1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 高等数学在初等数学中的应用 一、 前言部分 随着新课程改革的不断进行，高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，所以，作为高中教师，就必须认真研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识 高等数学的知识方法在中学数学中的应用问题。 高等数学是在初等数学的基础上发展起来的与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答。因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法，从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学教学内容密切 相关，但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中
2、己经解决，而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决 )等等。总之，应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究。 主要论述的高等数学的方法有微积分方法、行列式、 Lagrange插值公式、 Laplace展开定理、线性方程组 的方法。 本论文 研究了初等数学、高等数学的概念、范畴、关系，能使学生对此三个相关联的概念加以区别；同时 以大量、翔实的中
3、学数学的范例为依据，尤其是近几年的高考试题，充分说明了高等数学方法在解决初等数学的相关问题上，具有明显的作用，并且尽可能地使用现有中学数学教材讲到的知识、方法。 本论文运用高等数学的先进观点地分析和处理中学数学内容的问题，主要表现为以下三个方面：一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义：三是指 出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。 二、 主题部分 1. 初等数学 1 初等数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能 ； 深层知识主
4、要指数学思想和数学方法。 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。 那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的 教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高：反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知
5、识，提高数学能力，形成良好的数学素质。 在初等数学中，含有很多重要且基本的数学思想，如几何证明思想、记算思想、极限思想、随机思想、数学结构思想等。这些数学思想几乎包括了初等数学的所有内 容；而且，结合学生得到思维能力和他门的实际生活经验，这几种数学思想有可能被他们理解和掌握：在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。另外，这些思想对于学习高等数学来说，也是最基本且罩重要的。因此，在中学数学教学中，突出这些数学思想是很有必要的。 2. 高等数学 1 作为基础课的高等数学，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分内容组成一个有机的统一体 。 其
6、中极限论是基础，是高等数学活动的 “舞台 ”；微分、积分是高等数学的核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变 化的规律性，微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，积分则是从宏观上揭示函数的有关整体性质，牛顿的微积分基本定理，在微分和积分之间起了桥梁作用；级数理论是研究解析函数的主要手段，无穷级数是从离散的侧面去揭示函数的有关性质，它既是表现函数的工具，又是用来进行计算的工具，广义积分又把无穷级数与积分的内容沟通起来了；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性状提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。因此 ， 高等数学内容结
7、构大致可用框图这样给出 ： 事实上，这个框图反映的高等数学内容，仅仅是高等数学体系的一部分，是师范生必学的内容，随着专业的不同，高等数学的内容将向不同的方向延拓，也将随着时代的发展和数学的发展而不断地注入新的数学思想、方法，如非标准分析、离散数学基本理论、模型思担等，使得高等数学的内容更具魅力。 3. 高等数学和初等数学的关系 1 尽管高等数学的高度抽象性，使它与初等数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，高等数学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学，变量数 学的原型和特例又来自常量数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中。初等数学的内容，是常量数学和变量数学
8、的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多 (不是全部 )概念和理论的原型和特例所在因此，从高等数学观点来看初等数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与初等数学里相应的原型和特例联系起来这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握初等数学的本质和关键从而用高层次的眼光处理中学教材，用高等数学的思想方法指导初等数学教学，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路， 提高解题能力，大有裨益 高等数学研究问题的深度和广度极大丰富了学生的认识视野，不论是从有限还是从无限，从局部还是从整体，从近似还是从精确等方面都渗透着丰富的辩证思想。例如曲边梯形面积、曲顶柱体体积问题在分割、求和
9、、取极限过程中的以直代曲、以规则代替不规则的思想方法正是精确与不精确，有限与无限辩证关系的一种体现在教学中，深刻剖析内容结构中的这种对立统一、否定之否定、量变与质变矛盾转化关系，对提高学生的认识能力、优化思维能力有着很重要的作用。 1) 微积分方法的应用举例 2：利用导数求函数的极大 (小 )值， 求函数在连续区间 a， b上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化。 微分方程 积分学 不定积分 微分学 定积分 极限理论 解析几何 级数理论 例 1：已知 32 0f x = a x + b x + c x a 在 x=1时取得
