1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 不等式证明的教学研究 一、前言部分 不等式是一件非常有用的工具，除在数学领域外，还包括物理学、工程学、教育学等诸多领域中被广泛使用。要想运用不等式，首先要解决的是如何获得这些不等式。因此不等式的证明成为了一个难题，其中包括数学教育方面。在阅读了一些有关中学数学、大学数学的不等式证明这方面的文献资料和教育理论资料，本文整理出了一些平时学习中比较常见、常用的不等式的表述，同时也列举了一些不等式的证明，不等式的应用的例题以及不等式在教学中的教育价值。 1、一些常见不等式 Cauchy（柯西）不等式 设有两组实数 12, ,. n 和 12, ,. n ，则有 2 2
2、 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( . . . ) ( . . . ) ( . . . )n n n n 或写成 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i i 。 当且仅当 ( 1, 2 , ., )iik i n 时等号成立。 推论 2 2 221 2 1 2. . . . . .() nnnn 当且仅当 12. n 时，等号成立。 Jensen 不等式 1 如果 ()fx为连续实值凸函数，且 12 1. . . , 1 , 0 , 1 , 2 , . . . ,nn i iix x x i n ， 则有 11( ) ( )nni i i i
3、iif x f x。 注 1：经典的 Jensen 不等式 2 ：设 :f R R 是凸函数， u 是 , ab 上的可积函数，则 11( ( ) ) ( ( ) )bbaaf u t d t f u t d tb a b a 几何与算术平均 不等式： 1121 2 1 2. ( . . . ) , ( , , . . . , 0 )n nnnx x x x x x x x xn 贝努利 不等式 3 ：设 2n ，实数 12, ,., nx x x 都大于 -1，并且它们都有着相同的符号，则成立 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) 1 . . .nnx x x x x
4、 x ； 特别地，当 12 . 1nx x x ，且 0x ，成立 (1 ) 1 , ( 1 , 0 )nx n x x x 。 Young 不等式 3 ：设 111, 1, 1pqpq ，则对任意 ,0ab ，成立 pqababpq ，其中等号成立的充要条件是 pqab 。 证 当 0ab ，不等式显然成立；设 ,0ab ，注意到当 0,0 1ym 时，有1 ( 1)my m y ，等号成立当且仅当 1y 。设 ,0AB ，令 Ay B ，代入上式，且同乘以 0B ；得 1 ()mmA B m A B ，即得 1 ( 1 )mmA B m A m B ； 在 上 式 中 取1 1, ,pqm
5、 A a B bp ，于是得到 pqabab pq 。 Young 逆不等式 3 ：设 110 1, 1ppq ，此时 0( 1)pq p，则对 0, 0xy，成立 pqxyxypq，等号成立当且仅当 pqxy 。 证 注意到当 0, 1ym时，有 1 ( 1)my m y ，等号成立当且仅当 1y 。设,0AB ，令 Ay B ，代入上式，且同乘以 0B ；得 1 ()mmA B B m A B ，即得1 (1 )mmA B m A m B ；在上式中取 1 1, ,pqm A x B yp ，于是得到 pqxyxypq。 注 2 ： 带 的 Young 不等式 2 ：设 , , 0; ,
6、1a b p q 且满足 111pq，则qppqab a bpq 1 1 = ( ) ( ) qppqppba b a a bpq 伯努利不等式 对 10x ，（ i）若 1r 或 0r ，则 (1 ) 1rx rx 。 （ ii）若 01r，则 (1 ) 1rx rx 。 Cauchy-schwarz 不等式 4 ：设 ( ), ( )f x g x 均在 ,ab 上可积，则有以下不等式2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x ，并且当存在一组不全为零的数 12,kk使得12( ) ( ) 0k f x k g x时
