1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 复变函数解析的判定及其应用 一、 前言部分 为了使负数开平方有意义， 16 世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（ Euler）作出的，他在 1777 年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。用符号“ i ”作为虚数的单位，也是他首创的。 19 世纪，复变函数的理论经过法国 数学家柯西（ Cauchy） 、德国数学家黎曼（ Riemann）和魏尔斯特拉斯（ Weierstrass） 的巨
2、大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。 20 世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、 黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。 复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。因此，复
3、变函数论又称为解析函数论，简称函数论。解析函数是在某一区域内处处可微的复变函数 1。除了用定义判定一个复变函数是否解析之外，经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。通过本课题的研究，旨在全面总结复变函 数解析的判定，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用。 本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数的 历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述。 二、 主题部分 在 18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不
4、可压缩流体的无旋场的势函1 数 ( , )xy 与流函数 ( , )xy 有连续的偏导数，且满足偏微分方程组xy ，yx ，并指出 ( ) ( , ) ( , )f z x y i x y 是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西 -黎曼方程（简称 C.-R.方程），或柯西 -黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定
5、义在 20世纪初被证明是等价的。 函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在区域 D 内解析的充要条件 :一是二元函数 ( , )uxy 、( , )vxy 在区域 D 内可微，且 ( , )uxy 、 ( , )vxy 在区域 D 内满足 C.-R.方程；二是 xu ， yu ，xv ， yv 在 D 内连续，且 ( , )uxy 、 ( , )vxy 在 D 内满足 C.-R.方程； 三是 ()fz在区域 D 内连续，且对任一周线 C ，只要 C 及其内部全含于 D 内，就有 ( ) 0c f z dz；四是在区域 D内 ( , )vxy 是 ( , )uxy
6、的共轭调和函数；五是 ()fz在 D 内任一点 a 的领域内可展成 za 的幂级数，即泰勒级数 1-4。 其他各种形形色色的充分条件和必要条件这里就不一一列举了。 解析函数的研究主要有两个方法：由魏尔斯特拉（ Weierstrass）提出的幂级数方法和由柯西（ Cauchy）提出的 积分表示方法。一方面，对于圆盘 0( , )Dz R 这样的区域，关于 0zz收敛的幂级数与其上解析函数之间一一对应。解析函数的性质可通过幂级数的研究得到，同样幂级数的性质也可通过解析函数来反映。例如解析函数经，（分母不为零）和复合后仍是解析函数，因而同样的幂级数在相应收敛区域内也可作，（分母不为零）和复合的运算。
7、另一方面， Cauchy 公式是 1825 年左右 Cauchy 在研究流体力学时发现的。他将解析函数表示为 沿边界的含参变量积分，为解析函数的研究提供了一个非常有用的工具。解析函数的许多最基本的性质可以通过 Cauchy公式得到。这里把 Cauchy 公式完整叙述一遍：设 是由有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域， ()fz在 上连续，在 内解析，则 z ， 1 ( )() 2 ff z diz 。 Cauchy公式表明解析函数由其在边界的函数值唯一确定，并可通过 Cauchy核函数 11 ( , )2 Hziz 利用沿边界的积分得到 5-7。 2 而关于解析函数的应用，主要有以下三点： 一
8、、 利 用 调 和 函 数 与 解 析 函 数 的 关 系 求 调 和 函 数 的 稳 定 点 。 若 函 数( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在区域 D 内解析，则在区域 D 内 ( , )vxy 是 ( , )uxy 的共轭调和函数。反之命题也成立。设 ( , )uxy 是全平面上的调和函数，根据调和函数与解析函数的关系，我们可以用积分的方法求出其共轭调和函数00( , )( , )( , )xyxyuuv x y d x d y Cyx ，得到解析函数 ()f z u iv ，且满足 C.-R.条件： uvxy， uvyx。设 00( , )xy 是 ( ,
9、)uxy 的稳定点，即 00( , )xy 满足 0 0 0 0( , ) ( , ) 0xyu x y u x y，而 ( ) x x x yf z u iv u iu 。令0 0 0z x iy ，可见 00( , )xy 为 ( , )uxy 的稳定点就等价于 0( ) 0fz ，于是，求调和函数( , )uxy 的稳定点的问题就转化为求方程 0( ) 0fz 的根。 二、解析函数的 Pade有理化逼近。在建立解析函数的幂级数理论的过程中，可知函数1() 1fz z 在 1z 内处处可导，且有 Taylor展开式 21( ) 11 nf z z z zz 。 这一事实也可表述为，幂级数0
10、nn z在 1z 内可写成一个有理函数 1() 1fz z 。显然，在 1z 内收敛的幂级数并非一定可表示为一个有理函数。但可研究以下问题：设 ()fz在zR 解析，是否可通过其 Taylor展开而局部有理化，即，若在 zR 内0()nnnf z c z对给定的非负整数 p， q,寻找一个有理函数 00R( )pjjjqjjjazzbz满足 0 1b ， 0pa ， 0qb ，使得 ()Rz 具有以 0z 为中心的 Taylor展开式： 3 01()pq jjn n p qR z c z d z （ *） 即 ()Rz 与 ()fz的 Taylor 级数的前 p+q+1 项完全一致。当然，（