10、极值，且 f(1)=-1 (1)试求常数 a、 b、 c的值； (2)试判断 x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 解： (1) 232f x = a x + b x + c 因为 x=l是函数 f(x)的极值点， 所以 x=l是方程 f(x)=0，即 23 2 0ax + bx + c =的两根。 f(1)=0 即 3 2 0a+ b+c= f(-1)=0 即 3 2 0a b+c= 由根与系数的关系，得 又 f(1)=-1，所以 1a+b+c=- ， 由 解得 1 0 1a b c ； ； ， (2) 3f x = x x ， 所以 2 1 1 1f x = x = x x + 当
11、x1时 ， 0f x 当 -1 0时 00f x f = , 即 1 0 .xe + x x 3) 行列式是依赖于变元排列位置的一种特殊的代数式 . 在初等数学中应用它 , 可以沟通代数与几何间的联系 , 从数形结合方面又开辟了新的思考途径 . 本文主要用行列式及其性质证明等式与不等式 , 分解等式、以及在几何方面的应用等 . 通过具体的例子体现其方法的简便与技巧性 4. 例 3：求证 : 2 2 2c o s c o s c o s ( ) 2 c o s c o s c o s ( ) 1 . 证明 ： 因为 2 2 21 c o s c o sc o s 1 c o s ( )c o s
12、 c o s ( ) 11 2 c o s c o s c o s ( ) c o s c o s c o s ( ) .D 又 D= 221 0 00 s in s in s in0 s in s in s in =0， 故 2 2 2c o s c o s c o s ( ) 2 c o s c o s c o s ( ) 1 . 4)Lagrange插值公式 5：设 1 2 n 1a ,a , a 是数域 F中任意 n+1个互不相同的数， 1 2 n 1b ,b , ,b 是 F中任意 n+1个数，则存在 Fx的唯一一个次数不超过 n的多项式 f(x)，使得( ) 1, 2 , , n
13、1iif a = b , i 下式即为满足条件的多项式 1 1 1 11 1 1 11( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )in i i ni i i i i i nib x a x a x a x afx a a a a a a a a 例 4： 若二次函数 ()fx，满足 ( 2 ) 1 2 , (1 ) 1 , ( 1 ) 3f f f ，求此二次函数。 解：这里 1 1 2 2 3 32 , ( ) 1 2 ; 1 , ( ) 1 ; 1 , ( ) 3a f a a f a a f a 由 Lagrange插值公式有 2 2 22( 1 ) ( 1 ) (
14、 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )( ) 1 2 1 ( 3 )( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 1 )114 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 2 )223 2 4x x x x x xfxx x x x xxx 5） Laplace 展开定理 6： 在行列式 D中任意取定了 K(1 )Kn个行 (列 ) , 由这 K行 (列 )元素所组成的一切 K级子式 与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D。 例 5： 5 人站成一排 , 其中 A 不站在排头 , 也不站在排尾 , 有多少种排法 ? 解 : 按题意可作如下 01 行列式
15、: 按第一行 Laplace 展开 , 5 个一级子式中 , 有 3 个非 0, 其余子式都是 4 级全 1 行列式 ( 每个元素都是 1) , 故所求排法为 34! = 72。 注 : 当然 , 亦可按第 1、 5 列 Laplace 展开 , 25 C = 10个二级子式中 , 4 个 0011无非 0 项 , 6 个 1111,有 2! 个非 0 项 , 其余子式都是 3 级全 1 行列式 , 故所求种数为 62! 3! = 72。 6）线性方程组理论 在平面解析几何上的应用 7 利用线性方程组理论判断平面上两条直线的位置关系 :相交、平行、重合。 设平面上有两条直线 1 1 1 1 0
16、l : a x + b y + c 与 2 2 2 2 0l : a x + b y + c = ， 则 (1)相交 :即两条直线有一公共点，线性方程组 1 1 12 2 2+ + = 0 + + = 0a x b y ca x b y c有唯一解 ,从而其系数行列式 11220abab。 (2) 平行 :即两条直线无公共点 ,上式无解 ,从而有 1122=0abab而 1122acac与 1122bcbc至少有一个不为 0。 (3) 重合 :即两条直线有无数公共点 ,上式有无穷多个解 ,从而1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2a b a c b ca b a c b c 例 6： 求
17、过两点 1M 11（ x,y） 与 2M 22（ x,y） 的直线方程。 方法一：由两点式方程可知直线的方程为： 112 1 2 1y y x xy y x x 方法二： 由线性方程组理论求解。设直线方程为 0,A x B y C 则方程组 1122000A x B y CA x B y CA x B y C 有非零解 ,即其系数行列式1122x1101yxyxy,化简求解即有 112 1 2 1y y x xy y x x 。 三、 总结部分 初等数学是高 等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和扩展，二者在解决问题的思路和方法上有很大的差异，某些问题可以用高等数学的方法来解也可以用初等数学
18、的方法来解，当我们在教学中遇到这类问题时，可将两种方法都呈现在学生面前，这样有利于提高学生的学习兴趣，拓展学生的解题思维，放开眼界，提高解决和分析问题的能力，另一方面，利用高等数学解决初等数学问题，还可以把中学生从烦琐的题海中解放出来。 1 本文主要通过用高等数学的导数，微积分和行列式的方法来对初等数学中的一些问题进行了讨论研究。在初等数学的教学中采用高等数学的方法不仅能 让初等数学的一些很难解释的东西变得简单而且学习高等数学的思想能为之后的数学学习打下坚实的基础。 初等数学教材渗入高等数学的内容、思想、方法似乎会增加教师的 “ 负担 ” 。但是，我们也应该看到，近些年来，不管是学生还是教育工
19、作者都感觉到初等数学与高等数学之间存在着内容、方法、思想上的代沟。如何让学生在学习高等数学之前有所准备昵 ?如何让学生在初等数学的学习中开始孕育高等数学的精神 ？ 如何让学生在学习高等数学后会回味无穷地体会到：这一段初等数学的学习让他受益匪浅 ？ 这正是许多教育工作者、数学家正在思考的问题。诗日： “ 欲穷千 里目，更上一层楼 ” ，在高等数学的角度来看初等数学的某些问题会更深刻、更全面，因此，应该掌握更多的数学知识，摸清高等数学与初等数学的内在联系，在教学上才能真正地做到居高临下 1。 四、 参考文献 1 阮国利，高等数学方法在中学数学中的应用研究 D，内蒙古：内蒙古师范大学 ,2008 年
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