7、等号成立。 证 利用变上限的积分函数构造辅助函数，令2 2 2( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t 则显然有 ( ) 0Fa ，所要求证明的 Cauchy-schwarz 不等式也即要证明 ( ) 0 ( )F b F a ，从而可以转化为证明 ()Fx在 , ab 上为单调不增的函数即可。 由于 ( ), ( )f x g x 在区间 , ab 上均连续，所以由变上限的积分函数的性质可以知道 ()Fx在区 间 , ab 上可导，并且可以由求导法则计算得到 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) (
8、) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f x g x f t g t d t g x f t d t f x g t d t 2 2 2 2( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )xaF x f x g x f t g t g x f t f x g t d t 2( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )xaF x f x g t g x f t d t 所以当 , x ab 时， ( ) 0Fx 。故 ()Fx在 , ab 上单调非增，从而 ( ) 0 ( )F b F a 。 2、几个定理的表述 拉格朗日中值定
9、理 如果函数 ()y f x 在闭区间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，那么在 (, )ab 内至少有一点 c ，使 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f c （这个定理的特殊情形称罗尔定理）。 推论 ： 1、 ( ) ( ) ( ) ( ) ,f b f a f b a a b 2、 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) , 0 1f b f a f a b a 3、 ( ) ( ) ( ) , 0 1f a h f a f a h h 。 柯西中值定理 7 设 (),fx ()Fx 都在区间 ,ab 上连续，在 (,)ab 内 可导且( ) 0Fx
10、，则存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fF b F a F 成立。 泰勒定理 （ 1）函数 ()fx在闭区间 , ab 上存在直到 n 阶连续导数。 （ 2） ()fx 在开区间 (, )ab 内存在 ()fx 的 1n 阶导数，则对任何( , )x ab ， 至 少 存 在 一 点 ( , )ab ，使得( ) ( 1 )21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! ! ( 1 ) !nn nnf a f a ff x f a f a x a x a x a x 二、主题部分 1、不
11、等式的证明 （一）利用函数思想证明不等式 函数思想是利用函数的概念、性质和图象去分析问题、转化问题和求解问题 ,它是一种很重要的数学思想方法 ,函数是研究变量的变化规律 ,所以只要有变量的问题就可以利用函数思想。 9 例 1 设 (0,1)x ，证明：（ 1） 22(1 ) ln (1 )x x x ；（ 2） 1 1 1 11ln 2 ln (1 ) 2xx 证 （ 1）令 22( ) (1 ) ln (1 )f x x x x ，则 2( ) l n (1 ) 2 l n (1 ) 2f x x x x 2 (ln (1 ) )() 1 xxfx x 令 ( ) ln(1 )g x x x
12、 ，则 1( ) 1 0 , (0 , 1 )1g x xx 所以当 (0,1)x 时 ， ( ) (0) 0g x g。所以 ( ) 0fx 所以 ( ) (0) 0f x f，所以( ) (0) 0f x f 即 22(1 ) ln (1 )x x x （ 2）令 11()ln(1 )Fx xx，则 2222(1 ) ln (1 )() (1 ) ln (1 )x x xFx x x x 。 由（ 1）可知 ( ) 0Fx ，从而0(1) ( ) ( )limxF F x F x，即 111 ( )ln 2 2Fx ，即 1 1 1 11ln 2 ln (1 ) 2xx 。 说明 1：利用
