1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 二项式定理及其应用 一、 前言部分 二项式定理是初等数学中的一个重要定理 ,其形成过程是组合知识的应用 ,同时也是进一步学习概率统计的准备知识 ,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。 而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。 本文基于 二项式定理的相关性 ，参考国内外相关文献，就 二项式定理的各种证明方法、各种推广形式以及二项式定理在学科中的应用 进行综述。 提及二项式定理就不得不说杨辉三角， 中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领 先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精
2、彩的一页。北宋人贾宪约 1050年首先使用 “ 贾宪三角 ” 进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在详解九章算法（ 1961年）记载并保存了 “ 贾宪三角 ” ，故称杨辉三角。 杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。 而 在 西方， 1665年，刚好 22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。 虽然当时无法给出 二 项式定理的 证明，但可以肯定 二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。 随着社会的发展，二项式定理被人们
3、最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为 它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。 二、 主题部分 （一）二项式定理及相关系数恒等式的研究 二项式定理：当 n 是一个正整数时，对任何 a 和 b
4、 ，有0() nn k n n knka b C a b （ 1） 式（ 1）右边的式子称为 ()nab 的二 项式展开式，系数 knC 常称为二项式系数。为了方便，我们把 ()nab 的展开式的第 1k 项 (0 )kn 记为 1kT ，则有 1 k n k kknT C a b ，这个式子叫做二项式的通项公式。 这样各展开式里各项的系数可以列表如下： 1()ab 1 2()ab 1 2 1 3()ab 1 3 3 1 4()ab 1 4 6 4 1 5()ab 1 5 10 10 5 1 此表，早在我国宋朝数学家杨辉于公元 1961 年所著的详解九章算法一书里已出现。杨辉还说明了表里除 1
5、 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，故人们把此表称之为“杨辉三角形”或“杨辉法则”，西方称为“ Pascal 三角形”。很明显，我们可以应用这个杨辉三角形来直接求出二项式任一次幂的项的系数，但过程的机械与繁琐也是显而易见的。 而证明二项式定理最常用的是用数学归纳法。它的原理是这样的：假如有一个数学命题，合于下面条件：（ 1）这个命题对 1n 是正确的；（ 2）如设这个命题对任一正整数 1nk为正确的，就可以推出它对于 nk 也正确。那么这个命题对于所有的正整数 n 都是正确的。 文献 1中也介绍了用组合分析法进行证明。 而在文献 2中，作者利用初等数学中构造递推方程的方法，给出了二项式定理
6、的新证法。主要是思想是通过一个关系变量 x ，使 b ax ，把 ()nab 变成 (1 )nnax ，从而构造递推公式进行求解。 恒等式的组合证明赋予了恒等式一定的组合意义，组合证明最常用的方法是分别用两种不同的方法对恒等式的两端进行计算。在文献 3和 4中，作者主要讨论了利用分析学，子空间集合和格路模型方法来证明组合恒等式。 （二） 二项式定理的各种推广 多项式定理：设 n 和 k 为正整数，则有 12121 2 3 1 212() , , , kknnnnkkn n n n knx x x x x x xn n n ， 其中12 12!, , , ! ! !k kn nn n n n n
7、 n 并称其为多项式系数。文献 5主要介绍了从二项式定理到多项式定理的推导过程，在前人用数学归纳法的前提下，结合组合的方法对多项式定理进行了论证。 组合恒等式研究是组合分析上的一个分支。 H W.Gould 教授的组合恒等式一书于 1972年问世，该书收集 550 个组合恒等式，分为九类证法，这是组合恒等式上值得称道的工作。新型组合恒等式是研讨别开生面的几类组合孪生恒等式组的问题。文献 67利用几个微分型算子，找出其对应的正则基序列，然后研讨多项 型、二项式定理型的组合恒等式组，得到一批新结果。它推广了二项式定理。 文献 8就讨论了二项式型多项式的性质和与 Bell 多项式的关系及其应用，给出
