1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 一些不等式的证明及推广 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。 柯西不等式是由大数学家柯西 （ Cauchy） 在研究数学分析中的 “ 流数 ” 问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广 之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要， 适当、巧妙地
2、引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍 的作用。因此柯西不等式 在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用， 再加上 本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。由此促使我们 进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。 闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基 （ Minkowski） 于 1896 年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用 。 在 1881 年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了 高斯 、 狄利克雷 和 爱因斯坦 等人的论著。因为 高斯 曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵
3、可夫斯基 根据 前人的工作 发现： 把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了 n 元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来， 上述问题 就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达 140 页，远远超出了原题的范围。闵可夫斯基此后继续研究 n 元二次型的理论。他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数 线性变换 下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称 “ Minkowski 约化理论 ” 。当闵可夫斯基用几何方法研究 n元二次型的约化问题时， 他 获得了十分精彩而清晰的结果。他把用这种方法建立起来的关于数的理论 称 为 “ 数的
4、几何 ” ，其中包括著名的闵克夫斯基原理。由这里又引导出他在 “ 凸体几何 ” 方面的研究，这项研究的副产品就是著名的闵克夫斯基不等式 。 Young 不等式及与之相关的赫尔德不等式 、 闵克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析数学中有着广泛的应用，对现代数学的发展起到了非常重要的作用。 通过 Young 不等式 我们 可以 证明 赫尔德不等式，进而 证明 闵克夫斯基不等式。虽然赫尔德于 1889 年便在其著作中证明了赫尔德不等式，但是现在的绝大部分书籍 都采 用 Young 不等式做为引理来证明它。在数学分析、调和函数、泛函分析和偏微分方程等学科中上述三个不等式的身影处处可见，是使用得最
5、为频繁，最为广泛的知识工具 。因此，总结并探讨这些重要不等式的证明方法及其推广形式有重要的意义。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 结合数学分析等课程的学习，通过查阅相关的文献资料，总结一些重要不等式的证明方法及相关的推广。 1、柯西不等式的证明方法及推广； 2、 Young 不等式的证明方法及推广； 3、 赫尔德 不等式的证明及推广。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 研究方法与技术路线 ： 通过查阅相关文献资料 ，总结柯西不等式、 Young 不等式和 赫尔德 不等式的证明方法，在此基础上，总结并探讨这些不等式的相关推广。 研究难点： 针对不同的不等式，采用最简洁的证
6、明方法，给出比较好的推广形式。 预期达到的目标： 总结这些重要不等式的证明方法，探讨这些不等式的相关推广。全文思路清晰、行文流畅，对写作中涉及的难点能有一定的突破。 四、论文详细工作进度和安排 1、第七学期第 9 周至第 11 周 论文选题 ， 查阅 文献 ，收集信息，对材料进行加工整理； 2、第七学期第 12 周至第 18 周 收集 、 整理、分析资料 ， 写出文献综述及开题报告 ， 完成外文翻译 ； 3、第八学期第 1 周至第 3 周 毕业论文的撰写 ， 完成毕业论文的初稿 ； 4、第八学期第 4 周至第 10 周 对毕业论文的初稿进行多次修改 ； 5、第八学期第 11 周至第 12 周
7、对毕业论文的修改稿进一步完善 ； 6、第八学期第 12 周至第 13 周 对论文进行深入研究 ， 弥补不足之处 ， 最后定稿 ， 准备好答辩 。 五、 主要参考文献： 1李静 .Cauthy-Swhwarz 不等 式 的 四 种 形 式 的 证 明 及 应 用 J.宿 州 学 院 学 报 . 2008,12,23(6). 2方坤夫 .Holder 不等式在初等数学中的若干应用 J.湖州师专报 .1991,5. 3林银河 .关于 Minkowski 不等式的讨论 J.丽水师范专科学校学报 .2003,10,25(5). 4张伟 ,何卫 .柯西 -施瓦茨不等式的三种证明 J.重庆教育学院学报 .2
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