1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 3R 中常数磁场和位势的薛定鄂算子的特征函数问题 一、选题的背景、意义 函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，作为数学的一个 部分 ， 它经 历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系 。 不同函数空间上的算子具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧性、谱性质、代数性质 (如正规性、亚正规性 )等几个方面 。 基于这点，本课题由定义 3R 中 常数磁场和位势的薛定鄂算子出发， 解决研究过程中该算子的 特征函数问题。 我们已经证明了很多类算子关于可加性的结论（见文献 1， 2）。以及 光谱展开的可加性的研究如特殊的 Hermi
2、te 展开（见文献 1,3）。采用分离变量法求解一维波动方程和一维热传导方程（见文献 6）。 二十世纪初，法国数学家 Frechet 用抽象的形式表达了函数空间。指出：空间中的每一点都是函数，并引入了一类 L 空间。 Hilbert 在研究积分方程时，将一个函数看成是由它相应的 标准正交函数系的 Fourier 系数确定的。 1907 年，德国数学家 Schimidt 发展了 Hilbert这一思想，并将其抽象为一般的 2L 空间。他还据此导出了正交系的概念。之后 Riesz 进一步由积分方程导出的 pL 空间，开始对抽象算子理论进行研究，并引入了范数的概念。 二十世纪 20 年代， Bana
3、ch 用三组公理建立了完备的赋范向量空间，称之为“ Banach空间”。它包括 pL 空间，连续函数空间，有界可测函数空间等。 1932 年发表了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理的线性算子理论。 1929 年和 1930 年 von Neumann 应用公理化方法深入地研究了 Hilbert 空间中的算子，建立了 Hermite 算子和酉算子之间的联系。他又把有关结论推广到无界算子，并发现了这种算子的谱理论。 后来， Hormander 进行了对椭圆型微分算子光谱函数和特征函数展开以及线性偏微分算子的研究（见文献 7， 8）， Nicole Berline 对狄拉克算子非线性单调算子进行
4、了研究（见文献 9）。陈恕行研究了拟微分算子（见文献 10），钟怀杰 通过对黎斯算子类的专门探讨，反映一般 Banach 空间算子理论的特殊性 （见文献 11） 。 孙炯，王忠 系统介绍并分析了有界线性算子、共轭算子、正常算子、自共轭算子、紧算子的结构 （见文献 12）。 在 数学 中， Hermite 多项式 是一种经典的 正交 多项式 族 。 Thangavelu 研究给出出了Hermite 函数与特殊的 Hermite 函数以及 Laguerre 函数的定义，以及函数的展开及性质。并指出了 Hermite 函数与算子特征函数之间的关系。介绍并证明了 Hermite 函数与 Fourier
5、 变换之间存在的关系。同时， Thangavelu 证明了特殊的 Hermite 函数的一些性质，并分析讨论它们展开的一些收敛性质和有界性情况。也介绍了 Riesz 平均和临界的指标的情况。 (1) G. Rozenblum 和 G. Tashchiyan 对 常数磁场的薛定鄂算子进行了研究，得出了一些重要的结论（ 4）。 但是求 3 维欧氏空间中带常熟磁场和电位势的薛定 鄂 算子： 22 2 22 |22b bbH i y i x zx y z 的特征值和特征函数，并证明所有的特征函数成为 23()LR 中的一组完备的正交基的工 作还没有研究。本文希望通过对实变函数泛函分析，高等代数，数学分
6、析理论和技巧（详细参考文献 5,13,14）的应用，以及Thangavelu 对 Hermite 展开过程的方法的研究， 解决以上问题，是非常具有研究意义的。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 主要的内容有下面几点： 求出 3 维欧氏空间中带常数磁场和电位势的薛定鄂算子 22 2 22 |22b bbH i y i x zx y z 的特征值与特征函数，并证明所有的特征函数成为 23()LR 中的一 组完备的正交基。 关键问题： （ 1）熟悉该算子的定义； （ 2）对比磁场为（ 1,1）时特征函数； （ 3）给出算子 bH 的特征值和特征函数的描述。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预
7、期达到的目标 方法与技术路线： 本论文主要以查找资料、参考文献，以学过的相关知识，在前人的研究论述基础上，应用 实变函数泛函分析，高等代数，数学分析理论和技巧，以及 Thangavelu 对 Hermite 展开过程的方法的研究 来计算解决问题 。 第一步：学习 Thagavelu 关于 Heimite 展开的讲义的第一和第二章； 第二步：熟悉微分算子的运算 . 难点： 1）如何理解该算子的定义； 2）如何找出还算子的特征函数； 3）所有的特征函数成为 23()LR 中的一组完备的正交基的证明 预期目标： 找出该算子的特征函数 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 10 周至第 12 周 查
8、阅文献，收集信息，材料并进行加工整理，形成系统材料； 第七学期第 13 周至第 17 周 研读文献，完成文献综述及开题报告； 第八学期第 1 周至第 3 周 撰写论文提纲，完成论文初稿 第八学期第 15 周 撰写答辩提纲，制作答辩 PPT，准备论文答辩 五、主要参考文献： 1 S. Thagavelu, Lecture on Hermite Expansions, Princeton Univ. Press, Princeton 1993. 2 C. Sogge, Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge Univ. Press, C
9、ambridge, 1993. 3 K. Stempak, J. Zienkiewicz, Twisted convolution and Riesz means, J. Anal. Math. 76 (1998) 93107. 4 G. Rozenblum, G. Tashchiyan ,Riesz $Lp$ summability of spectral expansions related to the Schrodinger operator with constant magnetic fields, J. Math.Anal. Appl., 2003, 284:315-331. 5
10、 程其襄等 ，实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社， 1983. 6 谷超豪等，数学物理方程，高等教育出版社， 2002 7 L. Hormander, On the Riesz means of the spectral functions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, in: Some Recent Advances in the Basic Sciences, Yeshiva University, 1966, pp. 155202. 8L. Hormander， Linear partial differential operators ， 1980 9 Nicole Berline， Heat kernels and Dirac operators， 2004 10陈恕行，拟微分算子，高等教育出版社， 2006 11钟怀杰， 巴拿赫空间结构和 算子 理想 ，科学出版社， 2005 12孙炯，王忠编著 ，线性算子的谱分析，科学出版社， 2005 13 北京大学高等代数研究室，高等代数，高等 教育出版社， 1982 14 华东师范大学分析研究室，数学分析（上、下册），高等教育出版社， 2001