13、函数的单调性证明不等式时，如果一阶导数的符号不能确定，可以利用二阶或三阶导数符号来确定。 说明 2：在利用单调性证明不等式时，如能对欲证的不等式作适当的恒等变形，往往可以使问题得以简单。 例 2 证明：若 1p ，则对于 0,1 中的任意 x 有：111 (1 ) 2pp pxx 证 设函数 ( ) (1 ) ( 0 1 )ppf x x x x 。有1 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) p p p pf x p x p x p x x 令 ( ) 0fx ，得唯一驻点 12x 。从而2 2 21 1 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) 0 ,
14、 12 2 2 2p p pf p p p p p p p 所以， 12x 是极小值点也是最小值点。最小值为111()22pf 。两边界为 (0) (1) 1ff。所以111 (1 ) 2pp pxx 。 说明 3：当题设满足以下条件时可以用该方法： （ 1）所设函数 ()fx在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单 调函数时； （ 2）只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式。 定义 1 设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 12,xx和实数 (0,1) ，总有， 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，
15、则称 f 为 I 上的凸函数。反之，则称为凹函数。 例 3 对任意实数 ,ab有 2 1 ()2ab abe e e 证 设 xye ，则 0xye， ( , )x 故 y 为 ( , ) 上的凸函数，由凸函数的定义：对12 1, 2x a x b ，有 1 1 1 1( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )2 2 2 2y a b y a y b 即 2 1 ()2ab abe e e 定义 29 所谓多变量不等式 ,就是一个不等式中有多个变量 ,而且一般情况下是齐次变量 ,如果是二次的 ,那么可以构造一个关于其中一个变量的二次函数 ,然后利用二次函数的单调性或者求最值或者利用二次函数的图
16、像分析问题 ,从而得到想要证明的结果 .。 例 4 设 ， ， 为任意三角形的三个内角 ,对于任意实数 ,xyz 。求证：2 2 2 2 c o s 2 c o s 2 c o s .x y z x y y z z x 证 根据题意 ,先将特征式整理为关于的二次函数模型 ,再利用函数及方程的有关性进 行推理论证。将 ,yz看做是常数，构造关于 x 的函数 2 2 2( ) 2 ( c o s c o s ) 2 c o sf x x y z x y z y z 因为 ,xyz R 。 2 2 22 2 2 224 ( c o s c o s ) 4 ( 2 c o s )4 ( c o s 1
17、 ) 8 ( c o s c o s c o s ) 4 ( c o s 1 )4 ( s in s in ) 0y z y z y zy y z zyz 又因为函数 ()fx图像开口向上，所以 ( ) 0fx 。 故 2 2 2 2 c o s 2 c o s 2 c o s .x y z x y y z z x （二）利用中值定理证明不等式 例 4 已知 0 2x ，求证： sin tanx x x 。 证 设 ( ) s in , ( ) ta nf x x g x x，由拉格朗日中值定理及 0 2x 得11( ) ( 0 ) s i n s i n 0 c o s 1 , ( 0 ,
18、)0 0 2f x f xxx ， 因而 sinxx 。又 2 22( ) ( 0 ) t a n t a n 0 s e c 1 , ( 0 , )0 0 2g x g xxx ， 于是 tanxx ，所以 sin tanx x x 。 例 5 设 2e a b e ，证明 222ln ln 4bab a e 。 证 设 2( ) ln , ( )f x x g x x则 2 ln( ) , ( ) 1xf x g xx。 对于 ( ), ( )f x g x 在 , ab 上应用柯西中值定理有 22l n l n 2 l n , ( ) .ba abba 设 2ln() tt t ，考察