11、*）式的收敛半径可能小于R，这样的有理函数 ()Rz 称为解析函数 ()fz的一个 Pade有理化逼近。 三、平面静电场的复势的幂级数表示。设有一定义在单连域 D 内的平面静电场E=P(x,y),Q(x,y)，当场内没有带电物体，静电场既是无源场，又是无旋场。物理学关心求 出 静 电 场 的 力 函 数 ( , )uxy 和 势 函 数 ( , )vxy 。 以 下 说 明 ， 复 变 函 数( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y是一个解析函数，并可由平面静电场的表达式 E=P(x,y),Q(x,y)而求之。以下讨论由场 E构造 ( ) ( , ) ( , )f z u
12、 x y iv x y的方法。因为场 E是无源场，所以在单连域 D内 0PQdivExy ，即在 D 内 ()PQxy 。由关于第二类曲线积分的格林定理知，积分00( , )( , )xyxy Qdx Pdy 在 D 内与路径无关，从而在 D 内定义了一个函数( , )uxy ，使得 du Qdx Pdy ,从而 xuQ ， yuP （ 1）。又因为场 E 是无旋场，所以在 D 内 0QProtExy ,即在 D 内 ( ) ( )PQyx 。同理，由关于第二类曲线积分的格林定理知，积分00( , )( , ) ( ) ( )xyxy P dx Q dy 在 D 内与路径无关，从而在 D 内定
13、义了一个函数 ( , )vxy ，使得 ( ) ( )dv P dx Q dy ,从而 xvP ， yvQ （ 2）。由于( , )uxy ， ( , )vxy 都在 D 内可微，并有公式（ 1）和（ 2）得到 xyuv ， yxuv ，所以复变函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在 D 解析。由于等值线 ( , )u x y c 上各点 处的斜率为xyudy Q Qdx u P P ,所以，在等值线 ( , )ux y c 上任一点处的静电场 E 向量P(x,y),Q(x,y)都与等值线相切，这就是说，等值线就是静电场 E 向量线，即场中的电力线。因此，称 (
14、 , )uxy 为场 E的力函数。另一方面，由于 grad ( , )vxy =xv ， yv =-P,-Q=-E,所以 ( , )vxy 为静电场 E 的势函数，也称静电场的电位。等值线 ( , )v x y c 就称为等位线。4 也称解析函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y为静电场的复势（或复电位）。有向量和复数表示的对 应 关 系 ， 即 静 电 场 可 表 示 为 E P iQ 可 知 ， 场 E 可 以 用 复 势 表 示 为( )x y x xE v iv v iu i f z （ #）。利用静电场的复势，可以 研究场的等位线和电力线的分布情况，描绘
15、出静电场的图像。而由（ #）式也可直接由 E P iQ 来求( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y。由（ #）式，有 ( ) ( )f z iE z Q iP ，所以 Q iP 在 D 内解析。对 0zD ，在 0z 处把 Q iP 展开成幂级数00( ) ( ) nnnf z Q iP c z z ，而后可得到 0z 的一个领域内的复势函数： 100( ) ( )1 nnn cf z z zn 常 数。当给定 0()fz 取值后，由一种所谓解析开拓的方法，就可得到整个单连域 D 内的一个复势函数 8-11。 在数学分析中，我们知道在一个区间内有导数的实变函数 ()fz
16、在这个区间内不一定有二阶导数。但在一个区域内的解析函数却在这个区域内有任意阶导数，这一性质是由柯西公式证明的，也称为解析函数的无穷可微性。复变函数在一定区域内有导数即解析是很强的条件，由它可逐步推出柯西 -黎曼条件、柯西定理、柯西公式及解析函数有任意阶导数。另外，我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一解析函数在它的定义域内某些部分的值，同一函数在这 区域内其他部分的值就可完全确定。这就是解析函数的唯一性，显示解析函数在局部与整体的密切联系，可叙述如下：如果 ()fz及()gz
17、在区域 D 内解析，设 kz 是 D 内彼此不同的点（ k=1,2,3, ） ,并且点列 kz 在 D 内有极限点，如果 ( ) ( )kkf z g z （ k=1,2,3, ） ，那么在 D 内， ( ) ( )f z g z 。从以上我们可以看出，虽然在形式上复变函数的导数及其运算法则与实变函数几乎没什么不同，但在实质上，实变函数可导与复变函数解析之间有很大差别。而解析函数的各方面研究对整个复变函数论都极其重要 12-15。 三、 总结部分 本文主要阐述了以下内容 ：（ 1） 复变函数的历史背景及研究的重点和主要成果；（ 2）解5 析函数的发展，判定条件；（ 3）研究解析函数的方法；（
18、4）解析函数的若干个相关应用。 复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，它的理论基础是在 19 世纪奠定的，柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼是这一时期的三位代表人物。复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。 解析函数论是复变函数论中最重要的分支之一，由于解析函数具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等， 数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。 事物总是向前发展的，随着
19、人们更深入的研究，笔者相信 复变函数解析 的研究素材将更广，理论和方法将更趋完善。 四、 参考文献 1 钟玉泉 .复变函数论 (第三版 )M.北京 :高等教育出版社 ,2004. 2 钟玉泉 .复变函数学习指导书 M.北京 :高等教育出版社 ,1996. 3 扈培础 .复变函数教程 M.北京 :科学出版社 ,2008. 4 严镇军 .复变 函数 (第二版 )M.安徽 :中国科学技术大学出版社 ,2010. 5 谭小江 ,伍胜键 .复变函数简明教程 M.北京 :北京大学出版社 ,2006. 6 郑建华 .复变函数 M.北京 :清华大学出版社 ,2005. 7 崔书英 .解析函数零点的分布问题 J
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