1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 二阶微分方程的解法及应用 一、 前言部分 近半个世纪以来，数学的形象有了很大的变化。数学已不再单纯是数学家、物理学家和力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入到各行各业中。数学作为工程、自然科学、经济和商业活动中常用的理论与方法，微分方程起着关键的作用。 常微分方程是数学类专业的一门应用性较强的基础课，可以说它对先修课程及后续课程起着承前启后的作用，是数学科学理论中必不可少的一个重要环节。常微分方程课程对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用。同时 ，微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之一，也是自然科学和其他技术科学的重要工
2、具课程。 微分方程是一个有着广泛应用的数学分支，它在应用科学的许多领域中，往往既是研究的起点，也是基本的工具。常微分课程通常安排在学习了数学分析、线性代数、解析几何等课程之后，是把这些课程的知识加以结合起来，用于解决数学理论和实际应用中出现的问题；同时常微分方程也为后续的课程如微分几何、泛函分析等作准备。 定义 ： 1、 常微分方程 1 微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式 。如果在微分方程中 自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。 2、 线性微分方程 1 如果微分方程 0),.,( nndx yddxdyyxF 的左端是关于 y及 dxdy ， ,nndxyd
3、的一次有理整式，则称为 n阶线性微分方程。 3、解 1 1 如果函数 y= )(x 代入方程 0),.,( nndx yddxdyyxF 后，能使它变为恒等式，此称函数 y= )(x 为该方程的解。 4、隐式解 1 在上式中，如果关系式 （ x， ,y）决定的函数 y= )(x 是方程的解，我们称 （ x，y）为此方程的隐式解。 5、通解 1 我们把含有 n个独立的任意常数 nccc ,., 21 的解 y= （ x， nccc ,., 21 ）称为 n阶方程的通解。 0),.,( nndx yddxdyyxF 二、主题部分 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就
4、认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。到了 16 世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！ 17 世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。 17 世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了
5、微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类 问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。 2 17世纪到 18 世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从 18世纪下半叶到 19 世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮
6、转向研究常微分方程问题的适定性理论； 19 世纪为常微分方程发 展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数； 19世纪至 20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。 文献 2在多年进行常微分方程的研究下，给出了（ 1）求解各类微分方程的方法；（ 2）常微分方程的基本理论；（ 3）常微分方程定性稳定性方法初步并从微分方程提取尽可能多的信息；（ 4）近似方法、数值方法及其计算机实现；（ 5）建立微分方程模型解决实际问题；（ 6）在应用问题中使用各种数学软件 包。还给
7、出几种解二阶及高阶方程方法如降阶法、待定系数、方程组的特征根法、重根情形的处理、指数矩阵的定义、基本解矩阵的计算、向量场的方法等等。 文献 3通过一个具体的例子 2“ 1 yy 的求解过程，给出了一类二阶可降阶的常微分方程的两种解法，一种将原方程看成 ),( “ yxfy 型的微分方程，第二种将原方程看作 ),( “ yyfy 型的微分方程，并 且采用了数学软件 Matlab来计算，将微分方程的传统解法与现代数学软件相结合 。并 且最后得出一个结论，三种方法能够得出在形式上一致的结果。 二阶线性常系数 微分方程在微分方程理论中占有重要位置，关于它的通解结构 ,有十分完美的结论 .但求解二阶线性
