1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性 一、选题的背景、意义 偏微分方程的兴起已有两百多年的历史，由起初研究物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究，十分活跃 。偏微分方程作为大学的一门基础课，无论是对数学专业还是非数 学专业的理工科学生都十分重要，他的任务是建立模型，寻求求解方法，进行理论分析，从而达到解释物理现象的目的。 偏 微分
2、 方程有很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。 波动方程 或称波方程是一种重要的 偏微分方程 ,它通常表述所有种类的波，例如 声波 ， 光波 和水波。它出现在不同领域，例如 声学 ,电磁学 和 流体力学 。波动方程的变种可以在 量子力学 和 广义相对论 中见到 。历史上的许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔 伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体的弦振动时，都对波动方程 理论作出了重要贡献。 弦振动方程属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件
3、。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。 对一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。 用特征线法求解波动方程是求解波动方程的经典 解题方法中很重要的一种。 本文 利用解的叠加原理和特征线方法得出一维波动方程解的表达式，并给出解的适定性的一般结论，同时也对广义解的适定性做了一定的研究。 1 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 研究的基本内容 :波动方程是双曲线偏微分方程的最典型的代表。 本文主要讨论了
4、一维波动方程 Cauchy 问题 22222 ( , ) ( 1 )0 : ( ) , ( ) ( 2 )uu a f x ttxut u x xt 解的适定性。 解决的主要问 题 : 1、搜集整理偏微分方程中波动方程的各种解法，阐明其背景和作用； 2、 利用解的叠加原理和特征线方法得出一维波动方程 Cauchy 问题解的表达式； 3、给出一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性一般结论，对于广义解的适定性也做了研究。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1、 本课题研究以文献研究法为主 ,通过著作、报刊、杂志、网络等各种渠道 ,对与课题相关的文献和资料进行合理的搜集 ,并比
5、较各种解法。 2、研究的主要难点是用特征线方法求解波动方程以及对古典解和广义解的适定性的研究。 3、 课题的预期 目标 (1)通过课题研究 ,对波动方程的解法以及解的适定性有一个更加深入的认识。 (2)增强自身搜集资料的能力和自学的能力。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 9 周至第 11 周： 收集资料，阅读相关文献，针对课题内容及要求作系统整理完成文献综述，修改，定稿。 第七学期第 11 周至第 15 周： 深入研读所收集的材料，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告； 翻译相关外文文献；修改，定稿，并上交文献综述、开题报告，外文翻译。 第七学期第 15 周至第 17
6、周： 全面开展课题研究，按 照研究方案和路线按计划完成各项工作，为撰写论文做好准备。 第七学期第 17 周至第 19 周： 2 根据研究所取得成果，严格按照毕业论文规范撰写论文初稿，并交指导老师审阅。 第八学期第 1 周至第 4 周： 对论文进行反复修改至完善。 第八学期第 5 周至第 15 周： 对所有毕业论文材料做审阅，修改，整理，定稿，做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。 五、主要参考文献： 1姜礼尚 ,陈亚浙 ,刘西垣 ,易法槐 .数学物理方程讲义 M.北京 :高等教育出版社， 1986. 2谷超豪 ,李大潜等 .数学物理方程 M.北京 :高 等教育出版社， 1979. 3陈祖墀 .偏
7、微分方程 M.合肥 :中国科学技术大学出版社， 1993. 4刘琳琳 .关于一维波动方程的特征线方法 J.南都学坛（自然科学版） .2000，20(3):17-18. 5王明新 .数学物理方程 M.北京 :清华大学出版社 .2005. 6姜玲玉 .关于波动方程混合问题的特征线方法 J.数学杂志 .2004,24(5):577-580. 7汪光辉 .特征理论在偏微分方程中的应用 J.安徽农业大学学报 .2002,29(2):203-206. 8朱长江 ,邓引斌 .偏微分方程教程 M.北京 :科学出版社 ,2005. 9Rauch J.Partial Differential EquationsM
8、.New York:Springer2Verlag,1991. 10段炼 .弦振动方程 CAUCHY 问题广义解的结构 J.嘉兴学院学报 .2009,21(3):11-14. 11薛兴恒 .数学物理偏微分方程 M.北京 :中国科学技术出版社 ,1995. 12李大潜 ,秦铁虎 .数学物理方程 M.北京 :高等教育出版社 ,1999. 13胡增涛 .一类非线性波动方程的若 干行波解 J.安徽工业大学学报 .2009,26(2): 184-186. 14安黔江 .一维波动方程 Cauchy问题解的另一种推导方法 .铜仁师范高等专科学校学报J.2004,6(3):55-57. 15Juergen Jost. Partial Differential EquationsM.New York:Springer,1956. 16郭华 ,李月 ,杨宝俊等 .n维非线性波动方程对应的线性方程 Cauchy问题的解 J.吉林大学学报 (地球科学版 ).2002,32(3):283-286. 17张媛媛 ,路世英 .一类拟线性波动方程 Cauchy 问题整体广义解的存在唯一性 J.开封大学学报 .2008,22(1):81-83. 3 18王经民，刘亚相，刘迎州等 .波动方程解的 Poisson 公式的降维问题 J.大学数学 .2009，25(6):152-154.
