1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 多才多艺的伟大数学家费马 一、前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 田鹏发表的业余数学家之王费尔马 1中提到：费马 1601年 8月 17日生于法国南部图卢兹附近的波蒙，父亲是皮革商人，自幼接受良好的家庭教育，后进图卢兹大学学习法律。他以法律为职业，同时是一位社会活动家，从 1631 年到去世一直任图卢兹的议会议员。他业余时间博览群书，尤其热爱古典文学，精通拉丁文和希腊文。从三十岁起，他开始迷恋上数学，并把几乎全部业余时间用于数学问题 的研究，至死不渝。 精诚所至，金石为开 ，在王建华发表的费马数与圆内接正多边形 2
2、的一文中也提到费马在光学及数学的四大分支 解析几何、微积分、概率、数论，都作出了开创性贡献，成为 17 世纪最出名的法国数学家之一。美国数学家贝尔称他为 业余数学家之王 。当然，蔡天新发表的从笛卡尔到庞加莱 3；尹洪武、赵会娟、邵怡发表的关于费马大定理 4中也都有费马的家庭。生活。 费马作为 17 世纪数学家中最多产的明星，他比同时代的大多数专业数学家更有成就。但是他一生的成就贡献并没有被人们铭记于心，甚至有的人连费 马这个人都不知道，而且现在大部分的研究者都是单单针对费马的某一个成就中的知识点进行描述或者证明，或者是运用费马推出的有关知识点去论述其他的内容。例如张吉旭在工业科技报上发表的浅析
3、光学系统理想成像的条件 5一文就是单单利用了下费马在光学方面推出的知识；又如唐子周、唐世杰、唐世敬在科技教育创新报上发表的费尔马大定理的简捷证明释疑 6一费尔马大定理的简捷证明注记 7论述的是有关费马大定理的内容。很少有人从费马一生的角度或者说整体上去叙述费马，整理费马这一生的贡献，述说费马这一生的生活经历。 所以 叙述费马的一生经历，总结、整理费马一生中各个方面的成就，从而比较系统的了解、掌握费马的成就，这不仅能使得费马这一代明星一生的经历及其他的成就不会被遗忘在时间的河流中，而且能让我们的后代也能传承费马这种专研的精神从而创造出自己的辉煌。 二、主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发
4、展方向，以及对这些问题的评述） 在朱家生发表的数学史 8一书中提到：文艺复兴时期（从 15 世纪到 16世纪末），欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。到了 十七世纪，数学跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，而引起这一转变的因素当中也有着费马的一份力。 1、与笛卡尔分离创立解析几何的荣誉 在杨秀川发表的解析几何的发展史 9一文中提到： 17世纪是数学史上的一个辉煌时代，几何学首先成为这一时代引人注目的明珠。费马独立于笛卡尔，并且比他早发现解析几何的要旨。因此费马与笛卡尔分享创立解析几何的荣誉。费马是从
5、力图把古希腊几何学阿波罗尼奥斯轨迹问题已失传的证明法补齐出发，利用坐标法尝试着把代数法应用于几何学，研究多种曲线的性质。费马于 1630年用拉丁 文撰写了仅有 8 页的论文平面与立体轨迹引论。在这篇文章中，费马指出： 两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。 费马的发现比笛卡尔发现解析几何基本原理 (1637 年 )早 7 年。费马对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。他把通常抛物线方程 2ay x 和等轴双曲线方程 2xy a 推广为 1nna y x 的形式 ,并推广了阿基米德螺线 ra 。费马给出了许多以代数方程定义的新曲线。曲线 m
6、nx y a ，nmy x a 和 nra 现在仍被称为费马双曲线、费马抛物线和费马螺线。笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的。这正是解析几何的基本原则两个相反的方面。费马的成功之处就在于，他把希腊数学中使用立体图而苦心研究所发现的曲线的特征，通过引进坐标以一贯的方式译成 了代数的语言。这不仅使得圆锥曲线从圆锥的附属地位中解放出来，而且使得各种不同的曲线有了代数方程这种一般的表示方法和统一的研究手段 .虽然从阿波罗奥斯起有不少人在引入坐标或在将代数应用于几何方面有所成就，但他们谁都没有把这两者结合起来 ,达到用代数方法来表示几何曲线的程度。 2、微积分的先驱者