8、变系数微分方程却无一般方法 . 文献 4 在求二阶线性变系数微分方程当 )(xf 2r 0)()( xqxp （ 其中 r 为常数）时的通解的基础上，求解当 0)()()()()()()( 2 xqxrxpxrxfxrxf （其中 )(xr 为连续可微函数）时的通解解法。 得出两个定理： 3 定理一： 设二阶线性变系数齐次微分方程 0)()()( “ yxqyxpyxf 满足条件 0)()()()()()()( 2 xqxrxpxrxfxrxf 则其通解的积分公式为 )( 2)( )()()(1)( cdxecey dxxf xpxrxfdxxf 定理二： 设方程 0)()()( “ yxqy
9、xpyxf 满足 条件 0)()()()()()()( 2 xqxrxpxrxfxrxf 则其通解的积分公式为 dxxfdxxf xpxrxfdxxf xpxrxfdxxf ecdxecdxeexf xgy )(2)( )()()(1)( )()()()( )() )( 在求解二阶常微分方程特别是求二阶实常系数微分方程的特解时 ,一般常用的方法都是先设出含有待定系数的特解 ,代入原微分方程 , 通过比较系数法求解出待定系数而得到特解 ,无一定的公式可循 ,文献 5通过进一步研究 , 给出微分方程的特解与其特征方程有关的公式 ,并 应用叠加原理和 Euler 公式 ,将其化为二阶线性非齐次方程
10、,利用其对应的特征方程给出 了这一类方程特解的一般公式 , 简化这一类微分方程的求解过程 . 二阶常系数微分方程的解法因为计算较复杂 ,很容易出错 。文献 6对这一部分内容在形式上略加改变 , 把二阶常系数齐次方程 0“ qypyy 的通解统一写成三角函数或双曲函数的形式，那么，当 （ 1） 2p 04 q , 21 rr 时，原方程的通解为 xrxr ececy 21 21 （ 2） 2p 04 q ，原方程的通解为 4 )s inc o s( 21 xccey ax （ 3） 2p 04 q 时，原方程的通解为 rxexccy )( 21 这样就大大简化了讨论过程。也简化了求解过程 . 如
11、何根据非齐次项 f(x) 的形式迅 速而又准确求出特解？一种方法就是待定系数法 . 但这种方法有两个瑕疵 :一是比较繁琐 ,计算量比较大 ,二是对于一般的非齐次项 f( x) ,无法求特解。还有一种方法就是常数变易法 。 但其给出的特解公式也很繁琐 , 不易记忆且不利于推广 。文献 7 通过引入行列式符号并定义一种形式积分 ,给出求解二阶常系数非齐次线性微分方程 )(“ xfqypyy 的 特解的一个公式即 1212*1212( ) ( )( ) ( ) ()( ) ( )( ) ( )y t y ty x y xy f t d ty t y ty t y t 其中 0)()()()( 212
12、1 tytytyty , 并进一步将该公式推广到三阶 方程 。 变系数二阶线性微分方程在纯数学、应用数学、力学、物理学及工程技术中有着重要的地位。文献 8 从解常系数或可降阶的二阶线性方程的方法研究 )()()(“ xfyxqyxpy （ 1） 其中 p(x), q(x) ,f(x) 为连续函数 ， 满足一定条件下的求解情况。并得出几个重要的结论： （ 1） 二阶变系数线性微分方程 )()()(“ xfyxqyxpy 其中 p (x) 0，这个方程 能化为常系数线性微分方程的充要条件是 : 5 lkxpxqxp 4)(2)(4)( 22 (k ,l为常数 ) 。 （ 2） 设方程 (1) 满足
13、条件 cxq xqxpxq )( )()(2)( 其中 c为常数 , 0)(,1 0)(,1 xqxq,则方程 (1) 可化为 )( )(222yf xfydxdycdx yd 常微分方程是数学的一个重要分支 ,同时在生物、天文、力学、物理等科学领域中也有重要的应用。而人们能用初等方法求出解的微分方程不是太多。文献 9研究并给出了微分方程的一种参数解法 ,能够解出一些基本解法所 不能解出的微分方程。用这种方法不仅可以解出一阶常微分方程和 高阶齐次方程，还可以解决某些可以用三角代换的高阶常微分方程、含有多项式 ),( )( nyyyxp 的幂的高阶常微分方程和可以把 y看作是关于 x, 1nx的
14、函数的高阶常微分方程。 文献 10研究的是微分中值定理类问题，证明这种问题可以利用辅助函数，那么如何求出辅助函数是证明的关键。这种问题的基本思路就是将求证“存在 使 0)( F ”中的 看作是自变量， 0)( F 看作是关于 的微分方程，然后通过求微分方程 0)( F 的通解得到 )(HC 。其中 C是通解中的任意常数 。 因 0)(0)( FH 所以 H（ x） 就是所需的辅助函数 。 文献 11着重研究如 )()()(22 xfyxqdxdyxpdx yd 这种类似形式的方程。这种方程的特点为“ y及其导数为 线性，而 p、 q及 f则为 x的函数”。这种方程在现实生活中很多的运用如：系于
15、弹簧的物体的振动，在引力及速度成正比的阻力作用下的自由下坠运动，最佳存货水平之定价方针等。 许多在科学和工程中出现的最重要的微分方程都是二阶微分方程。 在文献 12的刚开始6 部分讨论的是微分方程， 这些二阶微分方程具有如下的形式： ),( “ xxtfx 这些二阶微分方程的重要例子包括牛顿方程： m “x )(xf 电子工程当中的 RLC 电路方程： LC )(“ tvxRCxx 以及大多数初等微分方程课程的支柱 -受迫调和振子 )(“ tfkxbxmx 在本文献的核心部分着重介 绍研究非线性问题的一些重要技巧如平衡点附近的线性化、零点集分析、稳定性、极限集和分岔理论。并将这些想法运用到生物
