1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 凸函数的性质的讨论 一、 选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 凸函数是凸分析的重要研究对象，包括凸函数的基本性质、运算、连续性等。凸函数的研究结果已在许多领域得到了广泛应用，例如在不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数理经济等中。可以说，凸函数是一类非常重要的函数，在不等式中的研究尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。 凸性是一种几何性质，也是一种代数性质，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态 ，把握区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数
2、的定性分析。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线下方的函数。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 下面我们先给出凸函数的一些定义： 定义 13 设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 12,xx和实数 (0,1) ，总有 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x （ 1） 则称 f 为 I 上的凸函数。反之，则称为凹函数。 如上式中不等式 改为严格不等式，则相应的函数称为严
3、格凸函数或严格凹函数。 注 1：容易证明，若 f 为区间 I 上的凸函数，则 f 为区间 I 上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。 下面给出凸函数的两个等价定义。 定义 22 设 ()fx在区间 , ab 上有定义， 1 2 3, , , x x x a b，且 1 2 3x x x，有 31212 1 3 1( ) ( )( ) ( ) f x f xf x f xx x x x 3232( ) ( )f x f xxx 成立，则称 ()fx为凸函数。 定义 32 设 ()fx在区间 , ab 上有定义， 1 2 3, , , x x x a b，且 1 2 3x x x，有 11223
4、31 ( )1 ( ) 01 ( )x f xx f xx f x 成立，则 ()fx为 , ab 上的凸函数。 为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两个定义。 定义 44 某集 合称为凸集，是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合中。 定义 54 设 X 是一个线性空间， 12,x x X 为任意两点，称 1 2 1 2 , | ( 1 ) , 0 , 1 x x x X x x x 为连接 12,xx的闭线段。 定义 64 设 X 是一个线性空间，子集 AX 称为凸集，是指对 12,x x A及 0,1有 12(1 )x x A 或
5、1 2 1 2, , , x x A x x A 定义 74 设 :( , )f a b R 为定义在 R 中的开 区间 ( , ) : | a b x R a x b 上的实值函数，这里 ,ab满足 ab - 。则 下列集合 2 ( , ) | ( , ) , ( ) e p if x R x a b f x 称为函数的上图 ()epigraph 。 定义 84 如果函数 :( , )f a b R 的上图 epif 是凸集，则 f 称为 (, )ab 上的凸函数。 有了凸函数的定义，下面我们再给出它的一些性质： 性质 11 若 ()fx为凹函数且 ( ) 0fx ， nxR ，则 1()f
6、x为凸函数；反之不成立，即若 ( ) 0fx 为凸函数， 1()fx不一定为凹函数。 证 根据假设，要证明 1()fx为凸函数，只要证明 , nx y R， (0,1) ，有 11( (1 ) ) ( ) ( )f x y f x f y （ 2） 事实上，因 ( ) 0fx 为凹函 数，故有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y （ 3） 所以 11( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y 从而，要证明（ 2）只要证明 11( ) (1 ) ( ) ( ) ( )f x f y f x f y （ 4） 即可，注意到 22( ) (
7、 ) 2 ( ) ( )f x f y f x f y，可得（ 4）式显然成立，从而（ 2）式成立。这说明 1()fx为凸函数。 另一方面，当 ( ) 0fx 为凸函数时， 1()fx不一定为凹函数，例如 11( ) :f x R R ，() xf x e 0 为凸函数，但 1()fx xe 仍为凸函数。 性质 21 设 ()fx为 nR 上的凸函数，则 ( ) ( ) ( ( ) | ( ) |)g x f x f x f x亦为凸函数。 证 若 nxR ， ( ) 0fx 或 ( ) 0fx ，则 ()gx 显然为凸函数。下面用凸函数的定义证明本定理。 只要证明： , nx y R， (0