7、曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。费马是从研究透镜的设计和光学理论出发，致力于探究曲线的切线的 .1629 年他在求最大值和最小值的方法的手稿中就提出了求切线的方法。他在这篇文章中给出的求极值方法的 实质与现今使用的通过令一阶导数为零找出极值点再算极值的方法是一致的。他把自己这套办法运用于求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大表面积等。费马是最早发展求函数极值的数学家之一。 3、他和帕斯卡共同对概率论进行了最早的科学探索 虽然 16 世纪概率论已有了某些萌芽，例如 H卡尔达诺曾经对机会对策中产生的一些问题感到过兴趣，但首先试图把这些方法归纳和抽象成一种法则的，还应
8、归功于费马和帕斯卡。而激励他们俩人认真对待这项研究的起因，却来自一个赌博者的请求。 1654年法国骑士 C梅累向帕斯卡提出了一个使他苦恼很 久的问题： 两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 s 局就算赢了，现在一个人赢 a ()as 局，另一个人赢 b ()bs 局，赌博中止，问赌本应怎样分法才算合理？ 这个问题后来称为 赌点问题 。当帕斯卡接到这个问题后，立刻把它转告了费马，他们俩人都对这个问题得出了正确的答案，但所用的方 法不同。关于概率论的研究就是这样开始的。正如对概率论做出了卓越贡献的法国数学家泊松后来所说： 由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派教徒所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的
9、起源。 这个广有交游的人就是梅累，那位严肃的冉森派教徒就是帕斯卡。在徐传胜、曲安京、李红伟发表的从投掷问题到概率论的创立 10一文中也提及了这个问题。 当 C惠更斯到巴黎的时候，听说费马和帕斯卡在研究这个问题，他也进行了研究，并写成了论赌博中的计算一书。从此概率论的研究引起了更多数学家的关注，特别是为了研究在实践中碰到的 大量随机现象的统计规律，就进一步推动了这一数学分支的发展。在梁旭发表的概率的第一次计算 11一文中对费马在概率论方面的贡献也有所提及。 4、开创近代数论的研究 费马对于数论的贡献是巨大的，他不断地提出过许许多多的猜想和命题，创造出许多精美的思想和方法。费马的所有猜想先后都找到
10、了证明，但费马大定理却是例外。当整数 n 大于 2 时，不存在一个整数 n 次幂是另外两个整数 n 次幂之和的费马大定理，竟引无数英雄争相证明，三百多年的岁月流逝，终未能获证。尽管尚未得到证明，然而，在攻克它的征途上，新工具、新方法、新概念、新理论层出不穷。所以，德国数学家希尔伯特 (Hilbert)把它称为 生金蛋的母鸡 。 5、他对光学做出了重要贡献 费马在 1637 年看到笛卡儿的折光中给出的折射定律。他对这个定律及其证明方法都持怀疑和反对的态度，并曾引起他们俩人之间长达十年之久的争论。但后来费马发现反射时光线取需时最少的路径，而且相信自然确实是按简单而又经济的方式行动的，在 1657年
11、和 1662年的信件中，他确认了他的最小时间原理 光线永远取花时间最少的路径行进。当他在 1661 年发现他能够从他的原理导出光的折射定律时，他不但解除了对笛卡儿的折射定律的怀疑，而且更加确信自己的原理的正确性。 费马发现的这个最小时间原理及其与光的折射现象的关系，是走向光学统一理论的最早一步。这在哈尔、赫尔曼发表的数学恩仇录 12中有提及。 三、总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测） 费马性情谦抑，好静成癖。他对数学的许多研究成果，往往以没有给出证明的断言写在他 阅读过的书籍的边缘或空白处，或者写在给朋友的一片信笺中，也有一些是散放在旧纸堆里的。他从