16、学、电子工程和力学等领域中产生的各种系统。在最后一部分通过洛伦茨微分方程系统来讨论比较复杂的高维线性系统的飞线性行为即混沌行为。 在本文未提及的文献中讲述高阶微分方程的各种实际工程类型问题的数学表达式以及解法。由于线性微分方程特别是常系数线性微分方程在工程上的应用最为广泛，所以着重介绍了用常数待定法求特积分的方法推导了二阶、三阶和四阶微分方程为某些函数时的特积分的数学表达式，使得应用起来更加方便， 计算速度也可以大大加快。在本书中还应用很多实际生活中的例子向读者介绍各种工程类型问题的具体运用，将理论与实际生活联系起来，使内容更加贴切，更加生活话。 三、总结部分 常微分方程是由人类生产实践的需要
17、而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明还早。纳皮尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程 14 。牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性，实际上解决了最简单的微分方程的求解问题。 对于数学，特别是数学的应用，微分方程所具有的重大意义在于：很多物理与技术问题可以化归为微分方程的求解问题。 1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络； 1718年泰勒提出七阶的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面的研究；庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端；美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景，扩
18、展了动力系统的研究；7 Hill 研究二阶方程并用研究的结果证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究；在适定性的研究中，柯西、李普希兹和皮亚拿、比卡先后给出常微分方程的逐次逼近法 15 。 总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，在天文学、力学、物理学方面有非常重要的作用，可以用于解决很多复杂的问题。自 1693 年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历了漫长而又迅速的发展，极大地丰富了数学家园的内容。随着社会科技的发展和需求，微分方程会有更大的发展。并且，随着依赖数学为基础的其它学科的发展，微分方程还会继续扩展。 四、参考文献 1王高雄 ,周之铭 ,
19、朱思铭 ,王寿松 .常微分方程（第三版） M.广州：高等教育出版社 ,2007. 2 周义仓 ,靳祯 ,秦军林 .常微分方程及其应用 -方法、理论、建模、计算机 M.北京：科学出版社 ,2003. 3 黄赞 ,罗佩芳 .一类二阶微分方程的几种解法 J.广东：中国科技信息 ,2009. 4 何基好 ,秦勇飞 .一类二阶线性变系数微分方程通解的解法 J.贵州：高等教学研究 ,2010. 5 陈新一 .一类二阶常微分方程的特解 J.兰州：高等教学研究 ,2010. 6 熊灿 ,谢建新 .二阶常系数微分方程解法的简化 J.湖南：南昌工程学院报 ,2010. 7 朱德刚 .二阶常系数非齐次线 性微分方程
20、的特解公式 J.南京：高等数学研究 ,2010. 8 范小勤 ,李金洋 .变系数二阶线性微分方程的求解 J.广州：高等函授学报（自然科学报） ,2008. 9 王希超 ,徐胜荣 ,刘彤 .用参数法解常微分方程 J.山东 ,泰安：山东农业大学学报（自然科学版） ,2009. 10 文香丹 .微分方程在证明微分中值定理类问题中的应用 J.吉林 ,延吉：延边大学学报（自然科学版 ） 2005. 11 欧阳亮 .二阶微分方程及其应用 J.山东：山东大学学报 (理学版 ),1985. 8 12 Morris W. Hirsch,Stephen Smale,Robert L. Devaney .Diffe
21、rential Equations, Dynamical systems, and an introduction to chaos M.USA:2004. 13 国振喜 .工程微分方程解法与实例 M.北京：机械工业出版社 ,2004. 14 朱家生 .数学史 M.北京：高等教育出版社 ,2004. 15 张良勇 ,董晓芳 .常微分方程的起源与发展 J.河北：高等函授学报 ,2006. 16 Arrowsmith D K, Place C M. Dynamical, Differemtial equations, maps and chaotic behaviourM. London: Chapman and Hall,1922.