8、,1) ，有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )g x y g x g y （ 5） 分三种情况讨论： （ i）当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，因 ()fx为凸函数，故 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 0f x y f x f y 此时，因 ( ) 0, ( ) 0g x g y，则 ( (1 ) ) 0g x y ，故（ 5）式成立。 （ ii） 当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，若 ( (1 ) ) 0f x y ，则（ 5）式显然成立。若( (1 ) ) 0f x y ，则有 2( (1 ) ) 2 ( (1 ) )g x y f x y 2
9、2 ( ( ) (1 ) ( ) )f x f y 222 ( ( ) (1 ) ( ) )f x f y ( ) (1 ) ( )g x g y ， 从而（ 5）式成立。 （ iii）当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，令 ( ) ( (1 ) )f x y ，从而有 (0) 0, (1) 0。由凸函数的性质 5、性质 6 及介值定理得，存在 * 0,1 使 ( ) 0 ， * ,1 ； （ 6） 而 ( ) 0 ， *0, （ 7） 当 * ,1 时，（ 5） 式显然成立，当 *0, 时， 0 ( ) ( (1 ) )f x y ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x
10、f y f y 所以 22( ( 1 ) ) 2 ( ( 1 ) ) 2 ( 1 ) ( )g x y f x y f y 22 (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )f y g x g y 此时（ 5）式显然成立，这样无论哪种情况（ 5）式都成立，从而 ()gx 为凸函数。 性质 38 若 ()fx在区间 I ，对 0k，则： 0k 时， ()kf x 在区间 I 上为凸函数； 0k 时， ()kf x 在区间 I 上为凹函数。 性质 48 若 ( ), ( )f x g x 在区间 I 上为凸函数，对 12,k k R,则： 120, 0kk时， 12( ) ( )k f x k g
11、x 为 I 上的凸函数； 120, 0kk时， 12( ) ( )k f x k g x 为 I 上的凹函数。 注 2： 性质 4 中有一个不为零时，即为性质 3。 性质 57 设 ( ), ( )f x g x 为 (, )ab 上的凸函数，则 ( ) m a x ( ), ( )h x f x g x 也是凸函数。 证 利用凸函数的定义，设 12,0 ， 121，则 12, ( , )x x a b ，有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )f x x f x f x 1 1 2 2( ) ( )h x h x 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )g x x
12、 g x g x 1 1 2 2( ) ( )h x h x 从而 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) m a x ( ) , ( ) ( ) ( )h x x f x x g x x h x h x 即 ()hx 是凸函数。 性质 62 设 ()fx与 ()gx 都是 , ab 上的 非负单调递增的凸函数，则 ( ) ( ) ( )h x f x g x也是 , ab 上的凸函数。 证 对 12, ( , )x x a b 且 (0,1) ，因 ()fx与 ()gx 在 , ab 上单调递增。故 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f
13、x g x g x 即 1 2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x f x g x （ 8） 又因 ()fx与 ()gx 为 , ab 上的凸函数，故 2 1 2 1 (1 ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x ， 2 1 2 1 (1 ) ( ) (1 ) ( )g x x g x g x 而 ( ) 0fx , ( ) 0gx ,将上面两个不等式相乘 ,可得 2 1 2 1 (1 ) (1 ) f x x g x x 222 2 2 1 1 2 1 1( ) ( ) ( 1 )