19、()t ，22(1 ln )() tt t 。显然当 te 时， 即 1 ln 0t， () 0t 。所以 ()t 在 te 时单调递减。从而 2( ) ( )e 。即222ln ln 2eee ，故 222ln ln 4bab a e 。 说明 4： 柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证明不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不然。 （三）利用高等数学解决初等数学不等式 运用所学的高等数学知识、观点和方法去联系和研究初等数学 ,使“高初”有机的结合起来 ,无疑是非常重要的 。 例 6 已知 nN ，求证
20、2( 1 1)nn 证 此题用常规的做法不容易证明，事实上，我们稍作变形 12 1( 1) 12nn 。由于nN 且 1n ，有伯努利不等式可知 12 ( 1)( 1) 2nn ，所以 2( 1 1)nn 成立。 例 7 设 ,x y z R ，且 1x y z ，求证： 2 2 2 13x y z 。 证 由柯西不等式的推论可知 2 2 2 2()33x y z x y z ，又因为 1x y ，所以2 2 2 139x y z ，即 2 2 2 13x y z 。 例 8 设0() 1limxfxx ，且 ( ) 0fx ，求证： ()f x x 。 证 由0() 1limxfxx 知0
21、( ) (0 ) 0limx f x f 。根据导数定义00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) 10l im l imxxf x f f xf xx 由 22( ) ( )( ) (0 ) (0 ) 2 ! 2 !fff x f f x x x x 及 ( ) 0fx ，知 ()f x x 。 说明 5：泰勒公式应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数、在哪一点的领域将函数展开、展开的阶数以及余项形式。 由以上的几 个例子可以看出，运用高等数学去解决初等数学，不仅方法新颖，而且简单明了。除了上述这些证明不等式的方法外，中学数学中还用到了一些并不常见的方法，通过这些方法以启迪学生思维和
22、开拓学生视野。 形如式子 2 2 2,x y a b c 式子中任意两个量交换位置后结果仍不变 ,这就是“式”的对称 . 可以用对称关系来解决一些不等式的证明 。 例 9 设 , , ,abcd 是正数，且满足 1a b c d ，求证：4 1 4 1 4 1 4 1 6a b c d 证 由 9419 1 344 1 24 2 8aaa 。注意到对称性有 9 4 ( ) 1 3 1 7( 4 1 4 1 4 1 4 1 )4 2 2a b c da b c d 即 4 1 4 1 4 1 4 1 6a b c d 。命题得证。 例 10 证明：当 2(1 2)x 时，有 3( 2 1 ) 2
23、 ( 2 3 ) 3 ( 2 5 ) . . .x x x x x 。 证 在 0x 的情况下讨论。令3( ) ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 3 ( 2 5 ) . . . , ( )f x x x x x g x x 则有 ( 1)( 2 1)() 6x x xfx 于是3( 1 ) ( 2 1 )( ) 16( ) 3l i m l i mxxx x xfxg x x 。 按极限的定义，对于 14 ，取 2(1 2) 。当 | | 2(1 2 )x 有 ( ) 1 1|( ) 3 4fxgx ，即有 1 ( ) 70 12 ( ) 12fxgx 。从而 ()fx ()gx 。 2、不
24、等式的应用 （一）运用 Jensen不等式解决概率论问题 例 11 设 T 为 ()g 的一个充分统计量，若损失函数 ( , )La 为凸的，则基于 T 的无偏估计 ()ht 即为 ()g 的无偏一致最小风险估计。 证 设 ()g 为 ()g 的任意无偏估计，考虑条件期望 ( ) ( ( ) | )h t E g X T t 由 T 的充分性，知此条件期望与 无关，因而 ( ) ( ( )h t h t x 可作为 ()g 的一个估计。由于 ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) | ) ) ( ( ) ) ( )E h T x E E g X T E g X g 则 ( ) ( ( )h t