12、未想出版，而且固执地拒绝编辑他的文章或以他的名字发表。他曾多次阻止过别人把他的结果付印。他对已完成的工作不再感兴趣，所以常常很随便地将自己的文章送给朋友而不留底稿。费马在生前也发表过几篇文章，但都是在他要求匿名的条件下发表的，并且要求勿需做详细明瞭的解释。他的匿名以及拒绝发表不但使他当时研究的成就无缘扬名于世，并且使他暮年脱离了研究的主流。直到他去世后，后人 其中包括他的大儿子克莱门特 塞缪尔 才把他的成果汇集成书，共两 卷，先后于 1670年和 1679年在图卢兹出版。第一卷有丢番图的算术，带有校订和注解；第二卷包括抛物形求面积法，极大极小及重心的论述和各类问题的解答。还有球切面、曲线求长的
13、讨论。另外就是他和笛卡儿、帕斯卡、罗伯瓦、梅森、惠更斯等人的通信录。这本书后来罕见于世，直到 1853年 E布拉兴重新加以注释，才在巴黎出版。 18世纪，费马还不太有名，但进入 19 世纪中叶，由于对数论的重新研究，数学家和数学史专家对费马及其著作都产生了浓厚的兴趣，世人也争先发表和研究费马的著作，其中尤以查尔斯 亨利和保罗 坦纳的四卷论文集最为全 面。从这四卷文集中可以清晰而具体地看出费马对数学和光学所做出的广泛而重要的贡献。在郭锡伯发表的二十世纪数学发展史的坐标 13、 Zhang Bao shan发表的 A comment on the proof of fermats last the
14、orem 14、 Leo Corry 发表的 On the history of Fermats last theorem:fresh views on an old tale 15、 Andrea Del Centina发表的 Unpublished manuscripts of Sophie Germain and a revaluation of her work on Fermats Last Theorem 16都有提到后人们对费马著作的浓厚兴趣。 四、参考文献 （根据文中参阅和引用的先后次序按序编排） 1 田鹏 .业余数学家之王费尔马 J.中学数学研究， 2003，（ 8）： 40
15、-41. 2 王建华 .费马数与圆内接正多边形 J.科技信息 ,2010,(3):121-122. 3 蔡天新 .从笛卡尔到庞加莱 J. 数学通报 ,2006,45(11):22-26. 4 尹洪武 ,赵会娟 ,邵怡 .关于费马大定理 J.中国环境管理干部学院学报 ,2003,13（ 2）： 69-70. 5 张吉旭 . 浅析光学系统理想成像的条件 J. 工业科技， 2010,39（ 3）： 44-46. 6 唐子周，唐世杰，唐世敬 . 费尔马大定理的简捷证明释疑 J. 科技教育创新， 2010，（ 15）：256-257. 7 唐子周，唐世杰，唐世敬 . 费尔马大定理的简捷证明注记 J. 基
16、础及前沿研究， 2010，（ 9）：66-67. 8 朱家生 .数学史 M. 北京 :高等教育出版社， 2004. 9 杨秀川 .解析几何的发展史 J. 集 宁 师 专 学 报 ,2007,29(4):87-90. 10 徐传胜 ,曲安京 , 李红伟 . 从投掷问题到概率论的创立 J. 纯粹数学与应用数学 ,2007,23(4):453-457. 11 梁 旭 . 概率的第一次计算 J. 统计科普， 2009： 45-47. 12 美 哈尔 .赫尔曼 .数学恩仇录 M.上海 :复旦大学出版社 ,2009. 13 郭锡伯 .二十世纪数学发展史的坐标 J. 工科数学 ,2001,17(2):104
17、-108. 14 Zhang Bao shan, A comment on the proof of fermats last theoremJ.Aplied blathematics and Mechanics,1998,19(11):1115-1118. 15 Leo Corry. On the history of Fermats last theorem:fresh views on an old taleJ. Philosophische und historische sicht,2010,(57): 123138 16 Andrea Del Centina, Unpublished manuscripts of Sophie Germain and a revaluation of her work on Fermats Last Theorem J. Arch. Hist. Exact Sci,2007,( 62):349392.