14、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )g x f x f x g x f x g x f x g x 再由（ 8）知 2 1 2 1 (1 ) (1 ) f x x g x x 221 1 2 2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x 2 1 1 2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x 1 1 2 2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 由凸函数的定义知， ( ) ( ) ( )h x f x g x 是 , ab 上的凸函数。 注 3：（ 1） ( ), ( )f x
15、g x 非负不能少。例如， ( ) 1fx ， 2()g x x ， (0,1)x 均为凸函数，但 ( ) ( ) ( )h x f x g x 2x ，显然 ()hx 不是凸函数，原因是 ( ) 1fx 为负。 （ 2） ( ), ( )f x g x 单调递增不能少。例如， ( ) 3f x x， 2()g x x 在 (1,3) 上是非负凸函数，但 23( ) ( ) ( ) 3h x f x g x x x ， ()hx 不是 (1,3) 上的凸函数，原因是 ( ) 3f x x 是单调递减的。 性质 72 设 ()u 是单调递增的凸函数， ()u f x 是凸函数，则复合函数 ( )
16、fx 也是凸函数。 证 因 ()u 是单调递增的凸函数和 ()u f x 是凸函数，得 ( ) 0u ， ( ) 0u ，( ) 0ux ，故 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0x u u x u u x ， 所以 ( fx 是凸函数。 三、研究的方法与技术路线 、研究难点，预期达到的目标 研究的方法与技术路线 ：通过阅读一些相关文献，总结归纳出一些浅显易懂的有关凸函数的定义、等价定义、性质及定理，并利用它们来证明一些应用初等知识难以证明的初等不等式、积分不等式，其中有些不等式是极为重要的，由此可以使我们对凸函数的性质有一个更好的理解。 研究难点 ：虽然利用凸函数的定义、性质及
17、判定定理证明不等式显得巧妙、简练，关键是找到能够解决问题的凸函数，如无法直接找到，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的，但是我们发现，很多时候去寻找合适的凸函数并不容易，即便是将 不等式经过变形。 预期达到的目标 ：凸函数是函数中比较重要的一类函数，在现实生活中应用的比较广泛，在很多数学问题的分析与证明中 都要用到凸函数的性质去简化证明，通过对凸函数一些简单性质的基本研究，从而归纳出怎么较简便的找到合适的凸函数去简化证明，和归纳出一系列可行的方法去适用到不同的方面。 四、论文详细工作进度和安排 论文选题，查阅文献，收集信息，对材料进行加工整理，形成系统材料。（第七学期结束至寒
18、假期间） 收集、整理、分析材料，写出论文开题报告及文献综述。（第八学期第一周至第二周） 对外文资料进行整 理、分析，翻译外文二篇，写出论文大纲。（第八学期第三周至第六周） 再仔细研读、分析文献、资料，写出初稿。（第八学期第七周至第八周） 根据导师意见，对论文进行反复修改。（第八学期第九周至第十一周 ） 对论文进行深入研究，弥补不足之处，最后定稿，并写出一篇 800 1000 字的论文摘要，准备好答辩。（第八学期第十二周至第十三周） 五、主要参考文献 1 时贞军，岳丽 .凸函数的若干新性质及应用 J， 应用数学 ， 2004， (S1): 增刊 01 04 2 白景华 .凸函数的性质、等价定义及
19、应用 J，开封大学学报， 2003，（ 02） :59-64 3 郝建华 . 凸 函 数 的 性 质 及 其 在 不 等 式 证 明 中 的 应 用 J, 山 西 经 济 管 理 干 部 学 院 学报 ,2003,(04) :83-85 4 尚亚东 ,游淑军 .凸函 数及其在不等式证明中的应用 J，广州大学学报（自然科学版）， 2005，（ 01） :第 4 卷，第 1 期 5 李世杰 . 凸函数 J，青岛职业技术学院学报， 2005，（ 02） :59 62 6 刘锐宽 .凸函数的几个性质 J， 辽宁工程技术大学学报 , 1988,(03): 第 7 卷，第 3 期 7 蒋善利，普丰山 凸函
20、数的性质与判断，新乡学院学报（自然科学版）， 2009,(06)： 13-14 8 杜厚维，凸函数的性质及其应用，现代企业教育， 2007，（ 16） :173-174 9 丰刚，几个积分不等式及其应用，牡丹江大学学报， 2010（ 07）： 88-91 10 王华，关于凸函数性质的总结，经营管理者， 2009，（ 12）： 235-236 11 胡小平，胡雪葳，凹凸函数的性质在不等式证明中的应用，绵阳师范学院学报， 2009，（ 08）：第 28卷，第 8 期 12 林贤坤，凸函数的性质，广西民族学院学报（自然科学版）， 2000，（ 04）： 250-253 13 孙昌龙，用凸函数的性质证明有关不等式，重庆科技学院学报（自然科学版）， 2007，（ 02）： 125-126 14 查良松，凸函数及其在不等式证明中的应用，浙江工贸职业 技术学院学报， 2005，（ 03）： 77-81 15 杨丽娟，凸函数与几个重要不等式的证明，吉林农业科技学院学报， 2010，（ 01）：第 19 卷，第 1 期 16 徐义红，预不变凸函数及其性质（英文），苏州科技学院学报（自然科学版）， 2004，（ 01）：第 21 卷，第 1 期 17 黄科登， E-凸函数的拓展研究（英文），玉林师范学院学报（自然科学版）， 2007，（ 05）
