。这种网络广泛存在于物理 ,化学 ,生物及社会系统当中。模块是许多复 杂网络的最突出的属性之一。目前很多关于模块划分的一般算法对具有
10、二部图拓扑结构的网络都不适用 ,因为他们大多是将二部图投影到单模式网络后再划分 ,这样丢失了很多信息 ,为此一些科学家开始探索有关二部图模块划分的算法 ,也有科学家开始探索网络的二分性 ,并定义了一些定量测量指标。而我们设计一个基于邻接矩阵特征向量来判定二部图的方法，先介绍二部图及其性质，再利用中介绍判定算法，最后通过实例就可以来验证算法的有效性 10 11 。 二、研究的基本内 容与拟解决的主要问题 在阅读了有关矩阵，特别是矩阵特征值、特征向量的论著及文献后， 本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用。 三、研究的方法与技术路线、研
11、究难点，预期达到的目标 （ 1）研究方法及路线 阅读有关矩阵，特别是矩阵应用的论著及文献，总结矩阵研究的发展历史及其应用 （ 2）研究难点 矩阵的应用非常广泛，例如，信息科学，经济学，工程，物流，网络等。因此要求学生阅读大量的有关材料，必需具备一定阅读文献的能力，具有较强的分析能力，扎实的数学运算能力 和应用知识解决实际问题的能力。 （ 3）预期目标 通过本文的研究，可以更深入的了解矩阵，了解矩阵的发展历史以及它的应用前景，能够运用矩阵解决实际问题。 四、论文详细工作进度和安排 1 收集资料，收集资料，阅读相关文献，对矩阵特征值、特征向量在实际中的应用形成系统材料，并对相关矩阵特征值、特征向量
12、在实际中的应用作系统整理完成文献综述；（第七学期第 9周至第 12周） 2 深入分析矩阵特征值、特征向量实际应用的各个角度，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告；翻译相关问题的外文文献；上交文献综述、开题报 告，外文翻译 .（ 第七学期第13周至第 17周） 3 全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，从各个不同的角度分析矩阵特征值、特征向量的实际应用，并完成论文初稿；（第八学期第 1周至第 3周） 4 继续完善论文初稿；（第八学期第 4周至第 8周） 5 对矩阵特征值、特征向量在实践中的应用作研究总结；（第八学期第 8周至第 10周 :） 6 对论文进行修改完善，定稿；
13、（第八学期第 11周至第 12周） 7 做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩 .（第八学期第 13周至第 14周 :） 五、主要参考文献： 1李乔 .矩 阵 八 讲 M.上海 :上 海 科 学 技 术 出 版 社 ,1998,8.10-15 2 戴华 .矩 阵 论 M.北京 :科 学 出 版 社 .2001,5.12-14 3 M.克莱因 .古 今 数 学 思 想 (二 )M.上海 :上 海 科 学 技 术 出 版 社 .2002,166. 4 A.D.亚 历 山 大 洛 夫 等 著 .数 学 一 它 的 内 容 ,方 法 和 意 义 M.北京 :科学出版社 .2001,8.8-9. 5何 其
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