25、 h t x 为 ()g 的一个无偏估计。由 ( , )La 得凸性，用 Jensen不等式，易得 ( , ) ( , )R g R h ，故基于 T 的无偏估计 ()ht 即为 ()g 的无偏一致最小风险估计。 （二）运用贝努利不等式证明极限问题 例 12 （ 1） 1(1 ) nn 为递增数列；（ 2） 11(1 ) nn 为递减数列。 证 （ 1）在 1 ( 1) )nna b n a n b 中取 11 1a n ， 11b n ， 由于 11( ( 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 11n a n b n nnn 故有 111(1 ) (1 )1 nnnn ，即 1(1
26、 ) nn 为递增数列。 （ 2）在 1 ( 1) )nnb a n b n a 中取 11 1a n ， 11b n 由于 1 1 1 1( ( 1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 111n b n a n nn n n n 2221 2 2 1 11 1 ( 1 )1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1nn n n n n 故有 1211(1 ) (1 )1nnnn ，即 11(1 ) nn 为递减数列。 3、不等式的教育价值 在这里，我主要以 Cauchy不等式 12 为例，讲述下不等式的教育价值所在。 1）柯西不等式的学习 ,能够增强学生自主探究数学问题的能力，掌握研究数学问题
27、的立足点和基本思想方法 。 如掌握研究数学问题或实际问题的方法是 :发现问题 猜测结论 分析论证 推广结论 应用结果 。 又如利用类比归纳的方法掌握对数学问题进行多层次全方位的推广研究 ,向高维的 推广 、 向纵深的推广 、 类比横向的推广 、 反向的推广以及这几种推广方法的联合使用的再推广 。 2）对任何数学问题的探究，从几何直观的角度进行思考是最为顺理成章的和自然的，感受到数学家是如何看问题 、 想问题和解决问题的 ,进而使学生的数学学习活动成为数学再创造 、再发现的过程 ,并体悟到数学家们发现数学结论的过程之艰辛 ,但又能醒悟到做出来的数学竟是如此美妙 ,从而源自于本能的深深地爱上数学学
28、习 ,使数学学习活动过程特别是数学思维习惯成为他们终生学习和生活的实践者 。 3）数学教学过程理应注重分析数学问题的来龙去脉，明晰各知识点间的 内在联系和规律，以其内在的自然审美观给出既简洁又相对繁琐 、 既常规的通性通法又带有相对自我创造性的构造性方法，全面发展和培养学生的创新意识 ,从而达到培养学生思维的灵活性 、 深刻性 、敏捷性 、 批判性和广阔性 。 4）数学问题的探究，理应强化应用意识和掌握如何应用结论的基本方法 。 如柯西不等式的应用 ,关键在于如何比照性的构造出两组数：积和数组 、 平方和数组以及题设条件的定值等方面 ,也就是说 ,使学生在应用方面抓住问题解决的本质 构造应用结
29、论的形式或转化变形形式 。 5)通过柯西不等式的学习 ,促使学生在提出问题 、 分析问题 、 解 决问题以及交流和反思等方面获得发展 。 本质上是 :使学生在数学学习过程中 ,有一个充满亲身经历观察 、 实验分析 、 归纳 、 类比 、 猜测 、 论证 、 概括 、 推广 、 应用 、 反思等数学学习的认知过程 ,形成质疑问题 、勤于探究思考 ,真正让学生感受和体验数学知识的产生过程 、 发现过程和应用过程 ,养成敢于发表自己的独到见解 ,使发现问题和提出问题成为数学探究活动的主旋律 。 6）数学教育理应成为崇尚自然 、 返朴归真 、 倡导学习纯洁真朴的自然之道 。 面对这种精神的向往，体现在
30、数学教育教学过程的自然性，把数学课堂教学演绎成每集故事情节相对独立而具有完整性的一 部优秀电视连续剧 ,使学生学起来既轻松 、 愉悦 、 自然，又充满兴趣 、 渴望 、 好奇心 。 7）数学教育理应体现在时代性，应唤起人们以出世心态做入世之事业，找回本态自我，把淡泊宁静 、 诚实质朴 、 超然物外作为数学教师职业的追求；也能从 “ 苦其心志 ,劳其筋骨 ” 进入到 “ 智者乐水，仁者乐山 ” 的崇高境界，定会成为数学教育工作们的最心爱的精神憩园和最惬意的栖身之地 。 中国数学教育之路定会成为创新型人才的摇篮 。 三、总结部分 不等式证明的方法很多，在证明过程中需要我们善于分析题目，运用我们已学的知识去解决它。对于不易直接证明的不等式，我们 需要通过借助参数，构造函数的形式将其变形为我们熟知的类型加以解决。在教学方面，通过对不等式的证明，有助于发展学生的数学思维，
