1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 控制系统中 Lyapunov 函数构造的研究 一、 选题的背景、意义 稳定性理论是 19世纪 80年代由俄国数学家 Lyapunov创建的 ,稳定性理论在自动控制、航天技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用 其概念和理论发展十分迅速 . 线性定常系统的稳定性分析方法很多 .然而 ,对于非线性系统和线性时变系统 ,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难 ,甚至不可能 .Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法，也是目前为止最先进的方法，为控制论中系统的稳 定性判定提供了理论依据 . 一百多年以前 (1892年 )
2、,伟大的俄国数学力学家亚历山大 米哈依诺维奇李亚普诺夫 (A.M.Lyapunov) (1857-1918),以其天才条件和精心研究 ,创造性地发表了其博士论文 “运动稳定性的一般问题 “,给出了稳定性概念的严格数学定义 ,并提出了解决稳定性问题的方法 ,从而奠定了现代稳定性理论的基础 . 在这一历史性著作中 ,Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性 ,运动及其稳定性 ,扰动方程的稳定性 ,得到了系统的给定运动 (包括平衡状态 )的稳定性 ,等价于给定运动 (包括平衡状态 )的扰 动方程之原点 (或零解 )的稳定性 . 在上述基础上 ,Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法 ,即 L
3、yapunov第一法和 Lyapunov第二法 . 第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性 ,即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性 ; 第二法则是一种定性方法 ,它无需求解困难的非线性微分方程 ,而转而构造一个 Lyapunov函数 ,研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定 ,来得到稳定性的结论 .这一方法在学术界广泛应用 ,影响极其深远 .一般我们所说的 Lyapunov方 法就是指 Lyapunov第二法 . 虽然在非线性系统的稳定性分析中 ,Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位 ,但在具体确定许多非线性系统的稳定性时 ,却并不
4、是直截了当的 .技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要 . 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本论文主要研究在实际应用的简单问题当中如何通过构造 Lyapunov函数来判别系统的稳定性，首先对控制论这门学科和 Lyapunov函数进行简单介绍，然后针对不同的问题给出 Lyapunov函数的构造方法，给出 Lyapunov稳定性的定义及判据等，然后在两类问题当中 进行一些举例与应用 .针对线性系统相关问题利用构造 Lyapunov函数的方法判断其稳定性 .由于非线性系统当中没有通用的 Lyapunov函数构造，所以在线性系统的基础上，运用类比法来对非线性系统当中的具体问题进行判别，在非线性
5、系统的问题中主要研究下面的三阶非线性时滞微分系统零解的全局渐近稳定性 : ( , , ) ( , ) ( ) ( ( ) ) 0x g x x x f x x h x x t ,其中 , ( , , 0 ) ( , 0 ) (0 ) 0g x y f x , ( 0) 是常量 , 函数 f g h 、 、 、 具有连续的二阶导数。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 文献分析法：文献分析法主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究形成对事实的科学认识的方法。文献分析法可以说是贯穿于全文始终的，从选题、论文的架构、撰写等环节都使用了文献分析法。详细阅读相关现代舞方面的书籍、杂
6、志等专著。给出线性控制系统的稳定性的概念，学习并给出 Lyapunov方法，包括 Lyapunov稳定性第一法（间接法）、 Lyapunov稳定性第二法（直接法），尤其是第二方法。将给出 Lyapunov函 数的规则化方法作为本次论文最重要的目标，研究如何构造 Lyapunov函数，针对一些简单的线性和非线性控制系统，寻找构造 Lyapunov函数的构造方法。本着作为一名数学专业的学生的宗旨，充分利用专业优势，应用所学过的高等数学数学分析等专业知识，研究这些内容和理论在控制论中的应用，从而深刻的体会数学的重要性。 四、 计划进度： 第七学期第 10 周至第 11 周：收集资料，阅读相关文献，形
7、成系统材料，完成文献综述；翻译相关问题的外文文献。 第七学期第 12 周至第 14 周：深入分析问题，建立研究和解决问题的基本方案和技 术路线，撰写开题报告，修改定稿，签署意见；上交文献综述、开题报告，外文翻译。 第七学期第 15 周至第 16 周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线指导学生撰写论文，完成论文初稿。 第八学期第 1 周至第 8 周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。 第八学期第 9 周至第 12 周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。 第八学期第 13 周至第 15 周：做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。 五、主要参考文献： 1廖晓昕 .稳定性的理论方法与应用 M.武汉
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