8、了一个二项式型多项式的递推公式，推广了现有文献的结果，得到了一些组会恒等式。为日后的组合序列的研究起到了积极的作用。 （三）二项式定理的应用 在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面。 1.对二项式定理的直接应用。主要涉及整除与求余数问题、近似计算问题和证明不等式等问题。例如文献 910中所罗列的问题：今天是星期一，再过 20042 天是星期几？求5(0.997) 的近似值等等。这些问题在日常的生活和学习中有比较现实的意义，也因此使得二项式定理在初等数学当中被广泛运用。 2.二项式定理的通项的应用。二项式定理展开式
9、的通项公式中给出了参变量 , , ,abnk之间的关系，所以可以利用它求展开式中的某项，或含有 kx 的项的系数，以 及根据题设条件给出的某些项之间的关系通过方程（组）或不等式来确定 ,nk，再求出某项或某参数的取值等问题。 3二项式系数的性质的应用。二项式系数的性质可以归纳为三条：（ 1）对称性；（ 2）增减性与最大值；（ 3）各二项式系数的和。这些性质主要用于求二项式中二项式系数最大项及展开式中系数最大项，但应注意二项展开中某项的二项式系数与该项的系数的区别。还可以用来求展开式中某些项的系数和以及证明有关组合数问题。 二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论 、初等数论
10、等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子后，微积分的牛顿 -莱布尼兹公式可以用二项式定理来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能 导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。从另一个角度，形象地说就是“从二项式到二项式”来重新审视二项式定理，给出了数环中一类数的 n 次幂计算的递推公式法。有鉴于此，费尔马小定理 是初等数论中的一个著名定理，虽然它的证明方法各异，但其共同的特点是不够直观，需要很多背景知识作基
11、础。文献 11从二项式定理的推广形式 -多项式定理入手，给出费尔马小定理的一个更加初等的证明。 通项为 n 的 k 次多项式的数列是一种非常特殊的数列，有其比较特殊的研究价值。文献 12运用组合恒等式、数学归纳法等初等数学的方法，通过“归纳 猜想 论证”，提出用待定系数法解决此类数列求和问题，并结合二项式定理和 数列间的递推关系导出了求待定系数的一般方法，旨在更好地解决数列求和问题。 二项式定理在高等代数中也得到了一定的推广和应用。文献 13主要把数式二项式定理进行了推广，给出 m 项式拟似的定理和可交换同型矩阵的二项式定理，并举例说明推广定理在求多项式的 n 次方幂和矩阵的 n 次方幂时的应
12、用。 三、 总结部分 从最初的杨辉三角开始，二项式定理已有数百年的历史。而 二项式定 理在初等数学的组合知识有着广泛的应用 ,同时又是进一步学习概率统计的准备知识 ,更重要是 在高等数学中它是许多重要公式的奠基石。 人们在二项式定理上所做的努力，也对数学的发展起着积极的推动作用，这也让我们认识到二项式定理在数学的其他分支里都有着无可替代的重要地位。而数学家们对二项式的研究也会随着数学的发展而不断的进取，在更多的地方对二项式定理进行推广，使更多的理论得到进一步的简化。 在数学学科高度细化的今天，很多门学科都要建立在二项式的基础上才能深入下去。而初等数学当中的研究更具有现实意义，高等数学当中的研究
13、也是数 学发展的催化剂。总之，事物总是发展向前的，随着人们更深入的研究，笔者相信 原本繁琐的等式证明，在得当的利用二项式定理之后，有着更加简明的过程。 四、参考文献 1 张世新 ,张先迪 .组合原理及其应用 M.北京 :国防工业出版社， 2006:15-24. 2 华罗庚 .从杨辉三角谈起 M.北京 :科学出版社， 2002:6-21. 3 柳丽红 .证明组合恒等式的方法与技巧 J.内蒙古电大学刊 .2006(10):86-87. 4 常海廷 ,陈美娟 .浅谈二项式系数恒等式的几种证明方法 J.科技信息 .2009(1):5. 5 王永利 , 田芝 , 张骞 . 从 二 项 式 定 理 到 多
14、 项 式 定 理 J. 中 学 数 学 杂 志 ( 高中 ).2007(4):13-14. 6 唐佑华 .二元齐次对称多项式与二项式定理 J.数学通报， 1982（ 12）： 35-40. 7 李亚兰 .微分型算子与二项式定理的推广 J. 渭南师范学院学报 ,2009,24(5):3-5. 8 谭明术 .关于二项式型多项式的注记 J.西南民族大学学报自然科学版，2010,36(1):6-11. 9 张文娣 .二项式定理及其应用 J.甘肃联合大学学报 (自然科学版 ） ,2004,18(4):90-91. 10 方厚良 ,罗灿 . 二项式定理的应用 J. 数学通讯 , 2004,(07):19-
15、20. 11 邓勇 .基于二项式定理应用的探究 J.大庆师范学院学报 .2008,28(5):71-73. 12 汤召渤 ,李俊 .关于用待定系数法求数列前 n 项和的研究 J.牡丹江大学学报 ,2009,18(12):105-107. 13 孙辛荣 ,曹学锋 .二项式定理的推广及应用 J.广西教育学院学报， 2004(5):53-54. 14 Tucker,Alan . Applied CombinatoricsM . 4ED . New York: JohnWiley & Sons, 2002: 53 - 68. 15 Gould, H. W. Combinatorial I dentitiesM . Morgant own,W. Va 1972.
